我们看到数学的程度如何？

当我第一次着迷于数学紧密结合的抽象结构时，它在物理学和工程学上的突出表现使我放心。数学在科学中无可争议的价值清楚地表明，我对数学无形表示的关注不是病态的。从事数学的迷人创意活动具有真正的意义。

在研究生期间，我开始考虑到现实的出现实际上取决于我们用来观察它的数学类型。像透镜这样的数学思想的使用是否有可能使世界的某些方面成为焦点，而使其他方面变得模糊不清？由作者和理论物理学家戴维·德意志（David Deutsch）领导的一项新数学实际上可以强调数学可以帮助我们“了解”现实的方法，甚至可以告诉我们有关该过程如何工作的信息。 Deutsch以其在计算量子理论上的开创性工作而闻名，其中一些更神秘的量子现象被利用来显着增强计算能力。尽管他的新数学与计算量子理论有关，但它也与之不同。他称其为新的数学构造器理论：一种旨在在最一般的意义上告诉我们物理世界中什么是可能和不可能的理论。

Deutsch之前已经讨论过构造函数理论。他说，该理论出人意料的早期成功为信息理论提供了新的基础。信息论涉及信息的量化。但是，与本次讨论最相关的也许是信息理论将抽象的事物（例如单词，编码数据和算法）等同于物理的事物（例如电信号，化学交换和分子编码）。由于它们都是信息，因此信息论的运用是跨学科的。它的应用范围中只有几门学科是物理，电气工程，语言学和神经生物学。用数学的形式主义表达的信息处理过程捕获了许多系统的作用。

信息的物理性质是构造函数理论的关键之一。 Deutsch解释说：“没有像抽象计算机这样的东西。”信息“通过遵循不同物理定律的根本不同的物理对象实例化。”换句话说，信息变得由一个实例或一个事件来表示，就像由其DNA中的信息确定的生物的属性一样。在Deutsch 2012年10月针对在线讨论小组的演讲中，他的观点更加个人化。

我现在正在对您讲话：信息开始于我大脑中的某种电化学信号，然后被转换为我神经中的其他信号，然后转换为声波，然后转换为麦克风的振动，机械振动，然后转换为电力等等，大概最终会在互联网上传播。

“信息”是在每个转换中唯一保持不变的内容，这是构造函数理论的重点。构造理论旨在达到Deutsch所说的“信息的基质独立性”，这必然涉及比粒子，波和时空更基本的物理水平。他怀疑这个“更基本的层次”可能被所有物理系统共享。

对于Deutsch来说，信息和知识是身体生活的一部分。德意志在他的《无限的开端》一书中比较并对比了人类的大脑和DNA分子。他说：“除其他外，它们都是“通用信息存储介质……”，他称此信息为知识，当他说知识“不太可能存在时，他将生物学信息与解释性信息相结合”。而不是通过进化或思考的纠错过程。”生物知识的非解释性本质仅在于其局限性，在很大程度上仅影响生物的物理属性及其直接体验。但是，人类知识的解释性使我们能够接触远远超出我们即时经验的事物。

构造器理论首先理解每个物理系统都可以通过转换来理解，其中一个物理系统被另一个物理系统的作用所改变。导致转换的对象称为构造函数。但是，正如Deutsch的同事Chiara Marletto向我解释的那样，构造函数的一个关键定义特征是，在此过程中，构造函数“在再次引起转换的能力方面保持不变”。在有关该主题的哲学论文中，

Deutsch将热力学中的热机作为构造函数的示例。它不断地将热能转换成机械能，或将热量转换成功，然后循环运行，在每个循环结束时返回其初始状态，从而能够一次又一次地重复该过程。在此配置中，构造函数及其输入和输出状态共同描述了一个隔离的系统。

但是，Marletto还解释说，构造函数本身（导致转换的事物）在构造函数理论中被抽象化了，仅保留了输入/输出状态。

这些输入/输出状态表示为“状态的有序对”，称为构造任务。毫无疑问，这个想法是我们在代数中学到的有序数字对的远亲。还定义了任务的组成或任务网络，以说明多个系统的交互作用。建立该理论的挑战之一是定义任务（或任务代数）之间的关系，以使它们彼此有意义并能够准确表达已知的物理定律。构造函数理论自己的定律，实际上是“关于定律的定律”，已被命名为原则。原理描述了对其他定律的约束，而不是直接描述物理对象的行为。 Marletto告诉我：“我们猜测原理，然后建立与该猜想相符的数学结构。”代数必须在自身内部具有意义，能够表达已知的物理定律，并且能够定义构造函数理论的定律（或原理）。 Deutsch在描述他们的思维过程时告诉我们：

我们尝试去思考它的含义，找到关于它的含义的不同思路之间的矛盾，认识到代数以及我们在代数中编写的表达式不太有意义，改变代数，看看这意味着什么等等。

该理论的基本原理是，辅助理论或与构造函数理论兼容的所有物理理论必须完全根据关于哪些任务可能，哪些不可能以及为什么的陈述来表达。 Deutsch说：“如果您拥有关于可能和不可能的理论，那么它就隐含地告诉您所有物理定律是什么。”在对物理世界的构造论者理论描述中，“实际发生的事情被视为可能发生的事情的紧急结果，而不是相反。”

尽管它类似于其他抽象代数，但构造函数理论的代数是新的。但是我和Marletto同意，它基于非常熟悉的基本概念：有序对，一对一，输入和输出，组成以及数学转换的思想。从构造函数理论代数到我们大多数人在高中或大学学习的代数之间存在一条线。但是这个代数的希望是深远的。构造理论的原理，以及与这些原理兼容的辅助理论的定律，有望产生新的定律，而这些定律在现有理论中是不相称的。

经历了数百年的观察和熟练的实验，以及经过数百年的分析和数学洞察力后，这种代数的，信息驱动的数学结构可能能够达到产生新的物理理论所必需的深度，这一事实使我很感兴趣。在当前理论的框架内是无法表达的。代数的目的不是将当前的理论系统化，而是寻找其基础，然后打开我们尚未看到的事物的窗口。

那么物理现实和数学现实之间的关系到底在哪里呢？也许在于数学与认知本身的关系。认知过程本身就是一种转换，即感觉数据转化为我们经验中事物的感知属性，或相关经验转化为有意义的叙述或符号。基本的认知过程以数学方式起作用。例如，视觉大脑中的神经细胞专门用于响应垂直性等抽象。距离是通过测量我们两只眼睛的视线之间的差异来识别的，并且当大脑根据过去的经验为新的感官数据带来意义时，就可以计算出概率。也许数学是一项深思熟虑的活动，是人体已经在做的事情的延续—它在我们的意识范围之外完成了什么。然后，数学将塑造我们对更深层次现实的体验，就像身体正在努力去观察更多事物或去看待不同事物。这将支持Deutsch在演讲结束时表达的信心，即科学工作可以使我们更接近实际情况。

自19世纪初期以来，数学家和物理学家都在思考数学与物理学之间的关系。在过去的几年中，关于它们之间关系的问题不断扩大，并引发了新的问题。例如，数学家和计算机科学家格雷戈里·柴廷（Gregory Chaitin）最近在他的《证明达尔文：使生物学成为数学》一书中介绍了生物学的数学或更准确的说是生物学的软件。 Chaitin说，一旦发现软件，我们就能发现它在我们周围无处不在。他解释说，DNA是“在每个细胞中都能找到的通用编程语言”，因此生物学是关于算法信息的。 Chaitin已开始构建数学生物学，在遗传学中可以通过算法描述遗传历史。在他的工作模型中，数学创造力与进化的生物创造力之间没有区别。

Deutsch和Chaitin的提议都认为数学是生物过程不可或缺的。也许它们各自代表着科学思想的演变，在这种情况下，曾经被认为是机械作用和思想作用之间的区别变得不那么清晰，而思想作用被理解为宇宙生命的一部分。

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