Peter Scholze的数学形式化挑战

这是Peter Scholze撰写的客座帖子，解释了液体实向量空间数学形式化挑战。有关挑战的pdf版本，请参见此处。有关形式化的注释，请参见第6节。现在转到Peter。

定理1.1（Clausen-S。）让我们成为实数，让它成为一个有限集，并让它成为-Banach空间。设为的度量空间。然后

（这是在www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Analytic.pdf中定理9.1的特例，并且是定理6.5证明的本质。）

下面，我将解释定理中的所有术语是什么，以及我为什么在乎。我先向您道歉，说背景故事要长一些，但我认为这是一个有趣的故事，因此我尝试尽可能简短。

首先要说明的是压缩阿贝尔群的类别，在该类别中进行此计算。这是拓扑阿贝尔群的一种变体，但具有更好的性能。这是Dustin Clausen和我两年前开始发展的“浓缩数学”的一部分。我在波恩为此开设了两门课程：www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Condensed.pdf和www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Analytic.pdf，最近我们做了一个关于此的哥本哈根大师班，https：//www.math.ku.dk/english/calendar/events/condensed-mathematics/。

压缩数学声称拓扑空间是错误的定义，应该用略有不同的压缩集概念来代替它们。在给出它们的定义之前，让我先声明一些属性：

—实际上，大多数感兴趣的拓扑空间是“紧凑生成的弱Hausdorff”。实际上，这是代数拓扑中通常使用的拓扑空间。同样，所有常用的拓扑向量空间（例如，所有可度量的向量空间，或仅第一个可数的向量空间）都具有此属性。现在，紧凑生成的弱Hausdorff空间也完全忠实地嵌入到压缩集合中，因此在此类大量示例中，转换是完全无关紧要的。

—压缩集合具有非常好的分类属性，尤其是所有限制和共限制（例如拓扑空间）。但是它们还具有内部映射对象：如果是压缩集合，则存在一个压缩集合，以便对于任何其他压缩集合，可以使用map在功能上标识map。实际上，对于某些基本压缩集合上的映射，这同样是相对的。用类别来讲，“压缩集合是局部笛卡尔封闭的”。

—甚至更好，直到温和的集合论问题，压缩集合都形成了主题。 （更确切地说，除了存在一组发电机之外，它们满足Giraud的公理。人们可以构建一个压缩集类别的变体，称为巴威克–海因的缩密集的类别，这是一个主题，基本上是通过限制到由一组发电机生成的子类别中。）

现在让我解释什么是精简集。我和克劳森（Clausen）是从不同的轨迹来的（巴里克（Barwick）和海恩（Haine）却来自不同的轨迹；文献中有一些先驱，特别是Spanier的拟拓扑空间（在代数拓扑中）和Waelbroeck的压缩空间（在功能分析中）。对我来说，它开始于我的Perfectoid几何设计（毫不奇怪...），但是请随时跳过此段。 perfectoid几何的起点是通过提取的所有幂根来研究诸如-adic环之类的思想，从而得到无穷大的覆盖塔，然后传递到极限对象，这是一个Perfectoid空间。人们之所以想这样做，是因为令人惊讶的是，在某些方面，完美的空间要比通常的环形空间更好。特别是，存在倾斜程序将它们与特性相关联（再次，令人惊讶的是，特性在某种程度上比特性容易）。从技术上讲，一个人定义了环空（或任何刚性解析变体）的pro-étale站点，并表明在pro-étale站点中局部存在完美的空间。但是，让我们忘掉关于完美几何的所有知识，让我们简单地看一下这个故事的相似点是什么：在一个点上的光纤中，例如，在每个有限阶段中，它被有限多个点覆盖，在通过有限集（即有限集）的极限来限制。 （根据定义，有限集是Pro-（有限集）类别的对象。它们的类别等同于完全不连通的紧Hausdorff空间的类别，我经常会默认两个概念。）

这促使Bhatt和我本人介绍了一个点的亲情站点（或总体方案）。这是有限集的类别，其中的覆盖范围是联合射影地图的有限集合。

这听起来像是压缩集合是一个主题，但是上面我提到了集合理论问题。确实，有限集的类别并不小，因此必须以某种方式解决这一问题。让我在这里掩饰这一点；对于以下任何讨论，它都不是必需的。

这个定义（没有名称）已经在我2013年与Bhatt的论文中。但是我从来没有试图彻底理解这个概念。我知道从拓扑空间到压缩集（直至集合理论问题）都有一个函子：给定一个拓扑空间，一个人可以将任意定值集从传送到连续图。我不了解的是，该仿函数完全忠实于非常大的一类拓扑空间，而精简集合实际上是对拓扑空间的一种改进。这就是Clausen在2018年以PostDoc身份到达波恩时迅速说服我的。

在继续之前，让我描述一个压缩集“是”：对于每个有限集，它给出一个集，应将其视为“从到的映射”，因此它正在测量有限集如何映射到。捆公理保证了这些值之间的某种连贯性。明确地说，有一个“基础”。但是请注意，存在带有一点的压缩集合，但对于general来说，则有较大的集合。我们将在下面看到一个示例。重要的是要允许有这样的例子，以便有一个很好的一般理论。实际上，它们也不会产生太多麻烦。这是一个自由的世界。

示例2.2让它成为紧凑的Hausdorff空间。然后，一个经典的但有点怪异的事实是，从一个有限的集合中接受了一个排斥。一种构造是的Stone-Čech压实，其中被视为离散集。这使一个以等价关系作为商恢复。因此，紧凑的Hausdorff空间可以通过有限的等价关系视为有限集的商。当然，这似乎是查看紧凑的Hausdorff空间的一种可怕方法，但这是在压缩透视图中发生的事情，该透视图中仅记录了有限集的地图。挑战的部分原因是问题：这可能是一个很好的观点吗？

例子2.3。设间隔。在高中时，我们学会了用十进制扩展数来思考实数。我声称这会从一个有限的集合中产生一个排斥！为什么？的任何一点都可以用系数来表示，但是需要进行一些标识，例如。现在，十进制展开本身就自然形成一个有限集，即。只有在进行这些额外的识别时，才能产生连续性！因此，秘密地，在高中时，我们学会了将时间间隔视为有限集的商。

就像拓扑阿贝尔群一样，人们可以考虑凝聚阿贝尔群，即凝聚集合类别中的阿贝尔群对象。等效地，这些是点之前的传说中站点上的阿贝尔群。实际上，简明形式主义的一个不错的功能是，对于任何数学对象的概念，人们都可以考虑其简明版本：简明的群，简明的环，简明的类别，……，只需在赞成故事的站点上谈论这种形式即可。一点，就可以毫无问题地“将拓扑放在某物之上”。 （这是“在拓扑内部进行工作”的咒语……）但是，与拓扑阿贝尔群不同，凝聚阿贝尔群具有出色的形式特性：

命题3.1。压缩阿贝尔群的类别是具有所有限制和共限制的阿贝尔类别，并且是一类紧凑的射影生成器。特别是，它满足了Grothendieck的公理（AB3–6）和（AB * 3–4）（即，与阿贝尔群的类别相同），特别是过滤后的极限和无限乘积是精确的。

与通常的主题上的阿贝尔滑轮相比，这使它们的行为特别出色，甚至行为更加出色：通常，无限乘积是不精确的。

示例3.2在拓扑阿贝尔群中，一个标准问题是可以拥有拓扑阿贝尔群的连续图，这些拓扑阿贝尔是基础阿贝尔群的同构，但该图不是同胚。例如，设实数和具有离散拓扑的实数。那么，的内核和内核是微不足道的，而并非同构。在浓缩的阿贝尔群中，此问题的纠正方法如下：有一个确切的序列

其中是具有基础阿贝尔群的浓缩阿贝尔群，但对于一般的有限集，一个具有，通常不为零。

浓缩世界的另一个不错的功能是它是一个自由的世界。即，对于任何压缩集合，都有一个自由的压缩阿贝尔群（通过将presheaf取为给出）。如果是紧凑的Hausdorff空间，则可以明确地描述：它是紧凑的Hausdorff空间的联合，具有底层集合。实际上，这也定义了一个（紧密生成的弱Hausdorff）拓扑阿贝尔群；在这种情况下，这种构造可以追溯到马尔可夫的旧作品。

什么是紧凑型射影发生器？可以采用某些特殊的有限集，即所谓的“极度断开”的有限集。这包括离散集的Stone-Čech压实，而所有其他示例都是缩进。实际上，根据格里森的一个古老的定理，极端断开的有限集恰好是紧Hausdorff空间类别中的射影对象。极端断开的有限集很少见：最小的无限集具有基数。极端断开集合中的所有收敛序列最终都是恒定的。因此，您最喜欢的有限集的所有示例（康托集等）都不会极端断开。实际上，极端分离的存在与选择公理紧密相关（以非原理性超滤器的存在形式）：基本示例是离散集的Stone-Čech压缩，这些离散集与些鬼的尘埃：您将永远无法命名边界中的任何点！

该命题确保了可以进行中的同构代数，但这意味着对于计算，必须由极不相关集上的自由凝聚阿贝尔群进行解析。这些是一些“尘云”，其投影分辨率相当于通过“尘云”解决漂亮的物体。基本上不可能完全明确地执行此操作，但是有时可以合理地明确地执行此操作。克劳森开发了一些技术来进行非平凡的计算。尤其是：

定理3.3。设为局部紧凑的阿贝尔群，视为中的对象。然后，对，并同意Yoneda-Ext在局部紧凑的阿贝尔群中的类别，而通常的连续地图是。

因此，从局部紧凑的阿贝尔群开始，就没有扩展（或“较高”扩展）出现的“奇怪的”浓缩阿贝尔群：即使将事物切成尘埃云，将尘埃聚在一起的唯一方法是您可能会想到的方式。该定理的证明是不平凡的。它利用了Belen-Deligne的阿贝尔族解析。但是，如果使用正确的方法，则证明是非常整洁的。

这些结果表明，该方法的运行情况非常好，如果以合理的示例开头，则它们和-group通常保持行为良好。但是，这对于张量积不是正确的。即，如果有人说和的张量积，则有人得到一个凝聚的阿贝尔群，其下阿贝尔群是和的通常代数张量积，这是一个混乱的地方，因为实际和adic拓扑是不兼容的。人们希望有一个“完整的”稠密阿贝尔群的概念，以及由此产生的完整张量积的概念，从而使完整的张量积消失。类似地，与本身的完整张量积应为。

玩弄了几周之后，我们发现了一个完整的概念，它与实数完全不同。

定义4.1。如果对于任何有限集，任何映射都唯一地扩展到map，则当a被写为有限集的极限时，一个压缩的阿贝尔群是实心的。

人们也可以将其视为，即。从这个意义上讲，这表示任何地图都提供了一个唯一的地图，将的度量发送到。注意，有一张由“狄拉克测度”给出的地图。

定理4.2。坚实的阿贝尔群的类别在所有限制，共极限和扩展下都是稳定的，并且是一个浓缩的阿贝尔群的子类别。包含在压缩的阿贝尔群中，则允许左伴生的“凝固”，这是的唯一保留colimit的扩展。在坚实的阿贝尔群上有一个唯一的张量积，使对称单项式（即与张量积兼容）。坚实的阿贝尔群的类别具有紧凑的射影生成器，由的副本的无穷乘积给出。

示例4.3离散组是实体，然后通过限制和共限（以及内部Hom）构建的所有对象仍然是实体。这包括等，实际上是普通代数中出现的所有内容。离开类别的唯一方法是获取张量乘积。这些必须重新巩固。但是，等等。实际上，考虑到固体向量空间，人们可以获得一个进行adic功能分析的理想框架。固体张量积可恢复Banach空间甚至Fréchet空间的通常完整张量积。

让我们回顾一下我们的立场。简洁的形式主义主要由-adic几何中的问题所激发，基于有限集，并且可以很好地处理-adic功能分析。所有这些都是非存档的。另一方面，我们想声称缩合集比拓扑空间更好，甚至超过。那么实数呢？

坏消息是，实际数字绝对不是可靠的。它们的固化等于。问题在于，上的值度量空间没有任何阿基米德边界。

进行研究，从而导致考虑有限集（带符号的Radon）的空间；作为一个浓缩的阿贝尔族，

这是紧凑的Hausdorff空间的组合（配有弱拓扑）。可以写出，哪里是有限集上的自由向量空间，并且最多引用-norm的一部分。最初，我们希望以下定义是合理的。

定义5.1。如果对于任何有限集，任何映射都唯一地扩展到map，那么压缩向量空间是完全的。

任何完整的局部凸向量空间都会产生一个-complete。相反，-完备性的条件与局部凸度密切相关。可以将许多功能分析转换为此设置。特别是（在要求准分离性的前提下），可以在这种情况下定义一个完整的张量积，从某种意义上说，它可以恢复Banach空间的内射和射影张量积。不幸的是，事实证明这一类别不是阿贝尔的，在扩展等情况下也不是稳定的。问题是存在Ribe扩展，即Banach空间的扩展，它本身并不是局部凸的。它来自熵函数。这迫使我们在形式主义中包括非局部凸空间。传统上，这导致了-Banach空间的概念，其中包括-spaces：-Banach空间是拓扑向量空间，对于-norm而言是完整的。唯一更改的公理是缩放公理：for，。特别地，仍然满足通常的三角不等式。 [在这之间总是总是有一个素数代表我，而这是表示-norms的标准字母之间存在一些不幸的符号冲突。用撇号根本没有多大帮助！]

Kalton有一个定理，-Banach空间的任何扩展都是-Banach。这导致以下定义。

定义5.2。 F或一个有限集，令-的空间为，其中

定义5.3。如果对于任何有限集和任何映射，任何映射都唯一地扩展到映射，则凝聚向量空间为-液态。

经过大量的努力，我们相信我们能够证明我们的关于阿贝尔群的定理的类似推论。

定理5.4。 -液体-向量空间的类别在所有极限，共极限和扩展（甚至在凝聚的阿贝尔群中）下都是稳定的，并形成凝聚的阿贝尔群的阿贝尔子类别。所有缩合的阿贝尔群中都包含一个左伴随的“-液化”，这是的唯一保留colimit的扩展。 -液体-向量空间具有唯一的张量积，从而使-液体化对称单项式。 -液体-矢量空间的类别具有紧凑的射影生成器，由给出，用于极端断开。

在核空间上，对于-的任何选择，-液体张量积都与通常完成的张量积一致。 （可以说，这是人们可以期望的最好的结果，就巴纳赫空间而言，格洛腾迪克定义的张量积没有一个，而是几种自然的选择。-液态的仍然是不同的，通常不产生巴纳赫空间，但在核情况下这些细微之处就消失了。）

这是我想形式化的定理。如开头所述，归结为定理1.1（并不完全明显，但非常安全），定理1.1和-Banach空间之间的-group消失了。

备注5.5。液体向量空间的类别取决于的选择；因为，条件最强（最接近局部凸度），并且随着接近而变弱。对于应用程序，通常任何选择都是可以的。令人惊讶的是，现在不仅有一种理论，而且还有整个理论家族！实际上，事实证明，也有类似的理论。在那种情况下，它们对所有人都存在，并且在某种意义上说，其极限理论是固体向量空间的理论。因此，人们可以认为，对于增加，对象变得越来越“粘稠”，直到它们变得牢固为止。 （另一方面，在某种意义上，的极限是所有压缩向量空间的类，人们可以称其为“气态”。）超过，则需要考虑，否则极限中的跃迁图就不好-defined，因为它们可以增加-norm。

—我要强力主张，在数学基础上，应该用压缩集合代替拓扑空间（除非它们原本是拓扑）—拓扑是拓扑空间的一种单独变体，它是有用的，在某种程度上与压缩空间无可比拟。集）。如果压缩集合也可以在实际功能分析中达到其目的，则此主张才成立。

-通过该定理，希望可以将简明形式主义有效地应用于实际的功能分析框架

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