游戏数学：概率

赌场游戏数学的骨干是“概率”。非正式地，我们将概率理解为一个数字，它描述了某种事物发生的可能性。通常以分数或小数形式给出，值在0到1之间，或者以百分比形式给出，值在0％到100％之间。概率为0表示事件永远不会发生。概率为1表示事件始终发生。例如，掷两个骰子，总和为13；那是不可能的，所以概率为0。抛硬币，使硬币正面或反面都出现；这是确定的，因此概率为1。在我们数学上完美的世界中，骰子和硬币永远不会掉落。

正式的概率论始于了解所谓的“样本空间”。这只是所有可能结果的描述-可能发生的一切。一些例子：

1.投掷硬币有两个结果；示例空间为{Heads，Tails}。

2.掷骰子有6个结果；样本空间为{1,2,3,4,5,6}。

3.掷两个骰子时有36个结果（第一个骰子和第二个骰子产生的值从1到6，所以有6×6 = 36个结果）。样本空间为{[1,1]，[1,2]，[1,3]，[1,4]，[1,5]，[1,6]，[2,1]，...等on}，或更简单地说，使用集合构建器符号，它是{[x，y] | 1≤x≤6，1≤y≤6}。

4.旋转轮盘赌有38个结果。样本空间由数字1到36以及零和双零组成。

5.有52种方法可以从卡组中发出一张卡片。样本空间由一组卡值（等级和花色）组成。

6.德州扑克中有1,326张两张牌的起手牌。样本空间由成对的卡片组组成。

许多实验都有一个样本空间，从该实验的性质可以很容易地理解它，但是可能没有明确描述。对于赌场游戏，样本空间通常非常大，这反映出直觉的感觉是，有太多事情可以发生，无法一一列举。数学家必须将它们全部计算在内。

*在单副牌二十一点游戏中，有66,300种方式可以向玩家发牌对抗发牌者发两张牌。 *有2,598,960种方式可将5张牌分发给扑克玩家。 *在三张牌扑克中，有407,170,400种方式可以向玩家和发牌人分配各自的三张牌。 *两名玩家可以通过55,527,620,048,000的方式玩德州扑克的一手牌，包括最初的两张牌，三张翻牌，转牌和河牌，彼此正面对抗。

“事件”包含实验中可能发生的一些事情。事件是从游戏中可能发生的一切中描述某些事物的一种方式。以下是一些与上面列表中的某些游戏相对应的事件示例：

*扔硬币并获得正面。 *掷出两个骰子，得到7的总和。*被对着一张Ace的发牌手给一个二十一点。 *作为五张扑克手被派出一张满满的房子。 *在三张牌扑克中被淘汰，输给了更高的顺子。 *在德州扑克中获得口袋对子。

要计算事件的概率，我们需要知道两条信息。首先，我们需要对样本空间中各个元素的数量进行完整计数。其次，我们需要知道集合中有多少个与事件相对应的元素。简而言之，我们需要知道样本空间的大小和事件的大小。

写下“概率”一词很麻烦；通常，在提到事件的可能性时，请使用字母“ P”。

关于概率的等式，尚不明显的是如何计算各种集合的大小。不幸的是，在游戏中很少有简单的问题，而这些计数问题可能非常复杂。对于那些容易计数的情况，可以快速计算出概率。我们将通过几个示例来演示其中的一些技术。希望这些示例将有助于阐明赌场游戏概率的概念以及用于得出这些值的一些方法。

扔硬币时，让H =“正面”，T =“泰勒”。对于一次抛硬币，样本空间为{H，T}，并且其中有两个元素。获取“ heads”对应于事件{H}，其中有一个元素。所以：

在德州扑克中，可能有52张可能的第一张牌和51张可能的第二张牌。由于卡片的顺序无关紧要，因此我们将2除以考虑对称性。样本空间的大小为：

我们考虑将事件处理为一对。如果我们看一下成对的局，则有六个可能的对（再次，顺序无关紧要）：{[2C，2D]，[2C，2H]，[2C，2S]，[2D，2H]，[2D ，2S]，[2H，2S]}。对于任何等级的卡，该等级都有六对可能。该对有13个可能的等级，在该等级有6种制作该对的方法。这给出了13×6 = 78对。因此，发出一对口袋对的事件大小为13×6 = 78。

当滚动两个骰子时，样本空间为{[x，y] | 1≤x≤6，1≤y≤6}；样本空间中有36个元素。 “获得7之和”事件对应于样本空间{[1,6]，[2,5]，[3,4]，[4,3]，[5,2]，[6]的子集，1]}。此子集中有6个元素。因此：

在单副牌二十一点中，玩家有（52×51）/ 2 = 1,326个可能的两张牌起始手。每只这样的手，甲板上剩下50张卡，可以作为发牌者的补卡。因此，有1,326×50 = 66,300种可能的启动情况。因此，样本空间的大小为66,300。我们感兴趣的事件是针对庄家Ace的二十一点。玩家二十一点由一张面孔卡（其中16张）和一张A（其中4张）组成。玩家有21×4 = 64种方式被分配二十一点。发牌人补牌中的50张牌中剩余3张A。因此，玩家有16×4×3 = 192种方式可以对着A的发牌手进行二十一点的二十一点。玩家二十一点针对庄家A的事件为192。因此：

这就是说，玩家可以考虑拿“偶数钱”的情况每10,000手出现约29次，或每345手出现一次。在一张全桌子和标准交易速度下，这相当于单张桌子每小时每张桌子约有一个玩家“甚至有钱”的决定。对六层鞋类游戏进行相同的计算，我们得到了一个大小为15039960的样本空间和一个大小为52992的事件，因此：

这意味着，即使是钱的情况，每10,000手出现约35次，或每284手出现一次。在鞋类游戏中，即使是金钱也更为普遍，因此，赌场可能会获得更高的利润。

在这个例子中，我们将通过三张牌扑克中的对子加注的数学细节进行计算，并计算所有概率。

首先，样本空间由52张纸牌组成的三张纸牌组成。第一卡有52个可能值，第二卡有51个可能值，第三卡有50个可能值。可以用六种可能的方式重新排列三张卡，但仍然是相同的三张卡：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB和CBA。因此，不同的三张牌的手数为：

这些很容易计算。为了获得直线，我们必须用四套西装之一获得A23、234、345、456、567、678、789、89T，9TJ，TJQ，JQK，QKA之一。有12个顺子，每条顺子可以出现在四种花色之一中，因此有12×4 = 48种方法可以得到顺子。所以：

同样，我们可以直接计算这些。对于局末平分，我们可以用[2C，2D，2H]，[2C，2D，2S]，[2C，2H，2S]和[2D，2H，2S]中的任何一只手进行行程。任何级别都有四次旅行，而十三级别有旅行，因此有13×4 = 52种方式可以得到三种。所以：

我们首先计算所有平局，包括平局。如上所述，平直牌由A23、234、345、456、567、678、789、89T，9TJ，TJQ，JQK，QKA等手型之一组成。让我们特别看看A23。我们可以为A，2和3设置任何西装；每种西装都有四种选择（棍棒，钻石，红桃和黑桃）。因此，A23顺子包括从{AC，AD，AH，AS}，{2C，2D，2H，2S}和{3C，3D，3H，3S}中分别选择一张卡。选择这三张卡有4×4×4 = 64种方式。因此，共有64个A23型平直。共有12种类型的直道，每种直道可以以64种方式发生。因此，顺子总数为12×64 =768。但是这个数目包括我们已经计算的44条顺子同花顺手，因此我们必须减去这些顺子。这样就剩下768 – 48 = 720个不是同花的顺子。所以：

我们需要计算X，Y和Z具有相同花色且手不是同花顺的所有手XYZ。我们将挑选西装俱乐部。有13张卡片。我们可以从第一张卡的这13个中选择任何一个，第二张卡的其余12个中的任何一个，第三张卡片的其余11个中的任何一个。由于可以用六种可能的方式重新排列三张牌，而发牌的顺序也无关紧要，因此得出在俱乐部中进行同花顺的方式数量为（13×12×11）/ 6 = 286。同花顺，其中12个为同花顺。这样一来，非直冲球杆中的同花顺就为286 – 12 = 274。因为有四个花色，所以冲洗的总数为274×4 = 1,096。所以：

有6种获得任何排名的方法。例如，要获得一对平局，玩家必须持有一对[2C，2D]，[2C，2H]，[2C，2S]，[2D，2H]，[2D，2S]或[2H]中的一个， 2S]。配对后，第三张卡必须是另一张等级的卡（否则，手将被绊倒）。有48张卡牌与两张卡的排名不同。放在一起，这对有13个可能的等级，该等级有6个对，以及不同等级的48个可能的第三张牌。将这些乘以在一起，我们总共得到13×6×48 = 3,744对。所以：

最后一种情况是最简单的。一无所获仅仅意味着那只手不是以上任何一个。我们简单地从总手数中减去以上所有结果。这使22,100 – 48 – 52 – 720 – 1,096 – 3,744 = 16,440手牌失去了Pair Plus投注。所以：

现在我们说明如何计算命中频率。对于Pair Plus投注，玩家只要拥有一对或以上的对子，便会获胜。命中频率对应于被配对或更好的概率。要查找此事件中的元素数，我们只需将所有可能的获胜手相加即可。这样做，我们得到48 + 52 + 720 + 1,096 + 3,744 = 5,660。所以：

因此，命中频率为3.9分之一。四舍五入后，该玩家大约每四次对对下注赢一次。

最后，请注意，如果我们将所有概率加在一起，我们将得到0.002172 + 0.002353 + 0.032579 + 0.049593 + 0.169412 + 0.743891 = 1.000000。这仅表示发生某事的概率为1，即确定性。

下图使用Shuffle Master为此赌注提供的最慷慨的支付表，总结了我们刚刚计算出的概率以及各种事件的支出。通常，当玩家输球时，赔付为-1。毕竟，他失去了赌注。在所有其他情况下，将退还玩家的赌注，并向他支付表中指示的金额。