对称，代数和怪兽

您可以原谅数学家被怪物群吸引，这是一个巨大而神秘的代数对象，以至于他们花了将近十年的时间证明它的存在。 30年后的今天，弦理论家（物理学家正在研究如何通过隐藏的尺寸振动的细弦来解释所有基本力和粒子）正寻求将怪物与他们的物理问题联系起来。这个超过10个53个元素的集合激发了数学家和物理学家什么呢？对诸如怪兽之类的代数族的研究有助于理解对称的数学结构，而隐藏的对称则为建立新的物理理论提供了线索。小组理论在许多方面都是数学抽象的缩影，但它却是我们最熟悉的一些数学经验的基础。让我们探究对称性的基本知识和阐明其结构的代数。

我们喜欢说事物是对称的，但这到底意味着什么？直观地，我们具有一种镜像的对称感。假设我们画出一条穿过正方形中间的垂直线。

这条线将正方形切成两个相等的部分，每个部分都是彼此的镜像。这个熟悉的例子称为线对称。但是，还有其他种类的对称性与镜子无关。

在这里，我们看到了围绕正方形的中心点（对角线的交点）逆时针旋转正方形的过程。旋转90度（四分之一圈）后，其外观与以前相同。正是对象的这种变换，因此结果与定义对称性的原始对象是无法区分的。上面的旋转是正方形的一种对称，而我们的线对称示例可以认为是另一种。

让我们花一些时间来定义一些术语。我们将原始对象称为“前图像”，将转换后的对象称为“图像”，并且我们将使用术语“映射”来指代转换一个对象（点，线段，正方形等）的过程。 。）变成另一个。对称性要求变换不改变对象的大小或形状。满足此要求的变换称为“等轴测图”或刚性运动，基本等轴测图是线的反射，围绕点的旋转以及沿向量的平移。

现在我们可以继续分析正方形的对称性。我们知道一种对称性是“在穿过中心的垂直线上的线反射”。另一个是“围绕中心逆时针旋转90度”。还有其他吗？他们是什么，有几个？与数学中的情况一样，预先计划和良好的表示法会使我们的分析容易得多。

首先，假设我告诉您我们已经通过对称变换了正方形，这就是结果。

应用了哪种对称性？正方形旋转了吗？反映了吗？当然，由于对称性的标准，这不可能说出来。为了帮助我们识别特定的对称性，让我们首先标记原始正方形的顶点。

此外，我们同意，每当对原始正方形进行图片描绘时，我们总是会想象它被标记为：左上角是A，右上角是B，右下角是C，左下角是D。

现在，当我们变换正方形时，我们可以观察标签的位置。例如，在通过中心的垂直线进行反射之后，正方形的图像如下所示：

相对于原始标签，A现在处于B位置，B现在处于A位置。同样，C和D交换了职位。以原始标签为ABCD，我们将这种转换产生的新标签表示为BADC。这表明在此转换下，A映射到B，B映射到A，C映射到D，D映射到C。我们可以通过以下方式直观地看到符号的工作方式：

我们将始终以起始位置为ABCD，因此列表中的相对位置描述了转换后每个原始顶点的映射位置。再举一个例子，我们将逆时针旋转90度表示为DABC，因为A映射到D，B映射到A，依此类推。

从技术上讲，这仅描述了变换下拐角处发生的情况，但事实证明，这足以描述整个正方形所发生的情况。这是因为对称是对称，可以保留对象的大小和形状。等轴测图无法使角或顶点变平，因为那样会改变对象的形状。这意味着角A，B，C和D都必须映射到角。同样，等距线的属性可确保线段映射到线段。因此，一旦我们知道了广场的各个角落，边就可以骑行了。换句话说，正方形一侧的图像由作为其端点的顶点的图像确定。

这意味着我们可以通过四个字母A，B，C和D的某种排列来完全指定正方形的对称性。这本身很引人注目，但同时也立即暗示了正方形对称性数的上限：正方形的对称性不超过这四个字母的排列形式。有多少种这样的安排？

考虑一下如何安排这些字母。您可以从这四个字母中的任何一个开始，但是一旦选择一个字母开头，第二个字母就只有三个选择。选择第二个字母后，第三个字母将只有两个选择，最后，第四个字母将只有一个选择。一个基本的计数论点告诉我们

字母A，B，C和D的可能排列方式。因此，正方形最多有24个对称。

实际上，正方形的对称性远远少于24个，另外一种简单的论点将向我们说明原因。让我们回到原始图。假设我们知道正方形映射A到B的对称性。C可以去哪里？

答案是C只能映射到D。A和C是正方形对角线的端点。由于等轴测图不会改变大小，因此在映射前后，A和C之间的距离必须相同。如果将A映射到B，则正方形上只有一个点，该点与A现在所在的对角线即D的长度成对角线的长度。

这大大减少了正方形的可能对称数。假设我们构造一个对称性； A点结束的位置有多少种可能性？由于顶点必须到达顶点，因此A的图像只有四种可能性。一旦我们选择了A的目的地，C的目的地就只有一种可能性：与A的图像对角的顶点。 B仅留下两个选择，并且类似的论点表明D将只有一个选择。

最终，在确定正方形的对称性时，实际上只有两件事可以决定：A到哪里（四个选择）和B到哪里（两个选择）。这意味着正方形只有4×2 = 8个对称性。使用我们的符号，这是完整的列表：

现在，我们不能保证所有八种可能性都是正方形的实际对称性。但这是一个很小的列表，因此我们可以检查它们并验证它们是否确实符合合法的对称性：左侧的四个是旋转（分别为0、90、180和270度），右侧的四个是旋转。反射（两次通过垂直和水平线，两次通过对角线）。

因此，这八个变换都是对称的，并且既然我们确定一个正方形最多具有八个对称，显然我们已经找到了所有的对称。但这真的可以全部都包括在内吗？

当我们注意到一种自然的方式来组合对称时，就会产生一个担忧：我们可以简单地连续应用它们（对变换的一种操作称为“合成”）。由于对正方形应用对称性会再次给我们相同的正方形，因此您可以应用另一个对称性，这将再次产生相同的正方形。这意味着，如果连续应用多个对称，则这些对称的组成本身就是正方形的对称！通过以上八个的各种组合，我们可以潜在地生成正方形的新对称性。

但是当我们尝试这样做时，会发生一些有趣的事情。假设我们将正方形逆时针旋转90度，然后将其反射通过中心的垂直线。顶点会发生什么？旋转将A移到D，然后反射将其移到C，因此最终A移到C。B旋转到A，然后反射回B，因此B映射到B。C旋转到B然后反射到A，D旋转到C，然后反射回D。在我们采用的表示法中，这两个变换的组成可以描述为

但是这种对称性已经在我们的清单上了！逆时针旋转90度，然后在穿过中心的垂直线上反射，实际上是围绕对角线BD的反射。事实证明，以上八个对称性的每个组合本身就是以上八个对称性之一。

现在，我们介​​绍了这组对称性中固有的基础代数结构。当我们通过合成将两个对称合并在一起时，我们会得到另一个对称，这与我们通过加法将两个数字合并以获得另一个数字的方式大致相同。就像数字零在我们的数字系统中一样，存在一个身份对称性（旋转0度）。每个对称性都可以撤消，就像加3可以撤消加3一样：例如，将正方形再旋转270度可以撤消将正方形旋转90度的撤消。

这些是组的基本代数性质，它们赋予组类似正方形的对称性的组，其结构和规则性类似于我们熟悉的数字系统。但是，对称性组也表现出自己复杂而微妙的特征。例如，我们的正方形对称组仅包含八个元素，与我们的无限数系统形成了鲜明的对比。虽然我们可以以类似于加数的方式来组合对称，但是组合它们的顺序却有所不同：3 + 4 = 4 + 3，但是反射和旋转并不一定与旋转和反射相同。反射。

我们已经了解了正方形简单对称性背后的代数结构。数学家和弦理论家会发现潜伏在怪物深处的什么东西？

下载“计算对称性” PDF工作表，并观看以下有关对称性如何影响自然规律的视频。