数学与计算机科学年

对于数学家和计算机科学家而言，2020年充满了跨学科的发现和对创造力的庆祝。几个长期存在的问题导致了持续的协作，有时还作为快乐的副产品回答了其他重要问题。尽管有些结果可以立即应用，研究人员可以改进发现或将其纳入其他工作，但其他结果目前仍是启发，表明取得了进展。

年初，Quanta描述了五位计算机科学家如何对纠缠的量子计算机验证问题的能力建立限制。作为他们工作的一部分，研究小组还回答了物理学和数学领域的长期问题，这使一直致力于这些问题的研究人员感到惊讶。另一组合作加强了连接遥远数学领域的深远桥梁。被称为Langlands对应关系的这座猜想桥为加深我们对许多数学子领域的理解提供了希望。

今年，我们还研究了数学家对几何构造的日益熟悉，研究了计算机程序如何帮助数学家提供证明，并调查了数学的现状及其存在的问题。但是，今年并非所有新闻都令人欣喜：COVID-19的普及使在职数学家的研究复杂化，他们越来越依靠合作来推动这一领域的发展。这场流行病还夺走了伟大的数学家约翰·康威（John Conway）的生命，大约一个月前，我们就传出一个研究生解决了一个涉及他的标志性结的著名问题的消息。

有时，科学成果是如此重要，许多学科被迫引起重视。一月份就是这种情况，其地标性证明简单地称为“ MIP * = RE”。由五位计算机科学家撰写的论文证明，纠缠量子位计算的量子计算机可以从理论上验证对大量问题的答案。在研究过程中，研究人员还回答了另外两个主要问题：Tsirelson的物理学问题（关于粒子纠缠模型）和纯数学问题（称为Connes嵌入猜想）。当然，对于工作涉及此猜想的研究人员（该研究认为无限维矩阵总是可以用有限维近似）而言，突然从外部论文中得知它是错误的，这实在令人震惊。数学家现在必须重新审视与这些矩阵有关的其他假设，同时急忙学习足够的计算机科学以理解本文。

计算机科学家今年在解决著名的旅行推销员问题上也取得了胜利，该问题涉及如何找到所有城市中最短的往返路程。 7月，三位计算机科学家使用一种称为多项式几何的数学学科来证明，现代算法比起长期存在的最佳方法至少在效率上具有无限的提高。听起来至少相差至少“百分之一万亿分之一的百分之二十亿”，但事实证明，解决数十年来一直存在的问题确实可以取得进展。

大约三十年前，费马最后定理的证明受到全世界数学杂志和报纸的称赞。但这仅仅是更大努力的开始。该定理建立了一种遥远的数学大陆之间的桥梁，一侧是某些代数方程，另一侧是一种几何平铺的对称组织。当两篇论文极大地扩展了现在已连接的方程式和拼贴的类型并消除了进一步扩展的长期障碍时，这座桥梁被称为Langlands通讯，得到了重大升级。芝加哥大学的马修·埃默顿（Matthew Emerton）说：“正在揭示一些基本的数论现象，而我们才刚刚开始理解它们是什么。”

在其他数字新闻中，Vesselin Dimitrov使用另一个著名的桥梁-将多项式连接到幂级数-精确地量化多项式的某些数值解如何在几何上相互排斥。 Quanta还探索了表示理论的力量，该理论显示了连接复杂的对象（称为组）与更简单的矩阵概念的联系。所有这些结果表明，在新的情况下考虑现有数学思想的重要性，以弄清问题是否目前可以解决。例如，牛津大学的数学家詹姆士·梅纳德（James Maynard）经常花费时间来解决著名的难题，并且顽固地拒绝接受失败，而是从质数之间的差距中寻求新的见识。

许多数学问题对现实生活没有影响，但是在3月，Quanta承担了不下宇宙本身的几何形状。我们对生活在平坦，球形和双曲线几何形状中的思维前景的探索（根据当前数据，最有可能的选择）揭示了一个镜像大厅，您可以看到自己的无限副本，也可以看到同伴越来越大的世界。他们离开了。尽管某些线索暗示着我们的宇宙很可能是一个平坦的世界，但也可能只是它看起来是平坦的，就像当您站在地球上时，地球看起来显然是平坦的一样。

在一个不太宇宙的领域，两位数学家终于在5月解决了一个古老的问题，即通过在光滑连续的闭环上连接点可以找到哪种矩形。通过将可能的矩形重新想象为特殊形式的四维空间内的点的集合，该对发现所有此类循环都包含一些点集，​​这些点集定义了任意比例的矩形。同样在5月，三位数学家解决了关于十二面体的一个基本问题（十二面体，对我们的专栏作家Robbert Dijkgraaf来说，是一种数学美的形式）。他们表明，确实有可能在不经过任何其他拐角的情况下在形状的表面上跟踪往返行程，实际上，他们发现存在无限数量的此类路径。

数十年来，数学家一直使用称为证明助手的计算机程序来帮助他们编写证明–但是人类一直在引导过程，选择证明的总体策略和方法。这可能很快就会改变。许多数学家对名为“精益”的计划感到兴奋，该计划是一种高效且令人上瘾的证明助手，有一天可以帮助解决重大问题。但是，首先，数学家必须将数千年的数学知识（其中大部分是未书写的）数字化为精益可以处理的形式。研究人员已经对一些最复杂的数学思想进行了编码，从理论上证明了该软件可以处理难题。现在，剩下的只是一个问题了。

该软件的一项重大测试将于明年在国际数学奥林匹克或IMO上进行。微软研究院的丹尼尔·塞尔萨姆（Daniel Selsam）创立了IMO大挑战赛，该挑战赛希望利用Lean开发一种人工智能，该人工智能可以在数学竞赛中获得金牌。当然，距离取代人类的计算机还有很长的路要走，而且许多数学家仍然没有完全接受这些程序。但是计算机现在已成为数学研究的主流，其纯粹的计算能力被证明对回答某些大问题至关重要，例如多维正方形是否必须精确地共享边。

如果您对数学感兴趣，但无法从有限域中分辨出Calabi-Yau流形，那么我们的数学地图可能会有所帮助。正如数学家所理解和实践的那样，该地图围绕三个起点（数字，形状和变化）进行组织，提供了当前数学状态下的速成课程。显然，这不是一个全面的主题，但我们的最大目标是不仅说明最重要的数学概念，而且说明它们之间的关系。

对基本数学思想的其他潜在有益探索包括对哥德尔不完备性定理的解释，证明所有数学系统都有一些无法证明的陈述，并讨论称为p-adic数的替代数字系统如何工作以及为什么证明了它们有助于理解有理数。

成功的数学家通常是富有创造力的人，能够发现新的联系并找到解决旧问题的新方法。 2月，《数学年鉴》发表了Lisa Piccirillo的证明，后者在仍然是研究生的时候，用一些久负盛名但很少使用的数学工具回答了数十年来关于结的问题。长期以来，以传奇数学家约翰·康威（John Conway）的名字命名的一个特定结一直躲避数学分类，因为它具有更高的维数特性，称为“切片性”。但是，通过开发适用于传统结分析的结版本，Piccirillo最终确定了Conway结不是“切片”。

不幸的是，康威本人于4月份死于COVID-19，他的妻子在我们的评论部分确认，他不知道Piccirillo的结果。 康威（Conway）自己的贡献远不止于打结理论-他丰富了群体理论，数论，分析等等，同时始终对游戏和谜题感到满意。 广达（Quanta）通过我们的《十月见解》拼图向他致敬，其中包括他发明的数字谜语以及其他基于他的作品或受其启发的游戏。