众所周知，声波以不同的速度传播通过不同的气体。可能最流行的现象是吸入氦1的人的嗓音。
这篇文章的目的是了解气体的分子组成如何决定通过它的声波的速度。为确保我们扎根于现实，我们特别想解释一下《化学与物理手册2》中通过各种气体的声速表。这些速度是针对标准大气压（1 atm）的气体以及参考温度。
盯着这张桌子后，出现了一些趋势。首先，声音的速度似乎随着气体质量的增加而降低。但是显然质量不是唯一的相关因素。例如，氩气比乙烷重，但声音在氩气中的传播速度更快。霓虹灯和氨气也是如此。
我们如何理解这些离群值？注意，在两种情况下，较轻的分子仍然包含更多的原子。例如，乙烷分子有8个原子，而贵族氩气只有一个。那么，也许原子数决定了声音的速度，而原子数越多意味着声速越低？
第二个假设也失败了。例如，甲烷比氩具有更多的原子，但通过甲烷的声速更大。
为了理解这些数据，我们将开发一个描述声波的简单模型，并使用该模型使用牛顿运动定律和基本热力学来推导声速公式。然后，我们在上表中测试我们的模型，发现它出奇的准确！
基于我们模型的实验成功，我们可以得出结论，理想气体中的声速取决于三个因素：温度，质量和热容量。正如我们将在后面更详细地解释的那样，热容量实际上是原子数量的替代。一般的想法是，分子可以吸收能量到其组成原子相对于彼此的振动和旋转中。因此具有更多原子的分子有更多的机会吸收热量。
在下一部分中，我们将研究波浪穿过弹簧连接的一系列球时发生的情况。关键的结果将是根据球的质量和弹簧的刚度来计算这种波动的速度的公式。
然后，我们将显示充满气体的气动管的行为与弹簧非常相似。使用理想气体定律和热力学第一定律，我们将看到这种弹簧的“刚度”取决于气体的温度和热容量。
最后，我们将所有内容放在一起，以质量，温度和热容量的形式写下气体中声速的公式，并验证其与表格一致。
声波是压缩波的一个例子。在本节中，我们将研究一个更简单的压缩波模型，然后将结果扩展到声波。
我们的模型包括一系列通过弹簧连接的球，如下图所示：
这些球都具有相同的质量，我们用$ m $表示。类似地，所有弹簧具有相同的刚度$ k $和长度$ h $。
如果我们在一端压缩弹簧，会发生什么？这是一个比较两个100个球的系统的模拟。系统之间的唯一区别是，顶部弹簧的刚度为$ k = 1 $，而底部弹簧的刚度为$ k = 10 $。每条线代表一个球，为清楚起见已省略了弹簧。此外，一些“球”已被涂成红色，以便于跟踪其运动，但它们在物理上与其余的球相同。
模拟从最左边的十个弹簧压缩开始。这些弹簧向后推，将弹簧向右压缩。然后这些弹簧向后推向邻居，最后右侧的弹簧被压缩。我们称这种压缩传播为压缩波。
请注意，当具有$ k = 10 $的底部模型中的波到达另一侧时（即，当右端被压缩时），具有$ k = 1 $的顶部模型仅经过了大约1/3 $ 。换句话说，$ k = 10 $模型中的波动传播速度大约是$ 3 $倍。
本节其余部分的目的是根据质量$ m $，弹簧刚度$ k $和弹簧长度$ h $得出球和弹簧模型中压缩波速度的公式。如果公式是好的，那么希望它将预测我们在仿真中观察到的速度差。
让我们开始分析每个球在时间$ t $偏离平衡的距离。在我们的模型中，球$ i $的平衡位置为$ x = i \ cdot h $。我们将$ u（x，t）$定义为等于具有平衡位置$ x $的球在时间$ t $之前移动的量。例如，$ u（4 \ cdot h，10）$记录了球$ 4 $在时间$ t = 10 $时从其平衡位置移动的量。
为了使事情更具体，这是先前模拟中$ k = 10 $模型的$ u（x，t）$图表。为了使数字更好看，在此模拟中，我们以$ h $的倍数来度量$ x $，而$ t $是帧索引。
如您所见，在$ t = 0 $处，$ u（10，0）= -9 $，这对应于第$ 10 $球已被$ 9h $米向左拉的事实。附近的球也已转移到较小的程度。但是对于$ x \ geq 20 $，$ u（x，0）= 0 $，这意味着所有位于球$ 20 $右边的球都从其平衡位置开始。在$ 30 $之后，情况有所不同。现在$ u（10，30）$接近于零，而$ u（90，30）$则在$ 8 $左右，这表明现在最右边的弹簧已被压缩。
如果下面的弹簧和上面的曲线之间的关系不清楚，则集中于红色突出显示的线之一，并观察该曲线上方的点在该线左右振动时如何上下移动可能会有所帮助。 。
为了理解压缩波如何传播，我们将分析$ u（x，t）$随时间的变化。让我们从专注于平衡位置为$ x $的球开始：
在时间$ t $，图的中间球上施加了多少力？首先让我们考虑“弹簧A”。弹簧的右端已移位$ u（x，t）$，而左端已移位$ u（x-h，t）$。在一起，这意味着弹簧A已被拉伸$ u（x，t）-u（x-h，t）$。因此，根据胡克定律，弹簧A在球上施加的力为：\ [F_A = -k \ cdot（u（x，t）-u（x-h，t））\]
同样，“弹簧B”施加的力为：\ [F_B = k \ cdot（u（x + h，t）-u（x，t））\]
在这种情况下，没有负号，因为力在右边。因此，在球上的总力为：\ [F = F_A + F_B = k \ cdot（u（x + h，t）-2u（x，t）+ u（x-h，t））\]
乘以$ h ^ 2 $并除以得到：\ [F = kh ^ 2 \ cdot \ frac {（u（x + h，t）-2u（x，t）+ u（x-h，t）） } {h ^ 2} \]
但是当$ h \ rightarrow 0 $时，相对于$ x $，右边的分数收敛到$ u（x，t）$的二阶导数，因此：\ begin {equation} \ label {eq：force} F = kh ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} \ end {equation}
根据牛顿第二定律，施加在球上的力与加速度$ \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial t ^ 2} $的关系为：\ begin {equation} \ label {eq：accel} F = m \ cdot \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial t ^ 2} \ end {equation}
结合方程\ ref {eq：force}和\ ref {eq：accel}，我们得到了著名的波动方程：\ [\ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial t ^ 2} = c ^ 2 \ frac {\部分^ 2 u} {\部分x ^ 2} \]
现在，我们将显示波速实际上等于$ c $！要了解为什么会这样，让我们尝试找到一些满足波动方程的函数$ u（x，t）$。作为热身，这是一个可能的解决方案：\ [u（x，t）= \ cos（x-c \ cdot t）\]
\ begin {align *} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} \ cos（x-c \ cdot t）＆amp; = -c ^ 2 \ cos（x-c \ cdot t）\\ \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} \ cos（x-c \ cdot t）＆amp; =-\ cos（x-c \ cdot t）\\\ end {align *}
并发现确实\ [\ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} \ cos（x-c \ cdot t）= c ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} \ cos（x-c \ cdot t）\]
经过更多的分析，可以证明波动方程的所有解都具有以下形式：\ [u（x，t）= f（x + ct）+ g（x-ct）\]
其中$ f $和$ g $是任意单变量函数。但是请注意，$ g（x-ct）$表示函数$ g（x）$向右移动$ c $，而$ f（x + ct）$是函数$ f（x）$向右移动以$ c $的速度离开。总而言之，波动方程的所有解$ u（x，t）$都以速度$ c $传播，甚至在上面的模拟中看起来很复杂。
总而言之，我们发现压缩波以以下速度传播通过球和弹簧模型：\ begin {equation} \ label {eq：c} c = \ sqrt {\ frac {kh ^ 2} {m}} \结束{equation}
这与本节开始部分的仿真结果匹配得如何？回想一下，我们观察到$ k = 10 $的模型中的波动大约是$ k = 1 $模型中的波动的三倍。另一方面，我们的公式预测，如果$ m $和$ h $固定，则波速与$ \ sqrt {k} $成正比。这意味着在我们的仿真中速度之比应为$ \ frac {\ sqrt {10}} {\ sqrt {1}} $，实际上接近三！
现在，通过用气体管代替弹簧，将球和弹簧模型与声音关联起来。考虑一个充满气体并最终被活塞密封的管。作为该模型的一部分，我们还将假设该管与环境热绝缘。
在平衡状态下，管中的压力等于大气压，因此活塞处于静止状态。但是，当活塞移位时，它会围绕平衡点振荡，就像连接到弹簧一样：
这样做的原因是，当活塞被拉出时，管中的压力降低，因此活塞被推回。类似地，如果将活塞压入，则内部压力将增加，活塞被推回。在上面的模拟中，较深的颜色表示较高的压力。
本节的目的是通过根据内部气体的性能计算气动管的刚度$ k $来使这种类比形式化。
根据定义，刚度衡量的是活塞抵抗小变形的程度。具体来说，假设我们将活塞稍微移开$ dx $米。然后将活塞推回的力将等于
因此，要计算$ k $，我们必须确定力的变化$ dF $如何取决于位置$ dx $的变化。
假设$ A $表示活塞的面积，$ p_a $表示大气压，$ p $表示管中的压力。然后，作用在活塞上的力等于$ F = A \ cdot（p-p_a）$。因此：\ begin {equation} \ label {eq：piston-dF} dF = A \ cdot dp \ end {equation}
此外，令$ V $表示管的体积，令$ V_0 $表示平衡时的体积。然后$ V = V_0 + A \ cdot dx $，表示：\ begin {equation} \ label {eq：piston-dx} dx = \ frac {dV} {A} \ end {equation}
将方程\ ref {eq：piston-hooke}，\ ref {eq：piston-dF}和\ ref {eq：piston-dx}放在一起，我们发现$ A \ cdot dp = -k \ cdot \ frac {dV} {A} $或换句话说：\ begin {equation} \ label {eq：piston-k} k = -A ^ 2 \ frac {dp} {dV} \ end {equation}
因此，要计算刚度$ k $，我必须计算平衡时压力相对于体积的导数。在继续之前，请注意$-\ frac {dp} {dV} $实际上是非常合理的刚度度量。如果$-\ frac {dp} {dV} $大，则将管的体积减小$ dV $会导致管内压力大大增加，这意味着按管非常困难。
回想一下，管的内部与环境是热绝缘的。这种过程称为绝热过程。热力学的基本结果表明，经过绝热过程的理想气体满足以下等式3：\ begin {equation} \ label {eq：adiabatic} pV ^ {\ gamma} = \ mathrm {constant} \ end {equation}
其中$ \ gamma $是气体的绝热指数。正如您在参考文献中看到的那样，从热力学第一定律可以很容易地得出该结果。稍后我们将更详细地讨论绝热指数，但现在我们只需要注意的是，它与气体的热容量大致成反比。
关于$ V $在$ V = V_0 $和$ p = p_0 $的平衡值附近求微分方程\ ref {eq：adiabatic}给我们：\ [V_0 ^ \ gamma \ frac {dp} {dV} + p_0 \ gamma V_0 ^ {\ gamma-1} = 0 \]
将其代入方程\ ref {eq：piston-k}，就可以得出气动管刚度的公式：\ begin {equation} \ label {eq：piston-k-final} k = \ gamma A ^ 2 \ frac {p_0} {V_0} \ end {equation}
现在，我们将球和弹簧模型与气动管合并，以计算气体中的声速。具体来说，我们将计算声波在横截面为$ A $的长圆柱体中传播的速度。
声波是压缩波的示例。例如，假设有人在圆柱体的左侧拍手。这将在那一端置换气体并使其压缩。这种压缩气体将向后推动并最终压缩旁边的气体，依此类推。这是一个模拟，其中较深的颜色表示压缩的气体更多：
要将其与“球和弹簧”模型关联起来，让我们将圆柱体细分为许多较小的管，每个管具有相同数量的分子：
观察与我们的球和弹簧模拟的相似之处！具体来说，我们可以将壁视为“球”，如上一节所述，这些球被由气体产生的弹簧隔开。作为粗略的近似，我们将假设每个管中的质量$ m $集中在其左壁上。
这些弹簧的刚度系数是多少？设$ p_0 $表示气体的平衡压力，$ h $表示管子的平衡长度，$ V_0 $表示它们的平衡体积。通过方程\ ref {eq：piston-k-final}，刚度为：
通过方程\ ref {eq：c}，这意味着压缩波在气体中传播的速度为：\ [c = \ sqrt {\ gamma A ^ 2 \ frac {p_0} {m V_0} h ^ 2} \]
使用关系$ V_0 = hA $，我们可以将其简化为：\ begin {equation} \ label {eq：sound-c} c = \ sqrt {\ gamma \ frac {p_0 V_0} {m}} \ end {equation}
其中$ n $是管中的分子数（以摩尔为单位），$ R = 8.314 \，\ mathrm {JK} ^ {-1} \ mathrm {mol} ^ {-1} $是理想气体常数， $ T $是开尔文的温度。将其插入等式\ ref {eq：sound-c}可使我们获得：
最后，令$ M $为一摩尔气体分子的质量，以千克为单位（又称摩尔质量）。按照定义，这意味着$ M $等于管的质量除以管中以摩尔为单位的分子数：$ M = \ frac {m} {n} $。因此，我们可以将方程\ ref {eq：sound-c-2}简化为：
现在我们有了一个精确的声速公式，我们可以在引言中迷惑的速度表上对其进行测试！这是该表的另一个版本，其中我们在HCP 2中添加了一个用于绝热索引的列，另一个包含了由方程\ ref {eq：sound-c-3}预测的声速的列。
实验观察到的速度与我们的公式之间的一致性非常出色！这强化了我们的理论，即理想气体中的声速仅取决于温度，质量和绝热指数。
有意义的是，波将很难通过分子较重的气体传播。但是，绝热指数与它有什么关系呢？在下一节中，我们将更详细地讨论该指数，并就为什么较高的绝热指数意味着更快的声速产生一些直觉。
在上一节中，我们显示了气体中的声速与其绝热指数成正比。其技术原因是方程\ ref {eq：piston-k-final}，它表示绝热指数决定了气体的刚度。但是绝热指数是什么，它与刚度有什么关系？
在本节中，我们将以更直观的热容概念来解释绝热指数，然后尝试理解热容与气体可压缩性之间的联系。
首先，理想气体的绝热指数可以用气体的热容5表示：\ begin {equation} \ label {eq：gamma-cv} \ gamma = 1 + \ frac {R} {c_V} \结束{equation}
和以前一样，$ R $是理想的气体常数。这里有趣的术语是$ c_V $，它表示一摩尔气体在恒定体积下的热容-也被称为等容比热的昵称。
凭直觉，气体的热容量衡量每个分子可以在内部存储的能量。内部能量的常见类型是分子原子彼此之间的振动和旋转。热容量的单位是每开尔文每千克的焦耳和$ J /（K \，kg）$。即，每度开氏温度可存储在千克材料中的能量。
乙烷分子每个都有8个原子，并且显然有许多有趣的方式可以使它们相互旋转和振动。相反，氦分子只有一个原子是非常孤独的。确实，乙烷的比热为$ 44.186 \，J /（K \，kg）$，而氦的比热仅为$ 12.486 J /（K \，kg）$。
我们声称，与相同体积的乙烷管相比，填充有氦气的管更难压缩，即更坚硬。要了解原因，首先想象一下按下氦管。这种压制是增加氦分子能量的一种工作形式。由于氦分子的热容量较低，因此大部分能量将用于增加分子的动能，而不是内部能量。
现在，让我们想象一下按下乙烷管。和以前一样，这将增加乙烷分子的能量。但是在这种情况下，很多能量将用于增加分子的内部能量，例如，通过绕动原子或使成对的键对振动来增加分子的内能。因此，动能只剩下很少的能量。
最终结果是氦分子的移动速度将比乙烷分子快。结果，氦气管中的压力将更大，从而使其更难压缩。
回到声音的速度，回想一下，在我们对球和弹簧模型的分析中，我们发现压缩波的速度与弹簧的刚度成正比。由于氦等具有较低热容量的气体是“刺激物”，因此声波会更快地通过它们。
总而言之，我们已经看到，气体中的声速取决于其温度，质量和热容量。如果气体分子的质量较大，则它们很难移动，这会使声音传播得更慢。如果气体的热容量较低，则它会更强烈地对压缩产生反应，从而导致声音传播得更快。我们在方程\ ref {eq：sound-c-3}中将该关系形式化，发现它与实验证据非常吻合！
John R. Rumble编辑，“ CRC化学和物理手册，第101版”（互联网版本2020），CRC出版社/ Taylor＆amp;弗朗西斯（佛罗里达州博卡拉顿） http://hbcponline.com/↩2