我如何学习去爱和惧怕黎曼假说

我首先从已故的普林斯顿大学著名数学家埃利·斯坦因（Eli Stein）那里听说了黎曼假设-这可能是所有数学中最重要，最臭名昭著的未解决问题。我很幸运，斯坦因教授决定在我2000年春季的大学二年级期间重新构想本科生的分析顺序。他为此写了一套丰富而广泛的关于该主题的著名书籍，以实现这一目标。研究生Rami Shakarchi）。

在数学中，分析以严格，公理的方式处理微积分的​​思想。斯坦因写了四本书。首先是傅里叶分析（将任意信号分解为简单谐波的组合的技术和科学）。接下来是复杂分析（将具有复数的函数作为输入和输出来对待），然后是真实分析（除其他外，它开发了一种严格的测量集合大小的方法），最后是功能分析（广泛地涉及了与功能的功能）。这些是包含任何工作数学家基础知识的核心主题。

在斯坦因的课堂上，我和我的同学是豚鼠，他们的书材将在这些豚鼠上进行排练。我们坐在前排座位上，因为以利（我后来叫他）展示了他心爱的对象所产生的深远影响：他说，看看分析有多么出色。您甚至可以使用它来解决遥远的数论世界中的问题！的确，他的有关傅立叶分析的书建立了狄利克雷关于算术级数素数定理的证明，例如，该数表示无限多的素数除以35都会剩下余数6（因为6和35没有素数）共同）。他的复杂分析课程包括素数定理的证明，该定理给出了渐近边界以下的素数的渐近估计。此外，我了解到，如果黎曼假设是正确的，我们将得到比今天已知的定理更强的素数定理。要了解原因，并仔细看一下这个著名的数学问题，请观看本页顶部的随附视频。

尽管Eli忠告于我们广泛的分析能力，但我还是得到了相反的教训：看一下数论的惊人程度-您甚至可以使用距离分析很远的字段来证明您想要的东西！斯坦因的课程帮助我踏上了成为数字理论家的道路。但是，随着我多年来对黎曼假说的更多了解，我学会了不使其成为我研究的重点。很难取得进展。

普林斯顿大学毕业后，我去了哥伦比亚大学研究生院。从事数论工作是一个激动人心的时刻。 2003年，Dan Goldston和CemYıldırım宣布了一项有关质数差距的惊人新结果，但此后不久便撤回了索赔。 （正如戈德斯顿多年后在接受享有盛誉的科尔奖时所写的这些想法所写的：“尽管数学家常常没有那么谦卑，但我们所有人都有屈辱的经验。”）然而，这些想法成为了“绿陶”的重要组成部分。定理，表明素数集包含任意给定长度的算术级数。然后，与JánosPintz，Goldston和Yıldırım一起使用了足够多的方法，以在2005年突破的GPY定理中证明，质数通常无穷无尽，而与平均差距相比，差距很小。而且，如果您可以将它们的结果提高一点，那么您将证明素数经常会以某个有界常数无限地变化。这将是朝着解决众所周知的困难孪生素数猜想迈出的巨大飞跃，该猜想预测出有成对的素数对无限地相差2。

立即在加利福尼亚州圣何塞的美国数学研究所组织了有关如何扩展GPY方法的会议。作为一个眼神浓密，尾巴浓密的研究生，我感到非常幸运，能跻身于世界顶级专家之列。到本周末，专家们同意，基本上不可能改进GPY方法来获得有限的主要缺口。幸运的是，张一堂没有参加这次会议。大约十年后，在经过相对难以置信的多年艰苦努力之后，他找到了解决僵局的办法，并证明专家们是错的。我想我这个故事的寓意是，当人们就如何解决黎曼假说（不时做）组织会议时，不要走！