我们有负质数吗？

$ \ begingroup $这些只是（正）素数的加法逆。通常，我们只考虑正数，尤其是在处理（正）整数的素数分解时。但是，当然，如果您也想将负整数作为因数，那么这完全是另一回事。 $ \ endgroup $ – Arnie Bebita-Dris

$ \ begingroup $这些无疑是环$ \ mathbb {Z} $的主要元素。有些人保留了“素数”一词。 $ \ mathbb {Z} $的正素数元素，则它们不是＆＃34;素数＆＃34;。用更广泛的术语称呼\\ mathbb {Z} $素数的所有素数为素。 $ \ endgroup $ –丹尼尔·菲舍尔♦

$ \ begingroup $询问该问题的人是否听说过“戒指”并不明显。并会感谢涉及他们的答案。从这个角度来看，我可以想象所有现有的答案都是无用的。 $ \ endgroup $ –本·米尔伍德

$ \ begingroup $在素数的定义中要特别小心。在更多的进步中，不可约数与素数有所区别，素数的核心属性是：如果$ p $除以$ mn $，则除以$ m $和$ n $之一。 $ \ endgroup $ – Mark Bennet

$ \ begingroup $我不知道为什么这个问题会被否决，因为它确定了一个关于算术的微妙点，当＆＃34; prime＆＃34;的概念变得尤为重要时，扩展到其他上下文，并且在查看诸如唯一分解的问题时，只要整数是相关的，它就有意义。

当我们初次遇到质数时，是在正整数的上下文中进行的。关于此上下文的重要意义在于，$ + 1 $是唯一的单位（唯一的具有乘法逆的正整数）。因此，这里的问题并没有真正出现。通常，当工作的重点是正整数时，素数一词将用于表示正整数。

一旦我们开始将其扩展到整数，特别是要考虑到整数具有环的结构，就添加第二个单元$ -1 $并带有$（-1）^ 2 = 1 $。即使在这种情况下，也可以将质数定义为正整数而不会带来太多麻烦。

但是，如果我们进一步扩展并以$ i ^ 2 = -1 $作为另一个单位添加$ i $-请注意，$ i \ cdot -i = 1 $，我们就处在另一个世界中。例如，$ 2 =（1 + i）（1-i）$和$（1 + i）= i（1-i）$，因此$ 2 = i（1-i）^ 2 $。 $ 2 $的这些因式分解是相同还是不同？

所以很快，在环论和代数整数理论的背景下，我们开始谈论素数理想（最初被认为是某些素数$ p $的所有倍数-但也超出了这个想法-包含单个元素的所有倍数称为主体）。如果理想是原则，将发生器称为环的主要元素是很自然的。但是，素数最多只能标识为乘以单位-$ 1 + i $生成与$ 1-i $相同的理想值。使用理想的原因之一是可以在更大的范围内保持分解的唯一性。在$ \ mathbb Z $中，$ 2 $和$ -2 $都产生相同的理想值。

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $如果您知道答案，这个问题很容易被否决，但是我们确实应该根据一个不认识的人的观点来判断问题。是的，为什么这个问题被否决了，但是我不同意那个否决。 $ \ endgroup $ – corsiKa

$ \ begingroup $当您说1是＆＃34;唯一具有乘法逆的正整数＆＃34;时，您是说整数乘法逆吗？ $ \ endgroup $ – Marc.2377

$ \ begingroup $环的主要元素是一个非单位$ p $，其属性为：如果$ p $除以乘积$ ab $，则其除以$ a $或$ b $。在整数$ \ mathbb Z $的环中，此属性由（正）素数$ 2,3,5,7,11，\ ldots $和负素数$ -2，-3，-5，-共享7，\ ldots $，甚至$ 0 $。但是，术语素数通常仅用于$ \ mathbb Z $的正素数元素，并且有此约定的充分理由，例如$ 15 = 3 \ cdot 5 =（-3）\ cdot（-5） $表明质数分解将比我们习惯的独特性要小。

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $也许值得一提的是，在像高斯整数$ {\ Bbb Z} [i] $这样的圆环中，我们不能分离出正质数，因为＆＃34 ;正＆＃34;是没有意义的。 $ \ endgroup $ - 大卫

$ \ begingroup $我认为，即使在一般整数域中，通常也明确将0排除在素数之外。 （尽管它们确实具有您引用的属性，但就像单元肯定一样）。 $ \ endgroup $ – hmakholm留在莫妮卡

$ \ begingroup $单位由于与答案中引用的相同原因而被排除：如果允许，则可以用无数种方法分解每个元素。具有唯一的因式分解是非常强大的属性，因此有必要限制＆prime number＆＃34;的概念。在一般情况下允许它。 $ \ endgroup $ – Bakuriu

$ \ begingroup $这个答案太简洁了，因为大多数还没有上过代数大学本科课程的学生永远都不会想到用这种方式定义素数-他们会将素数当作代数学家叫一个不可约数。 $ \ endgroup $ – djechlin

$ \ begingroup $ @HenningMakholm啊，你是对的-我是从纯粹理想的观点来看这的... $ \ endgroup $ –哈根·冯·埃岑

$ \ begingroup $我只是想在文本中提供一个特定的报价，该报价以其他答案已经肯定的方式定义了负数的质数。这摘自Hungerford的“抽象代数：简介”（第1.3节）：

定义。如果$ p \ ne 0，\ pm1 $并且$ p $的除数是$ \ pm1 $和$ \ pm p $，则整数$ p $被称为质数。

例。 $ 3，-5、7，-11、13，$和$ -17 $是质数，但不是$ 15 $（因为$ 15 $具有除$ \ pm1 $和$ \ pm15 $以外的除数，例如$ 3 $和$ 5 $）。整数$ 4567 $是质数；为了从定义中证明这一点，需要对所有可能的除数进行繁琐的检查。

不难证明存在无限多个素数（练习25）。因为整数$ p $具有与$ -p $相同的除数，所以我们看到

在这种情况下，算术基本定理用正和负素数（定理1.1）表示，其后给出标准自然数陈述作为推论（推论1.2）。

请注意，这是在文本中出现环（等）之前（尽管它们稍后会出现），因此定义不限于该域。

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $其他上下文：在一般的环论中，人们将素数元素或不可约元素视为素数的类似物。

如果环$ R $的一个（非零）元素$ a $产生素理想值，则称为素数；或者如果它不是单位且$ a | cb $表示$ a | b $或$ a | c，则等效地称为素数$，即，如果$ a $除以乘积，则除以一个因素。

如果R $中的元素$ a \不是单位，而$ a = bc $则意味着$ b $或$ c $是单位，则称为不可约，即不能将其分解为另外两个非单位。

在漂亮的圆环中（例如$ \ mathbb {Z} $），它们重合，并且每个元素都有唯一的因式分解，直到每个元素的单位（$ \ {-1,1 \} $在$ \ mathbb {Z} $）素数/不可约元素。

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $技术性； Z 0中的素数是质数，但不是不可约的。我可能会在您的答案中添加一些有关0为何中断内容的信息（一种主要方法，但不是最大方法）。 $ \ endgroup $ – djechlin

$ \ begingroup $ @djechlin参见Henning Makholm对Hagen的回答的评论；通常将$ 0 $明确排除在素数之外。但是理想的$ \ {0 \} $是质数... $ \ endgroup $ – 6005

$ \ begingroup $ @djechlin当然。但是，人们常常想排除这种情况，就像您将单元排除在不可约而将整个环排除在最大理想之外，尽管它们都满足幼稚的定义。 $ \ endgroup $ – 6005

$ \ begingroup $ @Goos对，因此您不应天真地声明定义。如果要排除案件，则应说＆＃34;排除X。＆＃34;理想情况下，您要给出排除X的理由。但是，即使我们对异常没有太多的尊重，我也优先考虑不要编写明显不正确的内容。这是数学，我们不这样做。 $ \ endgroup $ – djechlin

$ \ begingroup $我以前曾经浏览过此页面，但是今天我在这里是因为重复，我现在将在这里回答。

通常，质数的定义是所有大于1的自然数，只有两个除数，即数字本身和1。但是，是否也可以以同样的方式来考虑负整数？

差不多，但是不完全是。我们可以说，如果负整数中只有两个除数（$ -1 $及其本身），则它是素数。

这与正整数非常相似，对于正整数，如果正整数中只有两个除数，那么我们说正整数是质数。

例如，163可被1及其自身整除。它也可以被$ -163 $和$ -1 $整除，但是当我们尝试查看163是否为质数时，我们通常不必理会。

同样，要检查$ -163 $是否为质数，我们可以尝试将其除以$ -2，-3，-5，-7，-11 $。我们不需要尝试除以$ -13 $，因为$$-13＆lt; （-1）\ frac {\ sqrt {-163}} {i}。$$

但是，更常见的做法是，人们通常将数字乘以$ -1 $并检查其是否为质数，从而避开了虚数的问题。例如，尝试Wolfram Alpha中的Divisors [-163]。

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $这是一个要重复的问题。这就是我遇到的方式。

当然不是！由于$$ \ frac {-14} {2} = -7，因此对于启动器而言是$$。它也可以被$ -7，-2、7 $以及其明显的除数$ -1、1、14 $及其本身整除。显然$ -14 $是一个复合数字。

但是$ -7 $是素数吗？这是一个更棘手的问题。它本身可以被$ -1，1，7 $整除，但不能被其他任何数字整除（我们在整数$ \ textbf {Z中操作} $。

我的用语＆quot;明显除数＆＃34;当然不是标准的。我的意思是，如果$ n $是任何整数，我们会自动知道它可以被$ -n $以及$ 1 $和$ -1 $整除。

让我们同意，如果$ n $仅能被我们自动知道为除数的这些数字整除，但不能被其他数整除，那么它就是质数，但如果被这些数整除， ;自动除数＆＃34;然后用其他整数（所有除数构成一个有限集），则它是一个复合数。

这总是使人们抱怨打破算术的基本定理。但是，如果我们认识到$ 1 $和$ -1 $是单位的特殊数字，那么基本定理的重大和戏剧性问题就变得无关紧要了。在$ \ textbf {Z} $中，每个非单位非零数字都具有唯一的因式分解，而与单位无关。

也不必担心素数计数功能。如果$ x $是正实数，则$ \ pi（x）$会计算$ 0 $和$ x $之间有多少个数字。但是，如果$ x $为负数，则$ \ pi（x）$计算在$ 0 $和$ | x | $之间或在$ 0 $和$ x $之间的数字；无论哪种方式，答案都是一样的。

将质数显示为实数线上的点。它们是对称的，正质数反映在$ 0 $另一侧的负质数中。

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $当然有负质数。为了使给定域中的数字$ p $成为质数，需要满足$ p | ab $总是意味着$ p | a $或$ p | b $（也许两者）。例如，如果$ p = -3 $，$ a = -2 $，$ b = 30 $，我们将看到条件满足$ p | b $。但是如果$ p = -4 $，则两个条件都不满足。这意味着$ -3 $是负质数，$-4 $是负复合数。

还需要说明的是，负单位为$ -1 $。单位将域中的每个数字相除。如果$ p $是质数，并且$ p = ab $，则$ a $或$ b $（但不是全部）必须是一个单位。例如，$ -3 = -1 \ times 3 = 1 \ times -3 $。

对于唯一的因式分解（如果它存在于手边的域中），这是没有问题的。我们简单地说，因式分解是唯一的，而与顺序无关（例如，$ 5×3 $不是$ 15 $的独特因式分解），而与乘以单位无关。

但是，对于素数计数函数$ \ pi（x）$，我们通常只关注正素数。毕竟，$ \ pi（7）= \ infty $是没有用的。或者我们可以说$ \ pi（x）$计算在$ 0 $和$ x $之间有多少个素数。然后证明$ \ pi（x）= \ pi（-x）$，例如$ \ pi（-10）= 4 $，就像$ \ pi（10）= 4 $。

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