往返的弯曲几何

您是否曾经想过，如果地球的形状不像球体，生活会怎样？我们理所当然地认为，太阳系的平稳行驶以及行星旋转对称性所带来的无缝落日。圆形的地球还使您很容易找出从A点到B点的最快方法：只需沿着穿过这两个点的圆行进并将球切成两半即可。我们使用这些最短的路径（称为测地线）来规划飞机路线和卫星轨道。

但是如果我们生活在一个立方体上怎么办？我们的世界将摇摆不定，我们的视野将被扭曲，最短的道路将更难找到。您可能不会花很多时间在立方体上想象生活，但是数学家会做：他们研究各种形状的物体的行程。最近关于十二面体往返的发现改变了我们查看数千年来一直在观察的物体的方式。

在给定的形状上找到最短的往返行程似乎就像选择方向并沿直线行走一样简单。最终您将回到起点，对吗？嗯，这取决于您所走的形状。如果是球形，是的。 （而且，是的，我们忽略了地球不是一个完美的球体并且其表面并非完全光滑的事实。）在球体上，直线路径遵循“大圆”，这是大地测量学，如赤道。如果您绕着赤道走，经过大约25,000英里后，您将绕一圈，然后一直回到起点。

在立方世界中，测地线不太明显。由于每个面都是平坦的，因此在单面上找到直线路径很容易。但是，如果您在一个立方世界中行走，那么到达边缘时如何继续“直行”？

有一个有趣的旧数学问题说明了我们问题的答案。想象一下，一只蚂蚁在立方体的一个角上想要到达另一个角。从A到B的立方体表面最短的路径是什么？

但是哪个最短？有一种巧妙的技术可以解决问题。我们弄平了立方体！

如果立方体是用纸制成的，则可以沿边缘切开并将其弄平，以获得像这样的“网”。

在这个平坦的世界中，从A到B的最短路径很容易找到：只需在它们之间画一条直线。

要查看我们的立方体世界测地图，只需将立方体放回一起即可。这是我们最短的路径。

展平立方体之所以起作用，是因为立方体的每个面本身都是平坦的，因此当我们沿边缘展开时，不会扭曲任何东西。 （类似的尝试“展开”这样的球体是行不通的，因为我们不能弄平球体而不会使其变形。）

既然我们已经知道了直角立方体上看起来是什么样子，那么让我们重新审视一下我们是否可以沿着任何直角道路行走并最终回到起点。与球体不同，并不是每条直线路径都能在立方体上往返。

但是往返确实存在，但有一个陷阱。请注意，蚂蚁可能会沿着我们上面绘制的路径继续前进，并最终回到起点。在一个立方体上，完整的圆圈将产生一条看起来更像菱形的路径。

在遵循此往返路径时，蚂蚁必须经过另一个顶点（点B）才能返回其起点。这很重要：在同一顶点处开始和结束的所有直线路径都必须经过立方体的另一个顶点。

事实证明，对于五种柏拉图固体中的四种而言，这是正确的。在立方体，四面体，八面体和二十面体上，在同一顶点上开始和结束的任何直线路径都必须沿途经过其他某个顶点。五年前数学家对此进行了证明，但十二面体并未出现在他们的名单上。稍后我们将返回。

为了了解为什么在五个柏拉图固体中的四个上都存在关于测地线的事实，我们将对这些路径采用“翻滚”方法，然后切换到四面体世界，翻滚路径会更容易一些学习。

想象一下，从四面体的顶点开始，沿着脸部的直线路径前进。让我们调整四面体的方向，使我们的路径从底面开始。

当我们遇到一条边时，我们将四面体翻转过来，以便我们的路径在最后到达底部的面上继续：

此翻转图为我们提供了一种跟踪路径的方法，就像在多维数据集网络上所做的一样：

在此，四面体的五次翻转对应于路径所经过的另外五个面。

现在，我们可以将四面体表面上的任何路径想象为该翻滚空间中的路径。让我们将其称为起点A，看一下经过一些翻滚后该点的终点。

当我们的路径从A离开时，四面体在对面翻滚。这将A抬离地面。

顶点A暂时悬浮在我们的翻滚空间上方。在创建翻滚空间时，我们通常不会指出A的位置，但是如果我们往下看，它将显示在这里。

随着路径的继续，四面体再次翻滚。它可能有两个方向，但无论哪种方式，A都会回到地面。

当我们让四面体朝各个可能的方向滚落时，我们最终得到一个看起来像这样的翻滚空间：

由于四面体的等边三角形面相互配合的方式，因此创建了网格系统。

这个网格系统告诉我们有关翻转空间的两个有趣的事情。首先，四面体的顶点可以着陆的点都是“晶格点”或具有整数坐标的点。那是因为我们坐标系中的一个单位是我们四面体的一个边长。

A的坐标始终是偶数。每当A落在地面上时，它将在两滚后再次回到地面上，因此A可能的着陆点在每个翻滚方向上都以两个边缘长度间隔开。

现在，我们来看看有关测地线的内容。回想一下，四面体上以A为起点和终点的路径将是翻滚空间中的直线段，从（0,0）处的A到另一个A处的终点。当路径的起点和终点为都为A，这条路径的中点有些有趣。

即使在弯曲的坐标系中，标准中点公式仍然有效，因此我们可以通过平均端点的坐标来找到中点的坐标。由于起点的坐标均为0，终点的坐标均为偶数，因此我们的中点的坐标均为整数。这使中点成为晶格点，并且如我们上面所观察到的，因此它对应于翻转空间中三角形的顶点。

例如，从（0,0）到（4,2）的路径具有中点（2,1），即我们网格中的晶格点。

这意味着在四面体的表面上，从A到其自身的路径必须沿路径经过另一个顶点。

由于在该系统中A的每个可能着陆点均具有偶数坐标，因此从A处开始和结束的每个测地路径的中点都将对应一个晶格点。这表明四面体表面上从A到A的每个测地线都必须穿过另一个顶点。

这是数学家戴安娜·戴维斯（Diana Davis），维克多·多德斯（Victor Dods），辛西娅·特劳布（Cynthia Traub）和杰德·杨（Jed Yang）在2015年提出的严格论证的简单版本。他们使用相似但复杂得多的参数来证明该多维数据集相同。德米特里·福克斯（Dmitry Fuchs）于次年证明了八面体和二十面体的结果。因此，我们知道对于四面体，立方体，八面体和二十面体，没有从顶点返回自身的直线路径，该路径不会通过另一个顶点。

但是直到2019年，十二面体表面上是否存在此类路径仍然是一个悬而未决的问题，当时数学家Jayadev Athreya，David Aulicino和Patrick Hooper证明了这实际上是可能的。实际上，他们在十二面体的表面上发现了无数个直线路径，这些直线路径在同一顶点处开始和结束，而没有经过任何其他路径。

这是十二面体网上所显示的，一眼望去。

数千年来，柏拉图固体已经被一起研究，因为它们有很多共同点。但是现在我们知道十二面体有一些新的东西，那就是完全不同的。这项神秘的发现表明，无论我们对数学对象的理解程度如何，总是有很多东西需要学习。它还表明，从问题到解决方案的路径并不总是看起来像一条直线。

1.如果立方体的边长为1，则蚂蚁从顶点到相反顶点的最短路径是多长？

2.解释为什么下图不能成为多维数据集上路径的翻滚路径。

3.多维数据集滚动路径的一个复杂之处在于，点A没有与多维数据集的给定终点位置相关联的唯一终点位置。例如，即使立方体最终在同一位置沿红色路径或蓝色路径翻滚，但点A仍在不同位置。确定A沿红色路径和蓝色路径翻滚后在哪里结束。

路径是直角三角形的斜边，边长为1和2。根据毕达哥拉斯定理，AB的长度为$ latex \ sqrt {5} $。

如果路径迫使多维数据集最初向右滚动两次，则其“坡度”最多每两个正确的多维数据集向上增加1个多维数据集。第一次跌倒后，路径可能到达的最高高度在侧面的一半，这将迫使下一次跌倒向右。这使人对为什么立方体的翻转路径比四面体的翻转路径更复杂有一些见解。

用魔方或骰子来解决这个问题很有帮助。还要注意，蓝色路径不能是多维数据集上路径的翻滚路径。

对该列进行了修改，以使显示的四面体的五次滚动对应于五次“附加”。 路径遍历的六个面，因为路径总共遍历六个面。