流行文献中关于投资的一个常见论点是，随着时间跨度的增加，风险投资中亏损的可能性降低，至少对于预期收益为正的普通投资而言。当人们查看历史市场收益数据和抽象随机游走模型时都是如此。 （顺便说一下，这实际上是泰勒·拉里莫尔在引言中提到的晨星对话中提出的论点。）如果我们不仅考虑赔钱的可能性，而且考虑赚钱的可能性，那甚至是正确的。比我们在无风险投资（例如美国国债）中的钱要多得多，前提是我们的风险投资的预期收益要高于国债的预期收益。
例如，在下面附录中的S＆P; P 500股票市场指数的随机游走模型中，股票投资的收益少于获得6％利息的银行帐户的概率在1年后为42％。 40年后，这种可能性降低到只有10％。这不是证明风险会随着时间减少吗？
该论点的问题在于，它平等地对待所有不足。损失$ 1000与损失$ 1一样！这显然是不公平的。例如，如果我投资$ 5,000，那么$ 1000的损失虽然不太可能发生，但对我来说肯定比$ 1的损失更具毁灭性，因此在论点中应更重地对其进行加权。同样，该论点平等地对待所有收益，根据相同的推理这是不公平的。
作为第一个例子，考虑一个简单的难题，我希望它将使这个问题变得清楚。为了争论起见，假设“损失的概率”这是＆＃34;短缺概率的特例，＆＃34;是＆＃34;风险＆＃34;的良好定义投资。考虑两个投资A和B，两者的成本均为1000美元。使用A，有50％的机会赚到$ 500，而有50％的机会损失$ 1。使用B，有50％的机会赚到$ 1，有50％的机会丢掉$ 500。 A和B的损失概率完全相同：50％。因此，A和B有完全相同的＆＃34;风险。这张图片有什么问题？
作为第二个示例，假设您有机会进行某种奇怪的投资，花费5000美元，并且有两种可能的结果。在好的情况下（概率为99％），您将获得$ 500。在最坏的情况下（概率为1％），您将损失全部$ 5000。这是一笔好投资吗？如果不是，为什么不-损失的可能性仅为1％，不是吗？我们不能放心忽略这么少的赔钱机会吗？这项投资甚至具有8.9％的正预期收益率！在这种极端的例子中，问题变得显而易见。毕竟，至少对于某些人来说，这可能并不是一项巨大的投资，因为我们仅必须考虑可能结果的概率及其幅度，而不仅仅是考虑我们将要赔钱的概率。
为了使问题更严重，假设您是一个饿死的研究生，名字只有$ 5,000，并且您需要这些钱来支付学费。这对您来说是一笔好投资吗？现在，假设您是比尔·盖茨。您是否愿意冒着损失微不足道的风险，以99％的概率获利500美元的风险？情况有所变化，不是吗？显然，在调查“风险”的含义时，我们还必须以某种方式考虑投资者当前的总财富。在我们的例子中。
作为使用此示例的最后一次心理实验，如果在糟糕的情况下您只损失了1000美元（即投资的五分之一而不是全部损失），情况将如何改变？损失的可能性仍然是1％，但这确实是一个根本不同的问题，不是吗？
我们故意极端的一对示例的要点是，短缺度量的可能性过于简单化，无法可靠地衡量“风险”。投资。
我们的第三个例子更为现实。在此示例中，我们考察了在1年和3年内投资于S＆amp; P 500股市指数的情况。
首先，我们计算出在S＆amp; P 500随机行走模型中，赔钱的概率在1年中为31％，但在3年后下降为19％。如果我们将风险的天真定义用作＆＃34;损失概率，＆＃34;我们将不再考虑这一问题，并得出结论，三年投资的风险要小于一年投资的风险。我们希望在讨论的这一点上，读者相信我们需要进一步研究。
一年后，在S＆P; P 500中损失20％或更多资金的可能性为5.0％。 3年后的可能性为6.4％。实际上，这种不良后果在3年后比1年后更有可能！
当我们开始看那些真正使我们感到恐惧的结果时，情况迅速恶化。 3年后损失30％或更多的钱是1年后损失的2.8倍。 3年后损失40％或更多的钱是1年后损失的9.7倍。 3年后损失50％或更多的钱比1年后损失高71倍！
当我们开始关注的不仅仅是单笔亏损的结果。结果，风险状况变得不太清楚。 3年投资的风险比1年投资的风险低已经不再那么明显了。我们开始意识到，情况比我们最初想象的要复杂。
让我们暂时绕开所有关于抽象数学模型的讨论，并插入历史注释以配合我们的第三个示例。精明的读者可能会在这一点上争辩说，这些真正糟糕的结果（在20％至50％的损失范围内）的概率很小，并且是正确的。把所有这些注意力都放在这些低概率可能性上是不是很愚蠢？我们不能安全地忽略它们吗？只需看看1930-1932年就可以驳斥这一论点。在那3年中，标准普尔500指数损失了其价值的61％。相比之下，同期美国国库券上涨了4.5％。没有理由相信将来甚至可能更长的时间再发生同一件事，甚至更糟。有趣的是，标准普尔500指数从未在一年中损失近61％。 （最大的一年亏损是1931年的43％。）花了三年的时间缩小亏损，使其在1930-1932年期间的总亏损达到61％。这说明了我们在示例中提出的观点，即在更长的时间范围内，灾难性损失实际上更有可能发生。
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总而言之，简单的短缺概率不足以衡量风险，因为它没有考虑到可能的短缺和收益的大小。当我们尝试通过考虑幅度来校正这种简单的风险度量时，会引向效用理论，该理论告诉我们，没有绝对的意义可以断言风险随时间范围的增加或减少。它告诉我们的一切取决于个人投资者，他目前的财富以及他的特定效用函数所表达的他的风险承受能力。对于某些投资者，在这种模型中，我们可以说风险会随着时间而增加。对于其他人，风险则随着时间而降低。对于其他人，风险与时间无关。
尽管这似乎尚无定论，但我们可以得出结论：经常有人听到的关于短缺的争论的可能性丝毫没有证明甚至说服力地证明时间可以减轻风险。您一看到这些论点就应该将其驳回，并且如果您完全不了解任何有关投资的知识，您会经常看到它们。这些论点不会使人误以为是虚假的安全感。
波士顿大学金融学教授兹维·博迪（Zvi Bodie）提出了一个优雅的论据，证明了风险实际上随着时间的推移而增加，至少对于“风险”的一个合理定义而言。他的论点使用了期权定价理论和著名的布莱克-舒尔斯方程。不过，这不应该吓the读者，因为Bodie的论点确实非常简单且易于理解，我们稍后将给出一个不涉及任何实际例子的例子。一点儿花哨的数学。
假设我们有一个投资组合目前在股票市场上投资了一段时间。我们的替代方法之一是出售整个投资组合，然后将所有资金投入到零风险的零息美国国债中，该国债同时到期。 （“零息票”债券在到期时会支付其全部利息。这通常被用作固定时间范围内的标准无风险投资，因为所有收益都发生在债券的到期日。时间段内，并且收益得到美国政府的保证。这与我们在现实世界中所获得的尽可能接近“无风险”。）
考虑到“风险”是合理的我们的股票投资收益不如债券收益。如果我们接受“风险”这一概念，然后，有必要将风险的大小衡量为针对可能的缺口的保险单成本。也就是说，如果有人向我们出售此类保单，并且如果在我们的时代范围内，我们在股票市场上赚的钱不如我们在债券中赚的钱多，那么保险公司将弥补差额。
这项保险政策只不过是我们股票投资组合中的欧洲看跌期权而已。期权的执行价格是债券在期末时的收益。期权的到期日是我们时间段的结束。实际上，认沽期权在现实世界中经常被用于这种类型的投资组合保险。
如果将所有数字都插入Black-Scholes公式中以对欧洲看跌期权和看涨期权进行定价，则最终会得到一个非常简单的方程式，其中很明显，看跌期权的价格会随着到期时间的增加而增加。实际上，期权学生要学习的第一件事是一个普遍的规则，即期权（买入或卖出）的价格随着到期时间的增加而增加。事实证明，当我们让履约价格随着时间的推移以无风险利率上涨时，这甚至是正确的。我们已将认沽期权的价格作为衡量我们股票投资风险大小的指标。因此，使用此模型，风险会随着时间增加。
让我们以更个人化的方式来解决这个问题，希望它可以澄清它，并可能使读者对问题进行认真的思考。为了便于讨论，假设您同意风险随着时间的推移而降低的传统观点。在这种情况下，如果您从事证券投资组合保险业务，您是否可以为您的保单提供更长的折扣？如果您真的相信自己的意见，那么您应该愿意这样做，不是吗？例如，您应该愿意向某人出售10年后短缺的保险单，而所付的钱要少于您愿意愿意向其他人出售另一处相同的保险，以防一年后的短缺。毕竟，根据您的信念，十年后您必须还清保单的风险比一年后要小。
如果这确实是您的感觉，并且您同意上一段中概述的方案，那么您还必须认为Black-Scholes方程式是错误的。也许布莱克，斯科尔斯和默顿在推导方程式时犯了一些可怕的错误。也不是一个小错误-他们一定在某个地方扭转了指示！如果是这种情况，我们最好进入芝加哥期权交易所，让所有这些期权交易者使用他们的Black-Scholes计算器知道他们多年来一直做错了。 （如果他们都把计算器倒过来阅读答案，也许他们会做对的。:-)
我们必须强调，这不仅仅是一些没有实际应用的奥秘理论。期权交易者每天在现实生活中的金融市场中以认沽期权的形式买卖这种投资组合保险。
作为一个具体的例子，我们将详细研究一下，让我们看一下2000年4月9日今天销售的保险单。我们看一下CBOE在S＆amp; S上的期权。 P 500股票市场指数，并将2000年6月期权的短期价格与2001年12月期权的长期价格进行比较。
标准普尔500指数目前为1,516。目前的利率约为6％。在2000年6月17日（即距现在的2.3个月），利率为6％的1,516将增长到1,533。从现在开始的20.4个月，即2001年12月22日，利率为6％的1,516将增长到1,675。 （如果您想知道这些确切的日期来自何处，CBOE的选项将在每个月的第三个星期五之后的第一个星期六到期。）
根据今天在CBOE网站上的报价，2000年6月，执行价格为1,533的标准普尔500期权的价格约为58美元。 2001年12月，执行价格为1,675美元的标准普尔500期权的价格约为188美元。 （我必须做一些轻微的内插才能得到这些数字，但是引入的任何小错误都不会显着影响我们的示例。）
为了使示例更具体，让我们假设您目前在Vanguard的S＆amp; P 500指数基金中投资了151,600美元。如果您想购买收益比银行CD或利率为6％的美国国库券的资金少的基金的保险单，则可以轻松致电经纪人或登录您的在线交易帐户并购买期权市场的政策。对于2.3个月的时间范围，您将需要为保单支付5800美元。对于20.4个月的时间范围，您将需要支付$ 18,800。 （当然，还会为您的经纪人或在线贸易公司提供多汁的佣金，但我们会忽略该不愉快的细节。）
因此，目前，专业期权交易者显然认为，标普500指数表现不及6％的无风险投资的风险，在20.4个月的期限内要比2.3个月的风险大3倍以上。 这不是我们的示例的怪异之处，它仅在今天或使用我们的特定数字和日期才适用。 在现实生活期权市场中，这种投资组合保险政策的基本现象在更长的时间范围内花费更大，实际上总是如此。 在此示例中，如果您认为投资标普500的风险会随着时间的推移而降低，尤其是在20.4个月内的风险比在2.3个月内的风险要小，那么只有三种可能性： 哪有 它使您思考，不是吗？ 在所有的 ......