算术动力学结合了数论和动力学系统的见解

约瑟夫·西尔弗曼（Joseph Silverman）记得当他开始连接各个点时，这些点最终会导致数学的新分支：1992年4月25日，在纽约斯克内克塔迪联合大学的一次会议上。

这是在装饰数学家约翰·米尔诺（John Milnor）演讲时偶然发生的。米尔诺的主题是一个称为复杂动力学的领域，西尔弗曼对此知之甚少。但是随着米尔诺（Milnor）介绍一些基本思想时，西尔弗曼（Silverman）开始看到与他所擅长的数论领域的惊人相似之处。

他记得自己想：“如果只更改几个单词，就会出现类似的问题。”

布朗大学的数学家西尔弗曼（Silverman）离开了房间，受到启发。第二天他在早餐时问米尔诺一些后续问题，然后着手进行类比。他的目标是创建可以在动力学系统和数论之间转换的字典。

乍一看，两者看起来像是无关的数学分支。但是西尔弗曼认识到它们以特定的方式相互补充。虽然数论在寻找数字序列中的模式，但动力系统实际上会产生数字序列，例如以规则的时间间隔定义行星在空间中的位置的序列。当数学家寻找隐藏在这些序列中的数论模式时，两者合并。

自Silverman参加Milnor的演讲以来的几十年中，数学家极大地扩展了数学的两个分支之间的联系，并建立了一个全新领域的基础：算术动力学。

该领域的影响力持续增长。在去年的《数学年鉴》上发表的一篇论文中，三位数学家将类推扩展到了迄今为​​止最雄心勃勃和出乎意料的地方之一。这样一来，他们解决了数论中数十年历史中的一部分问题，而该问题以前似乎与动力系统之间没有任何明确的联系。

新的证明量化了一种曲线可以与周围空间中的特殊点相交的次数。数字理论家此前曾想知道，对可以有多少个交叉路口没有上限。该证明的作者使用算术动力学来证明特定曲线集合存在上限。

“我们想了解数论。我们并不在乎是否有动力系统，但是既然有了动力系统，我们便可以将其用作一种工具。”哈佛大学数学家，论文的合著者劳拉·德马科（Laura DeMarco）和剑桥大学和浙江大学的河西叶。

2010年5月，一群数学家聚集在巴巴多斯的一家小型研究所，在那里他们度过了阳光灿烂的日子，讨论离海滩只有几十英尺的数学问题。甚至没有墙壁和简单的木凳的演讲设施，也使它们尽可能接近自然。

西尔弗曼说：“由于金属屋顶上的雨，下雨的一个晚上，你甚至听不到别人的声音。”

这次会议是算术动力学发展中的关键时刻。它汇集了像Silverman这样的数论专家以及像DeMarco和Krieger这样的动力学系统专家。他们的目标是通过结合两种观点来扩展可以解决的问题类型。

它们的起点是数论中的核心对象之一：椭圆曲线。就像圆和直线s一样，椭圆曲线既是数字又是形状。它们是成对的x和y，它们是y 2 = x 3 − 2 x的代数方程的解。这些解决方案的图形创建了一种模糊的几何形状，看起来像是挤出气泡的垂直线。

长期以来，数学家一直对量化和分类这些曲线的各种特性感兴趣。迄今为止，最突出的结果是安德鲁·威尔斯（Andrew Wiles）1994年著名的费马最后定理证明，这是关于哪个方程具有整数解的问题。该证明在很大程度上依赖于椭圆曲线的研究。一般而言，数学家关注椭圆曲线是因为它们占据了探究的重点：它们不容易变得琐碎，也没有那么难以至于无法学习。

乔治亚理工学院的数学家马特·贝克（Matt Baker）说：“椭圆曲线仍然足够神秘，以至于它们一直在产生新的数学运算。”

数学家对椭圆曲线上的点特别感兴趣，这些点充当用于在曲线上四处移动的特殊方式的本垒。在椭圆曲线上，可以使用标准加法将点彼此相加，但是这种方法不是很有用：总和不太可能成为曲线上的另一个点。

但是椭圆曲线带有特殊的内部结构，可以创建不同类型的算术。这种结构称为组，使用其自包含的算术规则将点加在一起的结果是完全不同的。

如果根据组结构在椭圆曲线上添加两个点，则总和始终是曲线上的第三个点。并且，如果您继续进行此过程（例如，一遍又一遍地向其自身添加一个点），则结果将是无限个点序列，这些点均沿椭圆曲线分布。

不同的起点将导致不同的顺序。 “本垒”点是具有非常独特属性的起点。如果您向自身重复添加这些点之一，则不会生成无限数量的新点。相反，它创建了一个循环，该循环可以回到您的起点。

这些创建循环的特殊起始值称为扭转点。它们是数字理论家的当务之急。它们还与动力学系统上特定类型的点具有惊人的对应关系，而正是这种对应关系才真正使算术动力学处于运动状态。

克里格说：“这确实是该领域成为领域的基础。”

动力学系统通常用于描述根据重复规则随时间向前移动的现实世界现象，例如根据牛顿定律对台球进行跳弹。您从一个值开始，将其插入到函数中，然后获得一个输出，该输出将成为您的新输入。

一些最有趣的动力学系统由f（x）= x 2 − 1之类的函数驱动，这些函数与被称为Julia集的复杂分形图像相关。如果您使用复数（具有实部和虚部的数字）并一遍又一遍地应用函数-将每个输出作为下一个输入反馈到函数中，则会在复平面上生成一系列点。

这只是所谓的二次多项式的一个示例，其中变量升至第二次幂。二次多项式是动力学系统研究的基础，就像椭圆曲线是数论中许多基本研究的重点一样。

贝克说：“（在动力系统中）二次多项式与椭圆曲线在数论中的作用相似。” “它们是我们似乎总是回到尝试实际证明某些东西的基础。”

动态系统随着数字的演化而生成数字序列。例如，二次函数f（x）= x 2 −1。如果从值x = 2开始，则生成无限序列2、3、8、63，依此类推。

但是，并非所有起始值都会触发一个序列，该序列会永远增大。如果以x = 0开头，则相同的函数会生成非常不同的序列类型：0，-1、0，-1、0，依此类推。最终，您将得到一个封闭的小循环，而不是无穷无尽的数字字符串。

在动力学系统的世界中，其序列最终重复的起点称为有限轨道点。它们是椭圆曲线上扭转点的直接模拟。在这两种情况下，您都从一个值开始，应用系统或曲线的规则，最后以一个循环结束。这是三位数学家在其新证明中利用的类比。

DeMarco说：“这种简单的观察-椭圆曲线上的扭转点与某个动力系统的有限轨道点相同-这是我们在论文中反复使用的内容。”

Krieger和Ye均在DeMarco的监督下于2013年从芝加哥伊利诺伊大学获得博士学位。这三人于2017年8月在加利福尼亚州圣何塞的美国数学研究所重新召开会议，该研究所举办了密集的短期研究计划。

“我们在一个房间里呆了五天。我们需要解决一些问题。”

在此期间，他们开始设想一种扩展椭圆曲线的扭转点与动力系统的有限轨道点之间的关键类比的方法。他们知道，他们可以将看似无关的问题转化为可以直接应用类比的问题。该问题源于所谓的Manin-Mumford猜想。

Manin-Mumford猜想是关于比椭圆曲线更复杂的曲线，例如y 2 = x 6 + x 4 + x 2 −1。每条曲线都带有一个关联的较大的几何物体，称为雅可比行列式，可模仿某些物体。曲线的特性，对于数学家来说，通常比曲线本身更容易研究。曲线位于其Jacobian内部，就像一块拼图位于拼图中一样。

与椭圆曲线不同，这些更复杂的曲线没有可通过在曲线上添加点以在曲线上获得其他点的组结构。但是相关的雅各布主义者确实如此。雅可比人也有扭转点，就像椭圆形曲线一样，在反复进行内部加法后会自行向后旋转。

Manin-Mumford猜想与这些复杂曲线之一（位于其Jacobian内部）相交多少次有关。它预测这些相交仅有限地发生多次。该猜想反映了曲线的代数性质（以扭转点是定义曲线方程的特殊解的方式）与其作为几何对象的寿命（反映了曲线如何像一种形状一样嵌入在其Jacobian内）之间的相互关系。里面）。雅各宾派的每个地区都挤满了扭转点。如果放大其中的任何一小部分，就会找到它们。但是Manin-Mumford猜想预测，令人惊讶的是，只有有限数量的曲线仍然可以错过所有曲线。

1983年，米歇尔·雷诺德（Michel Raynaud）证明了这一猜想是正确的。从那时起，数学家一直在努力提升他的成绩。他们不只是知道交叉路口的数量是有限的，而是想知道它在某个特定值以下。

“现在，您知道它们只有有限的共同点，那么您遇到的每个数学家都会说，多少？”克里格说。

但是，由于缺乏清晰的框架来考虑定义交点的复数，因此难以计算交点。算术动力学最终提供了一个。

在DeMarco，Krieger和Ye的2020年论文中，确定了一系列曲线的相交数有一个上限。哥本哈根大学的另一位数学家LarsKühne的最新论文提出了建立所有曲线上限的证明。该论文于一月下旬发布，尚未得到充分审查。

雷诺（Raynaud）的先前结果仅证明了相交的数量是有限的-但它为该有限的数量留出了尽可能多的空间（从某种意义上讲，您始终可以生成更大的有限数）。这三个人的新证明建立了统一界限，即有限数量的交叉点可以达到的上限。 DeMarco，Krieger和Ye并没有确切地确定该上限，但他们证明了该上限的存在，并且还确定了今后的工作可以采取的一系列步骤来计算该上限。

它们的证明依赖于与此特殊曲线族相关联的雅可比学派的独特属性：它们可以分为两个椭圆形曲线。

组成雅可比行列式的椭圆曲线从复数中提取其解，这使它们的图比其解来自实数的椭圆曲线的图具有更大的外观。它们看起来像甜甜圈的表面，而不是摆动的线。 DeMarco，Krieger和Ye研究的特定曲线族具有看起来像两孔甜甜圈的雅可比曲线。它们很好地分解成两个规则的甜甜圈，每个甜甜圈是两个组成的椭圆曲线之一的图形。

新工作着重于那些椭圆曲线的扭转点。三位数学家知道，他们感兴趣的数量（复杂曲线之间的交点数量和其Jacobian扭转点的数量）可以根据椭圆形曲线之一的扭转点与扭转点重叠的次数来重新构造从另一个。因此，要限制Manin-Mumford猜想，所有作者要做的就是计算这些扭转点之间的相交数。

他们知道这不可能直接完成。由于两条椭圆曲线和它们的扭转点不一定重叠，因此无法立即进行比较。扭转点散布在椭圆曲线的表面上，但是两条曲线的形状可能会非常不同。这就像将球体表面上的点与立方体表面上的点进行比较-这些点可以具有相似的相对位置而实际上没有重叠。

“您无法真正比​​较那些椭圆曲线上的点，因为它们位于不同的位置；它们生活在不同的几何物体上，”克里格说。

但是，尽管扭转点实际上不一定重叠，但是可以将成对的扭转点放在每个甜甜圈上的相对位置相同。可以将成对的扭转点在各自的甜甜圈上占据相同的相对位置，认为它们是相交的。

为了准确确定这些交叉点在何处发生，作者不得不将扭力点从各自的曲线上移开，并将它们彼此移置，这几乎就像您将星图拟合到夜空的方式一样。

数学家知道这些星图，但是他们没有一个很好的视角来让他们计算重叠点。 DeMarco，Krieger和Ye使用算术动力学对其进行了管理。他们将两条椭圆曲线转化为两个不同的动力学系统。这两个动力学系统在相同的实际空间（复杂平面）上生成点。

DeMarco说：“与两个单独的动力系统相比，相对于两个单独的动力系统而言，更容易想到一个空间。”

两个动力学系统的有限轨道点对应于下面的椭圆曲线的扭转点。现在，为了限制Manin-Mumford猜想，数学家只需要计算这些有限轨道点重叠的次数即可。他们使用动力系统的技术来解决问题。

为了计算重叠的数量，DeMarco，Krieger和Ye转向了一种工具，该工具可测量初始点的值在重复添加到自身后会增加多少。

椭圆曲线上的扭转点没有增长或长期变化，因为它们向后盘绕。数学家使用“高度函数”来衡量这种增长或缺乏增长。当应用于椭圆曲线的扭转点时，它等于零。同样，当应用于动力学系统的有限轨道点时，它等于零。高度函数是算术动力学中必不可少的工具，因为它们可以在两个分支之间的划分的任一侧使用。

作者研究了代表椭圆曲线的动力学系统零高度点重合的频率。他们表明，这些点在复杂平面上足够分散，因此不太可能重合-实际上，它们不可能重复执行特定的次数。

该数字很难计算，并且可能比实际的重合点数大得多，但作者证明确实存在这个硬上限。然后，他们将问题转换回数论语言，以确定两条椭圆曲线上的最大共享扭转点数-这是他们最初提出问题的关键，并且是对算术动力学能力的有力证明。

多伦多约克大学的帕特里克·英格拉姆（Patrick Ingram）说：“他们能够回答数字理论中已经存在的一个特定问题，没有人认为与动力系统有任何关系。” “这引起了很多关注。”

在DeMarco，Krieger和Ye首次发布他们的证明适用于Manin-Mumford猜想的统一证明后不久，他们发布了第二篇相关论文。后续工作是关于动力系统中的一个问题，而不是数论，但是它使用了类似的方法。从这个意义上讲，这对论文是近30年前西尔弗曼（Silverman）所提倡的类比的典型产物。

DeMarco说：“从某种意义上说，这是同一论点，适用于两个不同的例子族。” 这两篇论文综合了过去三十年来数学家从事算术动力学研究的许多观点，同时还增加了全新的技术。 但是西尔弗曼认为这些论文具有启发性，而不是结论性的，暗示着对新学科的影响更大。 西尔弗曼说：“具体的定理是关于大猜想的特殊情况。” “但是，即使那些个别定理也确实非常美丽。” 更正：2021年2月23日，对本文进行了修订，以避免暗示LarsKühne的新著作使用算术动力学。