“乘法等于加法”有什么问题？

Myrtle称其为这篇文章，发表了上千篇文章……，并在此博客和其他几个博客上增加了评论，这可能并不过分夸张。但是，讨论感到不完整-我还没有说出我想说的所有话。因此，冒着再次暴露出我对数学的无知的风险，我将尝试对Keith Devlin的乘法文章做出另一种回应。

让我先说一下，我作为老师而不是数学家讲话。我没有资格也无意就Peano公理的含义争论不休。我的经验主要是教授从基本算术到基本代数和几何的K-10。我记得我大学数学课程中只有片段，那是在我们更担心核冬天而不是全球变暖的时代。

小学生将使用加法解决开始的乘法问题。他们还能做什么？他们还没有学会乘法。

乘法表最初是通过重复加法构建的，因为我们的学生将每一行和每一列中的数字相加（或计数）。即使是成年人，一旦被遗忘的数学事实所困扰，他们也会反复使用加法来找出答案。

重复加法确实为整数的任何乘法给出了正确答案。有时，麻烦多于其应有的价值—谁想累加957×842？但是，通过使用分配属性，可以将整数的任何乘法简化为重复的加法计算：4×3 =（1 +1 + 1 +1）×3 = 3 + 3 + 3 + 3

有理数乘法可以作为部分的加法来计算。这就是埃及抄写员处理分数乘法的方式。不过要小心！要计算这些部分，需要一个乘积-或更确切地说，是它的逆除数。因此，要将其用作定义，就必须诉诸循环推理。

最后，我认为我们都可以同意重复添加是解决问题的重要工具。重复加法可以帮助学生思考简单的乘法单词问题。它并不总是有效，但有时它是了解情况的最快方法。

那么，“乘法是重复加法”的定义又有什么问题呢？也许错误的措辞太过强烈-也许从某种深层的理论意义上讲，至少对于整个数字来说，这种说法都是正确的-我将把论据留给数学家。 （例如，请参见Peano算术中如何真正定义乘法。）但是作为老师，这个短语肯定会引起误解。

好像有两种类型的加法：常规，随机，“野生”加法以及我们为之加倍乘号的特殊品种的加法。那真的就是我们希望我们的学生思考的方式吗？乘法不仅仅是加法的一个亚种。乘法是它自己的动物，是独立的运算。

[Sidetrack：糟糕！我忘记了零没有乘法逆。乔纳森指出了我的错误。]

[另一边注：我发现有趣的是重复减法可以解决某些除法问题，就像重复加法可以帮助理解乘法一样。减法在长除法算法中起着重要作用。我想有人会争辩说，这毕竟是证据乘法是重复加法的。]

尺寸分析意味着查看数量的尺寸（度量单位），以帮助您解决科学或工程问题。

加法需要相同的单位。总和必须始终与加数具有相同的单位：

第二个方程式给您带来什么？水果沙拉？为了增加具有不同单位的数量，我们需要找到一个共同的分母。苹果和橙子都是水果，所以…

乘法需要不同的单位。该乘积与乘数或被乘数的单位不同。

我们如何使乘法与重复加法相同？唯一的方法是更改​​单位。

在数学课上使用素数时，通常不考虑尺寸分析。但是事实仍然是乘法以加法不会改变的方式改变事物。

这就是为什么小数加法和小数乘法的规则如此不同的原因。当您添加正有理数时，您总得到的总和要大于任一加数。但是，当您乘以有理数时，所有赌注都消失了—产品可能更大，更小或介于数字之间。

加法：加数+加数=总和。加数是可互换的。这由它们具有相同名称的事实表示。

乘法：乘数×被乘数=乘积。乘数和被乘数具有不同的名称，尽管我们许多人都难以记住哪个是哪个。

不同的名称表示功能上的差异。乘数和被乘数在概念上是不可互换的。确实乘法是可交换的，但是（2行×3椅子/行）与（3行×2椅子/行）不相同，即使两组都包含6个椅子。

在乘法中，我们引入了一种全新的数字类型：被乘数。一个奇怪的新概念是乘法的核心，这是学生从未见过的。

比率不是一个可计数的数字，而是一种新的东西，比学生到目前为止所见的东西抽象得多。

加减法后，数字便算出您拥有多少东西。如果您得到更多的东西，数字就会更大。如果您丢失了一些东西，数字会变小。数字用于衡量Cookie，马匹，美元，汽油或其他任何东西的数量。

被乘数不计算美元数也不计算汽油量。它告诉了它们之间的关系，即每加仑美元，无论您购买多还是少，都保持不变。

通过告诉我们的学生“乘法是重复加法”，我们忽略了被乘数的重要性。但是，直到我们的学生努力理解比率的概念之前，他们永远无法理解乘法。

如果我们接受这个论点，如果我们同意不再将基本乘法定义为重复加法，那又如何呢？这如何影响我们的教学方式？

我们可以使用与现在几乎相同的方法来教授乘法，方法是使用按组或行排列的操作，乘法情况的图片以及点或块的矩形阵列。但是，我们不想将学生的注意力放在加总答案的过程上，而是要关注项目按大小相等的组排列的事实。

教给孩子有用的单词“每”以及如何识别“每该”单元。

让他们在工作簿中标记数量：每个学生3个饼干，每个花瓶5个花，每个外星人1只眼睛，或其他。

如果我们需要一个简单的基本级别的流行语来代替“乘法是重复加法”，那又如何呢？

与任何此类短语一样，该语句无法捕获所有乘法。随着学生了解有理数，必须扩大定义。 “哦，看！我们可以只计算一组的一部分，也可以用非整数的单位来度量。”有一天，我们的学生将不得不学习实数，复数和矩阵乘法。即使这样，该短语还是我们的学生在K-12中会遇到的许多乘法情况的重要方面：存在被乘数，一些“按此”的数量。

这种方法对于那些沮丧的学生（尤其是那些凝视空白的学生）特别有用，他们读了一个单词问题，然后问：“我要加还是乘？”

完成圈子后，我回到了我的第一个“重复添加”帖子。我希望您考虑使用条形图来表示算术运算的教学能力。这些图表在新加坡小学数学书籍中使用，并且根据一位评论家的说法，它们在俄罗斯和澳大利亚很流行。它们甚至开始出现在较新的美国教科书中，有时也被称为“磁带图”。

他们为小学生提供了一个绘画代数，可以帮助他们思考复杂的单词问题。

学生很容易看到加减法之间，或乘除法之间的逆关系。

由于它们是基于数字线的，因此这些图自然地扩展到有理数和实数，并且随着学生对知识的理解程度的提高，其应用也越来越广泛。

另外是“此与那”：将两个（或更多）金额放在一起。这是基本的加/减图：

乘法是“多少个单位”：测量或计算给定大小的零件。这是乘法/除法的图：

要了解有关使用条形图对算术问题建模的更多信息，请查看Mad Scientist的Ray Gun乘法模型：

乘法和重复加法之间真的有区别吗？还是我在这里倾斜风车？

老师甚至有必要定义乘法吗？还是老师的工作是提供大量的乘法运算实例？我们应该让学生们直觉自己的定义吗？

如果我们将注意力从“如何获得答案”转变为重点，并教他们确定被乘数，即“按此”单元，对学生有帮助吗？ 还是会带来我从未考虑过的新困难？ 是否有些学生毫无头绪，因为无论我们如何解释，他们只是不注意？ 您是否尝试过使用条形图为基本算术情况建模？ 如果是这样，您的学生对此有何反应？ 如果您有兴趣更深入地研究儿童如何学习加法和乘法，我强烈推荐Terezina Nunes和Peter Bryant的书《儿童做数学》。 想要帮助您的孩子学习数学吗？ 索取免费的24页问题解决手册，并注册以了解新书，修订版和销售或其他促销信息。