在上一篇文章中，我讨论了关于动态系统的固定点的稳定性的基础知识，并用简单的连续时间一维例解释。在这篇文章中，我将讨论连续时间$ N $ -dimensional系统的一般情况的固定点。
只要重申，如果$ \ eqref {eq：1} $代表一个动态系统，则常用方程式（ode）是：
\ [\ dot x = f（x）\ label {eq：1} \] \ [\ begin {arequation} \ dot x = f（x）= 0 \ label {eq：2} \ end {等式} \]我以前的帖子仅解释了固定点的定义，并提供了一个具有标量值动态系统的示例。现在，让我们讨论多维颂歌的情况。
\ [\ mathbf {\ dot x} = \ mathbf {f（x）} \ label {eq：3} \] \ [\ mathbf {x，\ dot x} \ in \ mathcal {r} ^ {n}标签{eq：4} \] \ [\ mathbf {\ dot x_ {eq}} = \ mathbf {f}（\ mathbf {eq}}）= \ mathbf {0} \ label {eq：5} \ $ \ eqref {eq：5} $的根源将为我们提供$ \ mathbf {x_ {eq}}的值，即我们的多维系统的固定点。
我们在系统的均衡条件下使用小扰动$ \ delta $在一维案例（此处）中分析了系统。我们将在此处遵循类似的程序。
我们评估$ \ mathbf {f} ^ {\ prime} \ mathbf {（x）} $ that \ mathbf {x__ {eq}} $，以查看我们的定点是否稳定或不稳定。在一维系统的情况下，自从$ f ^ {\ prime}（x_ {eq}）＆gt是不稳定的固定点$ x_ {eq} $的情况下很容易，而当$ f ^ {\ prime时，它是稳定的}（x_ {eq}）＆lt; 0 $。在高维系统的情况下，我们不能这样做。
在$ \ mathbf {x_ {eq}}美元，我们将在$ \ mathbf {x_ {eq}}介绍我们的$ \ mathbf {x_ {eq}} $。因此，我们最终结束了以下内容：
\ [\ begin {align} \ mathbf {\ dot x_ {eq} + \ dot {\ delta x}}＆amp; = \ mathbf {f（x_ {eq} + \ delta x）} \ label {eq：6} \ end {align} \] \ [\ begin {align} \ mathbf {\ dot x_ {eq} + \ delta \ dot x = f（x_ {eq}）+ f ^ {\ prime}（x_ {eq}） \ delta x + f ^ {\ prime \ prime}（x_ {eq}）\ frac {\ delta x ^ 2} {2！} + \ dots} \ label {eq：7} \结束{align} \]但是，我们知道固定点，等式$ \ eqref {eq：5} $ holds，因此，$ \ eqref {eq：7} $ y降至$ \ eqref {eq：8} $。
\ [开始{align} \ mathbf {\ delta \ dot x = f ^ {\ prime}（x_ {eq}）\ delta x + f ^ {\ prime \ prime}（x_ {eq}）\ frac {\ delta x ^ 2} {2！} + \ dots} \结束{align} \] \ [\ mathbf {\ delta \ dot x = f ^ {\ prime}（x_ {eq}）\ delta x + hot \ label {eq：8}} \]我们可以忽略高阶条款$ \ mathbf {hot} $ for $ \ mathbf {\ delta {x}} $ to to $ \ mathbf {0} $，从而导致等式$ \ eqref {eq：9} $。
\ [\ begin {align} \ mathbf {\ delta \ dot x = f ^ {\ prime}（x_ {eq}）\ delta x \ label {eq：9}} \ end {align} \] $ \ mathbf { f} ^ {\ prime} \ mathbf {（x）} $是$ \ mathbf {f（x）} $的jacobian，$ \ mathbf {x_ {eq}} $，即我们动态系统的线性近似$ \ mathbf {f（x）} $ intal $ \ mathbf {x_ {eq}} $（您可以在雅各比亚的其他详细信息中提及此内容）。
\ [开始{align} \ mathbf {f} ^ {\ prime} \ mathbf {（x）}＆amp; =左[\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial x_ {1}}， \ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial x_ {2}}，\ dots，\ frac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial x_ {n}} \ light] \ label {eq： 11} \\ \ mathbf {f} ^ {\ prime} \ mathbf {（x）}＆amp; = \ begine {bmatrix} \ frac {\ partial {f_ {f_ {f_}}} {\ partial x_ {1}}}＆amp ; \ frac {\ partial {f_ {2}}} {\ partial x_ {2}}＆amp; \ dots＆amp; \ frac {\ partial {f_ {n}}} {\ partial x_ {n}} \\ \ vdots＆amp; \ ddots＆amp; \ ddots＆amp; \ vdots \\ \ frac {\ partial {f_ {n}}} {\ partial x_ {1}}＆amp; \ frac {\ partial {f_ {n}}} {\ partial x_ {2}}＆amp; \ dots＆amp; \ frac {\ partial {f_ {n}}} {\ partial x_ {n}} \\ \ neg {bmatrix} \ label {eq：12} \ neg {senutal} \]使用这个jacobian，等式$ \ eqref { EQ：12} $，在我们的固定点$ \ MATHBF {X_ {eq}} $的正在考虑的动态系统中，我们可以计算其特征值并解释固定点的结果。
\ [开始{对齐} \ mathbf {f} ^ {\ prime}（\ mathbf {x_ {eq}}）\ mathbf {x_ {eq}} = \ lambda \ mathbf {x_ {eq}} \ label {eq ：13} \结束{align} \]这里，$ \ lambda $表示系统的特征值。 $ \ eqref {eq：13} $的根源是固定点$ \ mathbf {x} = \ mathbf {x_ {eq}} $的动态系统的特征值。
对于由$ \ eqref {eq：3} $给出的连续时间非线性动态系统，可以解释为roots的特征值$ \ lambda $ \ eqref {eq：13} $。
如果任何特征值都有真正的零件$ Re（\ lambda）＆gt; 0 $：$ \ mathbf {x_ {eq}} $是一个不稳定的固定点。
如果特征值$ \ lambda $是复杂的缀合物，即$ im（\ lambda）\ ne 0 $：动态系统在固定点周围具有振荡行为。
在这篇文章中，我们讨论了解释动态系统的固定点的一般情况。一般来说，我的意思是$ \ mathbf {f（x）} $是表示动态系统的非线性连续载量标值。以下是一个应注意任何关于任何非线性动力系统的要点：
我们假设该系统是非线性的，并在其固定点附近（A.K.A.均衡）附近的泰勒串联扩展线性化。
我们通过扰乱系统评估了均衡点附近的固定点的稳定性（$ \ mathbf {x_ {eq}} + \ mathbf {\ delta x} $）。
通过在均衡附近进行线性化解释系统稳定性的方法并不讲述系统的渐近行为。我们只了解系统在本地或在固定点附近的行为。
在实际或现实世界的系统中，可能无法解释系统的全局稳定性特征。因此，定点附近周围的稳定性分析对于许多实际应用是有用的，例如维持非线性系统在附近或在固定点处的状态。
通常，任何非线性动力系统的全局渐近行为可以复杂，并且没有系统的方法来预测和分析这些行为。
StrogaTz，Steven H.非线性动力学和具有学生解决方案的混沌手册：应用于物理，生物学，化学和工程的应用。 CRC Press，2018年。 Khalil，Hassan K.“Lyapunov稳定性”。 控制系统，机器人和自动化卷XII：非线性，分布式和时间延迟系统-i（2009）：115。 Bomze，Immanuel M.和JörgenW.Weibull。 “中性稳定性意味着Lyapunov稳定性？” 游戏和经济行为11.2（1995）：173-192。