移动的沙发问题（2016）

＆＃34;奇数，＆＃34;同意纪录。 ＆＃34;我当然从未遇到任何涉及沙发的不可逆转数学。可能是一个新的领域。你和任何空间几何人说过吗？＆＃34; -douglas adams，＆＃34;德克轻轻地＆＃39; s整体侦探机构＆＃34;

Mathematician Leo Moser于1966年提出以下好奇的数学问题：飞机中最大区域的形状是什么，可以在宽度1的二维走廊围绕右侧角度移动？这个问题被称为移动的沙发问题，并且在第一次被问到后仍未解决了五十年。

要了解什么使这个问题棘手，让＆＃39;思考什么样的＆＃34;沙发＆＃34;形状我们可以构造，可以在一个角落里移动。单位广场怎么样？

嗯，一个单位广场只有1个区域;肯定我们可以做得更好吗？例如，带半径1的半圆是另一个有效的简单示例：

半圆形沙发的面积比平方1，ᴨ/ 2（约1.57）。它也更有意思，因为为了在它旋转的角落中移动，而方形沙发仅仅转换。现在，如果只有我们可以结合旋转和翻译，也许我们可以构建一个更大的沙发形状？实际上，数学家John Hammersley注意到，如果半圆被切成两个季度圆圈，那么将它们拉开并填充有矩形块之间的间隙，我们得到更大的沙发形状，如果只是，可以在角落里移动还从矩形块中取出较小的半圆孔。这是由此产生的形状，开始看起来更像是一个实际的沙发：

Hammersley＆＃39; S思想为底部半圆孔的半径的0和1之间的每个值工作。当半径选择为2 /ᴨ（约0.637）时，获得该系列中的最大区域（如上所示）的形状，其给出2 /ᴨ+ᴨ/ 2或约2.2074的面积。这比我们的＆＃34;白痴和＃39;沙发，＆＃34;单位广场。哈默利认为他的建筑可能是最佳的，但这结果是假的。 1992年，Joseph Gerver发现了更好的形状，略大于2.2195左右。这里是：

Gerver并没有证明他的建筑是最佳的，但它是从局部最优性的考虑来源的。粗略地说，在使形状被运输的路径上进行小的扰动时，形状的区域处于平衡状态时。这导致差分方程可以求解以找到用于不同形状的不同片状的公式（有3个直线段和15个弯曲件，每个弯曲件由其自己的公式描述）。因此，Gerver＆＃39的形状可能是正确的解决方案似乎很合理。 Gerver推测它是，它仍然是今天所知的最好的。移动的沙发问题有几种其他变体。由John Horton Conway和其他人研究其中之一，要求最大的区域沙发，可以在右侧和左侧移动到90度左右。通过在1992年纸上扩展Gerver使用的技术，我发现了这样的＆＃34;二手沙发＆＃34;面积约为1.64495的形状，这可能是最大可能的区域。这里是：

在2014年和Philip Gibbs在2014年使用Kiyoshi Maruyama开发的近似方案来计算类似的看起来。我的推导在封闭形式的形状产生了解决方案。它具有18个不同的片，每个部分由作为一些微分方程的溶液获得的单独的公式给出。分析的细节非常令人惊讶;例如，事实证明，新形状的面积由不寻常的公式给出

五十年后成立后，移动的沙发问题仍然导致新的数学见解 - 和漂亮的图片和动画！我还使用了一个3D打印机来创建上面所示形状的现实生活3D模型，这很有趣并展示其他人。查看下面的可下载文件，您可以用来为自己制作类似的模型。如果您想了解有关移动沙发的数学的更多信息，请阅读我的论文和下面引用的其他参考文献。以下是一个页面，其中包含最近的新闻文章的链接，讨论了我在移动的沙发问题上的工作。

D. Romik。移动沙发问题中的微分方程和精确解决方案。实验数学27（2018），316-330。

Y. Kallus，D. Romik。在移动的沙发问题中改进了上限。数学340（2018），960-982的进展。

J.L. Gerver。在拐角处移动沙发。 Geometriae Dedicata 42（1992），267-283。 DOI：10.1007 / BF02414066。

Mathematica包：movingsofas.nb，我的论文的伴侣包。如果你没有＆＃39; t有Mathematica，这是一个PDF版本。