探索器

跳转到导航跳转到搜索型螺旋仪是一种几何绘图装置，它产生技术称为次毒素和开胃片的品种的数学轮次曲线。众所周知的玩具版是由英国工程师丹麦渔民开发的，并于1965年首次出售。

该名称是Hasbro Inc.的注册商标。自1998年以来，购买丹舍渔民公司的公司之后。 Spirograph品牌于2013年在全球范围内重新启动，其原始产品配置由Kahootz玩具。

1827年，希腊语出生的英语建筑师和工程师Peter Hubert Desvignes开发并宣传了A＆＃34; Speiragraph＆＃34;，一个创建精心螺旋图的设备。一个名叫J. Jopling的男人很快就声称已经发明了类似的类似方法。 [1]在1845年至1848年间的维也纳工作时，Desvignes建造了一个机器的一个版本，这将有助于防止纸币伪造者，[2]作为轮盘模式的任何几乎无穷无尽的变化，即它可能产生的轮盘模式是极其困难的逆向工程。 Mathematician Bruno Abakanowicz在1881年至1900年期间发明了一种新的循环装置。它用于计算曲线限定的区域。 [3]

自奇妙的奇迹在Sears目录中宣传时，绘制基于齿轮的绘图玩具已经存在于1908年。 [4] [5]一篇文章，描述了如何在1913年在男孩机械发布中出现一个奇迹绘图机的文章。[6]

明确的螺旋玩具是由英国工程师丹麦Fisher开发的1962年和1964年在1962年至1964年间通过创建带有Meccano碎片的绘图机。 Fisher在1965年纽伦堡国际玩具展览会上展出了他的螺旋仪。随后由他的公司制作。美国分销权由Kenner，Inc。收购，该公司于1966年向美国市场推出，并将其作为创造性的儿童促进＆＃39;玩具。 Kenner后来介绍了斯皮特洛，磁溜动虫，螺旋体和各种补充套。 [7]

2013年，斯皮克品牌在全球重新启动，拥有原始齿轮和轮子，由Kahootz玩具。现代产品使用可拆卸的腻子代替销钉，以将固定件固定到位。 Spirograin是2014年的2014年玩具的两类，玩具于1967年的玩具被命名为45年。

原版美国释放的型螺旋仪由两个不同大小的塑料环（或定子）组成，圆周和外部的齿轮齿。一旦将这些环中的任何一个固定（通过销钉，用粘合剂，或用手），其中几个提供的齿轮（或转子）中的任何一个用于圆珠笔的孔 - 可以在环绕环上旋转以绘制几何形状。之后，超级型倾向引入了额外的形状，如环，三角形和直线杆。每件的所有边缘都有牙齿以接合任何其他件;较小的齿轮适合较大的戒指，但它们也可以沿环旋转＆＃39;外边缘甚至彼此。齿轮可以在许多不同的布置中组合。常规包括各种彩色的钢笔，可以通过切换颜色来增强设计，如这里所示的示例所示。

初学者经常滑动齿轮，特别是在使用较大轮毂边缘附近的孔时，导致破碎或不规则的线条。经验丰富的用户可能会学会彼此相对移动几件（例如，环绕着环，带有圆圈＆＃34;攀登＆＃34;从戒指到三角形）。

考虑以原点为中心的半径R {\ DisplayStyle r}的固定外圈C o {\ displaystyle c_ {o}。半径R＆lt;的较小内圈C i {\ displaystyle c_ {i}}。 R {\ DISPLAYSTYLE R＆LT; R}在C O {\ DISPLAYSTYLE C_ {O}}内滚动，并与其连续切相。 C i {\ displaystyle c_ {i}}将被认为永远不会滑动在c o {\ displaystyle c_ {o}}上（在真正的螺旋仪中，两个圆圈上的齿都防止这种滑动）。现在假设位于C i {\ displaystyle c_ {i}}内的某处的点A {\ DisplayStyle A}位于距离ρ＆lt;来自c i {\ displaystyle c_ {i}} r} r {\ displaystyle \ rho＆lt; r}＆＃39; s中心。这一点a {\ displaystyle a}对应于真正螺旋仪的内盘中的笔孔。如果没有造成普遍性，可以假设在初始时刻，点{\ displaystyle a}在x {\ displaystyle x}轴上。为了找到由Spirograin创建的轨迹，随着内部圆圈设置在运动中，遵循点A {\ DisplayStyle A}。

现在标记在C i {\ displaystyle c_ {o}}上的两个点t {\ displaystyle t}，在c i {\ displaystyle c_ {i}}上。点t {\ displaystyle t}始终指示两个圆圈是切线的位置。但是，点B {\ DisplayStyle B}将在C i {\ displaystyle c_ {i}}上行进，其初始位置与t {\ displaystyle t}一致。在逆时针设置C i {\ displaystyle c_ {i}}绕过c°{\ displaystyle c_ {o}}，C i {\ displaystyle c_ {i}}相对于其中心具有顺时针旋转。点B {\ displaystyle b}遍历c i {\ displaystyle c_ {i}}的距离与切换点t {\ displaystyle t}上的相同，{\ displaystyle c_ {o}}遍历，由于没有滑倒。

现在定义坐标的新（相对）系统（x'，y'）{\ displaystyle（x＆＃39;，y＆＃39;）}它在C i {\ displaystyle c_ {i}}的中心的原点它的轴平行于x {\ displaystyle x}和y {\ displaystyle y}。让参数t {\ displaystyle t}是切换点t {\ displaystyle t}在c o {\ displaystyle c_ {o}}上旋转的角度，而t'{\ displaystyle t＆＃39;}是角度由C i {\ DisplayStyle C_ {i}}在坐标的相对系统中旋转（即，由该B {\ DisplayStyle B}行进）。因为没有滑动，所以沿着它们各自的圆圈的B {\ displaystyle b}和t {\ displaystyle t}行进的距离必须是相同的，因此

通常假设逆时针运动对应于角度的正变化和一个顺时针一个到角度的负变化。上述公式中的减号（t'＆lt; 0 {\ displaystyle t＆＃39;＆lt; 0}）可容纳本公约。

让（x c，y c）{\ displaystyle（x_ {c}，y_ {c}）是Cone坐标中的绝对系统中的C i {\ displaystyle c_ {i}}的坐标。然后r - r {\ displaystyle r-r}表示C i {\ displaystyle c_ {i}}的中心的轨迹的半径，这些轨迹（在绝对系统中再次）经过圆形运动：

x c =（r - r）cos⁡t，y c =（r-r）sin⁡t。 {\ displaystyle {\ begin {senugented} x_ {c}＆amp; =（r-r）\ cos t，\\ y_ {c}＆amp; =（r-r）\ sin t。\结束{对齐}}}

如上所定义，T'{\ DisplayStyle T＆＃39;}是新相对系统中的旋转角度。因为点a {\ displaystyle a} obeys循环运动的通常定律，它的坐标在新的相对坐标系（x'，y'）{\ displaystyle（x＆＃39;，y＆＃39;）}是

x'=ρcos⁡t'，y'=ρian⁡t'。 {\ displaystyle {\开始{对齐} x＆＃39;＆amp; = \ rho \ cos t＆＃39; \\ y＆＃39;＆amp; = \ rho \ sin t＆＃39; \结束{aligned}}}

为了在坐标的绝对（旧）系统中获得{\ displaystyle a}的轨迹，添加这两个动作：

x = xc + x'=（r - r）cos⁡t +ρcos⁡t'，y = yc + y'=（r - r）sin⁡tρian⁡t'，{\ displaystyle {\ begin {对齐} x＆amp; = x_ {c} + x＆＃39; =（rr）\ cos t + \ rho \ cos t＆＃39; \\ y＆amp; = y_ {c} + y＆＃39; =（rr）\ sin t + \ rho \ sin t＆＃39;，\\\结束{aligned}}}

现在，使用t {\ displaystyle t}和t'{\ displaystyle t＆＃39之间的关系。 t}：

X = XC + X'=（R-R）COS⁡T+ρcos⁡r - rrt，y = yc + y'=（r - r）sin⁡t - ρian⁡r - rrt {\ displaystyle {\开始{对齐} x＆amp; = x_ {c} + x＆＃39; =（rr）\ cos t + \ rho \ cos {\ frac {rr} {r}} t，\\ y＆amp; = y_ {c} + y＆ ＃39; =（rr）\ sin t- \ rho \ sin {\ frac {rr} {r}} t \\\结束{对齐}}

方便代表上面上面的方程式的C o {\ displaystyle c_ {o}}和描述螺旋体结构的无量纲参数。即，让我们

参数0≤L≤1{\ DisplayStyle 0 \ Leq L \ Leq 1}表示从C i {\ displaystyle c_ {i}}的中心位于c点{\ displaystyle a}的距离。同时，0≤k≤1{\ displaystyle 0 \ leq k \ leq 1}表示内圆C i {\ displaystyle c_ {i}}是多大的内外一个c o {\ displaystyle c_ {o}}。

x（t）= r [（1 - k）cos⁡t + l k cos⁡1 - k k t]，y（t）= r [（1 - k）sin⁡t - l ksin≥1 - k k t]。 {\ displaystyle {\ begin {senugented} x（t）＆amp; = r \ left [（1-k）\ cos t + lk \ cos {\ frac {1-k} {k} t \ rectle]，\ \ y（t）＆amp; = r \ left [（1-k）\ sin t-lk \ sin {\ frac {1-k} {k}} t \ revally]。\\\结束{对齐}}}

参数R {\ DisplayStyle r}是一个缩放参数，不会影响Spirograph的结构。 R {\ DisplayStyle R}的不同值将产生类似的螺旋图。

两个极端情况k = 0 {\ displaystyle k = 0}和k = 1 {\ displaystyle k = 1}导致螺旋轨迹的退化轨迹。在第一个极端情况下，当k = 0 {\ displaystyle k = 0}时，我们有一个简单的半径r {\ displaystyle r}圈，对应于c i {\ displaystyle c_ {i}}缩小的情况陷入一点。 （通过k = 0 {\ displaystyle k = 0}在公式中不是问题，因为SIN {\ displaystyle \ sin}和cos {\ displaystyle \ cos}都是有界函数的）。

另一个极端情况k = 1 {\ displaystyle k = 1}对应于内圈c i {\ displaystyle c_ {i}}＆＃39; s半径r {\ displaystyle r}匹配半径r {\ displaystyle r}外圈C o {\ displaystyle c_ {o}}，即r = r {\ displaystyle r = r}。在这种情况下，轨迹是单一的。直观地，C i {\ displaystyle c_ {i}太大，无法在同一大小的c o {\ displaystyle c_ {o}}内滚动而不会滑倒。

如果l = 1 {\ displaystyle l = 1}则点a {\ displaystyle a}位于c i {\ displaystyle c_ {i}}的圆周上。在这种情况下，轨迹被称为下循环系统，并且上面的方程减少到下循环系统的方程。

^ Goldstein，Cathérine;灰色，杰里米;罗特，吉姆（1996）。 L＆＃39;欧洲Mathématique：Histoires，神话，Identités。版本msh。 p。 293. ISBN 9782735106851。