互惠格子

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依次循环通过指数，相同的方法产生三个波浪{\ displaystyle \ mathbf {b} _ {j}}与ai∈bj=2πδij{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} = 2 \ pi \，\ delta _ {ij}}，其中kronecker deltaΔij{\ displaystyle \ delta _ {ij}}当i = j {\ displaystyle i =时等于一个j}否则零。 Bj {\ displaystyle \ mathbf {b} _ {j} _ _ {j}}包括一组三个用于倒数晶格的三个基本波动器，每个顶点采用g = m 1 b 1 + m 2 b 2 + m 3 b 3 {\ displaystyle \ mathbf {g} = m_ {1} \ mathbf {b} _ {1} {+} {+} m_ {2} \ mathbf {b} _ {2} {+} {+} m_ {3} \ mathbf {b} _ {3}}，其中mj {\ displaystyle m_ {j}}是整数。然后简单的代数表明，对于互易晶格上的Wavemector g {\ displaystyle \ mathbf {g}}的任何平面波，总相移g∈r{\ displaystyle \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {r}}在直接格子上的原点和任何点r {\ displaystyle \ mathbf {r}}是2π{\ displaystyle 2 \ pi}的（可能为零）倍数，因此每个直接格子顶点的阶段确实相等，符合上面的互易格子定义。 （尽管互动格子上的任何波动G {\ DisplayStyle \ Mathbf {g}}往往呈现这种形式，但这种导出是激励，而不是严格的，因为它省略了没有其他可能性的证据。）

布里渊区是一种原始电池（更具体地是互核曲线）的互殖细胞，其在由于Bloch和＃39; S定理引起的固态物理中起重要作用。在纯数学中，线性形式的双色空间和双格子提供了更摘要的往复空间和互易晶格的推广。

假设由下标n =（n 1，n 2），{\ displaystyle n =（n_ {1}，n_ {2}），}}假设每个晶格矢量图。

R n = n 1 a 1 + n 2 a 2 {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {n} = n_ {n} = n_ {1} \ mathbf {a} _ {1} + n_ {2} \ mathbf {a} _ {a} _ {其中n 1，n 2∈z {\ displaystyle n_ {1}，n_ {2} \ in \ mathbb {z}}。

采用函数f（r）{\ displaystyle f（\ mathbf {r}）}其中r {\ displaystyle \ mathbf {r}}是从原点到任何位置的向量，如果f（r）{\ displaystyle f（ \ mathbf {r}）}遵循格子的周期性，例如原子晶体中的电子密度，写入f（r）{\ displaystyle f（\ mathbf {r}）}作为多维傅里叶系列是有用的

Σmfmeigm∈r= f（r）{\ displaystyle \ sum _ {m} {f} {f_ {m} e ^ {i \ mathbf {g} _ {m} \ cdot \ mathbf {r}}} = f \左（\ mathbf {r} \右）}

在现在下标m =（m 1，m 2），{\ displaystyle m =（m_ {1}，m_ {2}），}所以这是一个double sum。

作为f（r）{\ displaystyle f（\ mathbf {r}）}遵循晶格的周期性，通过任何晶格向量r n {\ displaystyle \ mathbf {r} _翻译R {\ displaystyle \ mathbf {r}}。 {n}}我们得到相同的价值，因此

f（r + r n）= f（r）{\ displaystyle f（\ mathbf {r} + \ mathbf {r} _ {n}）= f（\ mathbf {r}）}

σmfmeigm∈r=σmfmeigm∈（r + r n）=Σmfmeigm∈Rnei gm∈r{\ displaystyle \ sum _ {m} {f_ {m} e ^ {i \ mathbf {g} _ {m} \ cdot \ mathbf {r}}} = \ sum _ {m} {i \ mathbf {g} _ {m} \ cdot（\ mathbf {r} + \ mathbf {r} _ {n}）}} = \ sum _ {m} {i \ mathbf {g} _ {m} \ cdot \ mathbf {r} _ {n}} \ ，e ^ {i \ mathbf {g} _ {m} \ cdot \ mathbf {r}}}}}}}}}}}

因为两个傅里叶系列的平等意味着它们的系数的平等，所以ei gm∈rn = 1 {\ displaystyle e ^ {i \ mathbf {g} _ {m} \ cdot \ mathbf {r} _ {n}} = 1 }，只有何时担任

g m⋅rn =2πn {\ displaystyle \ mathbf {g} _ {m} \ cdot \ mathbf {r} _ {n} = 2 \ pi n}其中n≠z。 {\ displaystyle n \ in \ mathbb {z}。}

该标准将G m {\ displaystyle \ mathbf {g} _ {m}}的值限制为满足该关系的向量。数学上，倒数晶格是满足所有晶格点位置矢量R n {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {n的上述标识的所有向量g m {\ displaystyle \ mathbf {g} _ {m}}的集合。{n }}。这样，表现出格子相同周期性的任何功能都可以表示为傅里叶序列，从倒数晶格中取出角频率。

这种倒数格子本身就是BRAVAIS格子，互易格子的往复式是原始格子，其揭示了各自的矢量空间的模坡泛素二元性。

对于无限的二维格子，由其原始矢量（A 1，A 2）{\ DISPLAYSTYLE \左（\ MATHBF {A} _ {1}，\ MATHBF {A} _ {2}右）}而定义通过通过以下公式产生其两种往复原语载体，可以确定其往复晶格，

g m = m 1 b 1 + m 2 b 2 {\ displaystyle \ mathbf {g} _ {m} = m_ {m} = m_ {1} \ mathbf {b} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {b} _ { 2}}

b 1 =2π - q A 2 - a 1⋅qa 2 =2πqa 2 a 1 q q a 2 b 2 =2πqa 1 a 2⋅qa 1 {\ displaystyle {\ begined {对齐} \ mathbf {b} _ {1}＆amp; = 2 \ pi {\ frac { - \ mathbf {q} \，\ mathbf {a} _ {2}} { - \ mathbf {a} _ {1} \ cdot \ mathbf {q} \，\ mathbf {a} _ {2}}} = 2 \ pi {\ frac {\ mathbf {q} \，\ mathbf {a} _ {2}} {\ mathbf {a} _ {1} \ cdot \ mathbf {q} \，\ mathbf {a}} \\\ mathbf {a} \ {2}} \\\ mathbf {b}} \\\ mathbf {b} \ {2}＆amp; = 2 \ pi {\ frac {\ mathbf {q} \，\ mathbf {a} _ {1}} {\ mathbf {a} _ {2} \ cdot \ mathbf {q} \，\ mathbf {a} _ {1}}} \ end {aligaled}}}

这里q {\ displaystyle \ mathbf {q}}表示90度旋转矩阵，即四分之一转弯。逆时针旋转和顺时针旋转都可用于确定互易晶格：如果q {\ displaystyle \ mathbf {q}}是逆时针旋转和q'{\ displaystyle \ mathbf {q＆＃39;}是顺时针旋转，q v = - q'v {\ displaystyle \ mathbf {q} \，\ mathbf {v} = - \ mathbf {q＆＃39; \ mathbf {q＆＃39;} \，\ mathbf {v}}为所有向量v v {\ displaystyle \ mathbf {v}}。因此，使用排列

b n =2πqaσ（n）an∈qaσ（n）=2πq'aσ（n）an∈q'aσ（n）。 {\ displaystyle {\ begined {对齐} \ mathbf {b} _ {n} = 2 \ pi {\ frac {\ mathbf {q} \，\ mathbf {a} _ {\ sigma（n）}} {\ mathbf {a} _ {n} \ cdot \ mathbf {q} \，\ mathbf {a} _ {\ sigma（n）}}} = 2 \ pi {\ frac {\ mathbf {q}＆＃39; \， \ mathbf {a} _ {\ sigma（n）}} {\ mathbf {a} _ {n} \ cdot \ mathbf {q}＆＃39; \，\ mathbf {a} _ {\ sigma（n）} }}。\结束{对齐}}}

对于无限的三维晶格，由其原始矢量定义（a，a 2，a 3）{\ displaystyle \ left（\ mathbf {a_ {1}}，\ mathbf {a} _ {2}，\ mathbf {a} _ {3} \右）}，可以通过通过公式产生三个倒数原始向量来确定其倒数晶格

g m = m 1 b 1 + m 2 b 2 + m 3 b 3 {\ displaystyle \ mathbf {g} _ {m} = m_ {1} \ mathbf {b} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {b} _ {2} + m_ {3} \ mathbf {b} _ {3}}

其中下标m =（m 1，m 2，m 3）{\ displaystyle m =（m_ {1}，m_ {2}，m_ {3}）}在三个方面，并且对于标量三重产品v = a 1⋅（a 2×a 3）{\ displaystyle v = mathbf {a} _ {1} \ cdot \ left（\ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3} \ ）}：

b 1 =2πva 2×a 3 b 2 =2πva 3×a 1 b 3 =2πva 1×a 2 {\ displaystyle {\ begined {对齐} \ mathbf {b} _ {1 }＆amp; = {\ frac {2 \ pi} {v}} \ \ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3} \\\ mathbf {b} _ {2}＆amp; = {\ frac {2 \ pi} {v}} \ \ mathbf {a} _ {3} \ times \ mathbf {a} _ {1} _ {1} _ {3} _ {3}＆amp; = {\ FRAC {2 \ pi} {v}} \ \ mathbf {a} _ {1} \ times \ mathbf {a} _ {2} \ neg {sentalled}}}

使用（互换）原始向量的列向量表示，可以使用矩阵反转来重写上面的公式：

[B 1 B 2 B 3] T =2π[A 1 A 2 A 3] -1。 {\ displaystyle \ left [\ mathbf {b} _ {1} \ mathbf {b} _ {2} \ mathbf {b} _ {3} \ led] ^ {\ mathsf {t}} = 2 \ pi \ left [\ mathbf {a} _ {1} \ mathbf {a} _ {2} _ {2} \ mathbf {a} _ {3} \ rectle] ^ { - 1}。}

该方法吸引了定义，并允许泛化到任意维度。交叉产品配方占据了晶体学的介绍性材料。

上述定义称为＆＃34;物理＆＃34;定义，作为2π{\ DisplayStyle 2 \ Pi的因子自然来自周期性结构的研究。等同的定义，＆＃34;晶体＆＃39; s＆＃34;定义，来自定义倒数晶格是e2πik = 1 {\ displaystyle e ^ {2 \ pi i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} = 1}，其改变了定义互惠晶格向量

B 1 = 2×3a 1⋅（a 2×a 3）{\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1} = {\ frac {\ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a } _ {3}} {\ mathbf {a} _ {1} \ cdot \ left（\ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3} \ rection）}}}}}}}}}

等等等等。晶体＆＃39; S定义具有以下优点：B 1 {\ displaystyle \ mathbf {b} _ {1}}的定义只是一个{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {1}}的互象幅度。在2×a 3 {\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} \ times \ mathbf {a} _ {3}}的方向上，丢弃了2π{\ displaystyle 2 \ pi}的因子。这可以简化某些数学操纵，并以空间频率为单位表示互易格子尺寸。它是一种味道，使用哪种晶格的定义，只要两个没有混合。

倒数晶格中的每个点（H k L）{\ displaystyle（hkl）}对应于真实空间格子中的一组格平面（h kl）{\ displaystyle（hkl）}。倒数晶格向量的方向对应于真实空间平面的普通空间。往复式晶格向量的幅度以往复长度给出，等于真实空间平面的跳线间距的倒数。

可以推导为n {\ displaystyle n}尺寸的公式，假设n {\ displaystyle n} - 基础（a 1，...，a）{\ displaystyle（\ mathbf { a} _ {1}，\ ldots，\ mathbf {a} _ {n}）}和内部产品g：v×v→r {\ displaystyle g \ colon v \ time v \ to \ mathbf {r}} 。倒数晶格向量由公式G（ai，bj）=2πδij{\ displaystyle g（\ mathbf {a} _ {i}，\ mathbf {b} _ {j}）= 2 \ pi \ delta _ {ij}}。使用排列

σ=（1 2⋯n 2 3÷1），{\ displaystyle \ sigma = {\ begin {pmatrix} 1＆amp; 2＆amp; \ cdots＆amp; n \\ 2＆amp; 3＆amp; \ cdots＆amp; 1 \结束{pmatrix} }，}

b i =2πεσ1i...σniω（a 1，...，a n）g-1（aσ

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