我的第一种经验与部分微分方程（PDE）的数值解有有限差分方法。我发现有限差异方法有点细则：耐心等待，例如，在不规则间隔的网格上为二阶差分运算符提供适当的第五顺序有限差异近似的练习，甚至更加疼痛证明该计划是会聚。我发现我喜欢有限元方法一个更好的1个有限元方法肯定有自己的fidly-nesses（因为任何与严肃的有限元代码合作的人都无法证明）。随着统一的潜在功能分析理论，Galerkin近似，其显示了如何在某种意义上是如何计算到潜在解决方案家族中PDE的最佳近似解决方案。然而，我开始感到稍后，在某种意义上，Galerkin近似是更基本的概念，具有一个特定的实例化（具有频谱方法，边界元方法和缀合物梯度方法是其他的）。在这篇文章中，我希望概述Galerkin近似值，因为计算在某个有限的可能性范围内问题的最佳近似解决问题。
让我们从一个线性代数示例开始，这是由部分微分方程的一些技术性的负担。假设我们想解决一个非常大的线性方程系统，其中矩阵是对称的和正定的（SPD）。假设这是如此大，我们甚至不想在计算机上存储解决方案的所有组件。我们能做什么？
一个解决方案是考虑只能在所有可能的解决方案集中的子空间中进行解决方案。如果此子空间有一个基础，那么解决方案可以表示为，只有一个只能存储数字。一般来说，不属于子空间，我们必须满足近似解决方案。
下一步是将线性方程的系统转换为更适用于对子空间的近似解的形式。注意，该等式编码不同的线性方程，它是TH的行和是的。请注意，TH等式相当于条件，除了作为一个的TH条目之外，所有条目中的矢量与Zeros的矢量。更一般地，通过将方程乘以任意测试行向量，我们得到所有的。我们将此称为图方程线性系统的变分制剂。实际上，可以轻松表明变分问题等同于线性方程系统：
由于我们正在寻求子空间的近似解决方案，因此我们还将测试向量限制在子空间中。因此，我们为方程式的近似解决方案作为变分问题的解决方案
一个人可以相对容易地显示出这个问题拥有一个独特的解决方案。 2这是一个线性代数证明。正如我们将在下面看到的那样，相同的结论也将从通用的lex-milgram定理中遵循。作为一个矩阵，其列形成基础。然后每一个都可以写成一些。因此，写作，我们有一个。但这只是对等式的变分制。因为它是SPD以来，矩阵是SPD。因此有一个独特的解决方案。因此，变分问题eq的独特解决方案。 （2）。在什么意义上是一个很好的近似解决方案？要回答这个问题，我们需要引入一种测量误差的特殊方法来近似解决方案。我们定义了向量的-inner乘积和与关联的-norm。 3注意 - 诺可以被视为加权欧几里德的规范，其中沿着它们对应的特征向量缩放的特征向量方向的向量的组分。具体地说，如果在哪里是eigenvalue（）的特征向量，那么我们有。熟悉的欧几里德内部产品和规范满足的所有属性都涉及新的-inner产品和规范（例如，毕达哥兰定理）。实际上，对于那些熟悉的人来说，可以表现出满足内部产品空间的所有公理。
我们现在将表明，在所有意义上都与空间之间的误差和其Galerkin近似值之间的错误。这是直接计算的，因为，
其中何处解决了变分问题。 （1）并且求解变分问题EQ。 （2）。
误差是 - 正常的事实可以用于表明，从某种意义上说，在子空间中是最佳近似的解决方案。首先注意，对于任何近似解决方案，向量是 - 正常。因此，由毕达哥拉斯定理，
因此，Galerkin近似是每个都是在-norm中的子空间中的最佳近似解。因此，如果一个人选择了一个子空间，那么在很小的意义上几乎在4中呈现的子空间，那么与子空间的大小无关，那么将是一个良好的近似解决方案。
正如我希望我在上一节中传达的那样，Galerkin近似不是一种仅适用于有限元方法甚至只是PDE的技术。然而，差分和整数方程是Galerkin近似的最重要应用之一，因为差分或整体方程的所有可能解决方案的空间是无限的：有限尺寸空间中的近似绝对是关键的。在本节中，我想简要介绍一个人如何开发有关Galerkin近似的微分方程的变分配方。为简单呈现，我将专注于普通微分方程（ODE）边值问题描述的一维问题。所有这些普遍批发到多维局部微分方程，尽管存在一些额外的技术和符号困难（其中一些我将以脚注地址）。微分方程的变分制剂是一个具有重要技术微妙之处的主题，我将最终刷新过去。严谨的参考是来自埃文斯的部分微分方程或0-2章节的第5章和第6章来自Brenner和Scott的有限元方法的数学理论。
作为我们寻求变分制剂的模型问题，我们将专注于一维泊松方程，其出现在静电，重力，扩散，热流和流体力学研究中。未知是在需要的间隔内的真实函数。在较高尺寸中，可以考虑具有例如嘴尖边界的任意域。我们假设在边界上等于零的Dirichlet边界条件。 6在较高尺寸上，一个在区域的边界上。然后，泊松的等式读取7件和更高的尺寸，Laplacian操作员在哪里。我们希望开发这种微分方程的变分形式，类似于我们如何开发前一部分中方程线性系统的变分制剂。为了发展我们的变分制剂，我们从物理学中获取灵感。如果代表，例如，在某种程度上的温度，我们绝不能准确衡量。相反，我们可以测量温度计的区域中的温度。无论我们如何仔细地设计我们的温度计，我们的温度计尖端将有一些占据空间区域的体积。通过我们的温度计测量的温度将是该区域的平均温度，或者更通常是加权平均值，其中在该区域以外的加权函数。现在让我们使用温度计“测量”我们的微分方程：
这种积分表达式是我们微分方程的某种变分形式，因为它是涉及对我们的微分方程的解决方案的方程，其必须保持每个平均函数。 （每种情况都将即将到来的精确含义。）它将使我们有利于我们使这种表达更加“对称”和。为此，我们将逐部分集成：8逐个集成在更高的尺寸上更加困难。我在更高维度中逐个零件整合的个人建议是要记住，部分零件的集成最终是产品规则的结果。因此，要通过部分集成，我们首先使用一些差分运算符的产品规则来编写涉及我们的集成和且两侧集成的表达式。在这种情况下，请注意。重新排列和整合，我们看到了。然后，我们将分歧定理应用于最后一个术语以获得，其中表示对边界的外观侧面，表示曲面上的集成。如果零是零，我们会在满足的所有功能上得出结论。
特别是，如果在边界上为零，那么第二两个术语会消失，我们留下了变分方程
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证明强迫性（财产（2））实际上需要非常特别的不平等，Poincaré的不平等。 17在较高的尺寸上，Poincaré的不平等仅占据域的常量表格。在它最简单的化身中，不等式表明存在恒定的状态，即对于所有功能，18普内德·不平等的简单证明与如下所示。请注意，通过微积分的基本定理。以来，应用Cauchy-Schwarz不等式。因此，所有整合到给予。这证明了Poincaré与常量的不平等。随着拖曳的这种不平等，财产（2）在另一个冗长的不等式之后遵循：19相同的估计持有更高的尺寸，具有普内加尔的不平等的适当概括。对于持有的财产（3），该功能必须是正方形的。有了这个假设，属性（3）比物业更容易（1-2），我们将其作为幸福读取器的练习（或脚注20，证明在一个维度或更高的尺寸上，所以我们说明对于简洁性的任意域名。通过Cauchy-Schwarz，我们有那个。对于不感兴趣的读者）。
这似乎是很多工作，但我们所取得的结果是令人惊叹的。我们已经证明（Modulo很多省略的细节），泊松方程具有独特的弱解决方案，只要广场可集成！ 21和在脚注中，我们已将此证明升级为存在于域上泊松方程的独特弱解的存在。关于这种证据的显着卓越的是，它使用了LAX-MILGRAM定理和一些不等式：没有关于泊松方程底层物理学的专业知识。通过LAX-Milgram的细节，介绍性帖子已经有点漫长的事件，但希望本讨论照亮了在研究微分方程中的功能分析工具（如LAX-MILGRAM）的力量。现在，用健康的理论剂量，让我们回到Galerkin近似值。