类别理论：订单

现在让我们谈谈订单。给定一组对象，可以有许多标准，基于哪个标准，依赖于它们自己的对象 - 大小，重量，年龄，按字母顺序等。

但是，作为数学家我们对我们可以使用的标准不感兴趣，以便订购对象，而是在定义订单的关系的性质中。其中也可能有几种类型。

在数学上，我们可以代表作为一组事情（例如彩球）和这些东西之间的二进制关系的命令（我们经常代表一堆箭头）。并非所有二进制关系都是订单 - 只适用于我们在查看不同类型的订单时要检查的某些标准的订单。

您考虑的最直接的顺序类型是线性顺序，即每个对象的位置取决于每个对象。在这种情况下，排序标准是完全确定的，并且在任何内容之前都没有用于模糊的空间。例如，通过波浪的长度（或通过它们出现在彩虹中的长度）来订购颜色。

在大多数编程语言中，我们可以通过提供给定两个对象的功能来线性地点线性地点开对象，告诉我们其中哪一个是“更大”（首先），哪一个是“更小”。

[1,3,2] .sort（（a，b）=＆gt; {if（a＆gt; b）{return true} else {return false}}）

但是为了使这种功能真正定义一个订单（例如，每次给出相同的输出，而独立于对象最初被播放的方式），它必须遵守几种规则。

顺便提及，（或者甚至不是偶然的），这些规则几乎相当于定义订单中元素之间关系的标准的数学规则，即这些规则是定义哪些元素可以指向哪个元素。让我们回顾一下。

让我们从途中获得最乏味的法律 - 每个对象必须更大或等于自身，或者a≤a（顺序中的元素之间的关系通常表示在公式中，但它也可以用a表示从第一个对象到第二个的简单箭头）。

除了应该以某种程度上涵盖“基本案例”，没有特别的原因。

我们也可以相反地制定它，并说每个对象都不应该与自己的关系，在这种情况下，我们将与比较大于或等于和略微不同类型的顺序的关系。称为严格的订单。

第二种法律可能是最不明显的，（但可能是最重要的） - 它指出，如果对象A比对象B大，则它比对象B或≤b和b≤c的所有对象自动大。 ➞a≤c。

这是一个大延伸的法律定义了命令是什么：如果我更好地踢足球比我的祖母更好，那么我也比祖母的朋友更好，否则我真的不会比她好。

第三种法律称为反对称，它指出定义命令的功能不应给出矛盾的结果（a≤b⟺b≰a）。

这也意味着没有允许联系 - 要么我比足球的祖母更好，或者她比我更好。

最后一个法律称为总体（或康纳奇），并且它要求属于订单的所有元素应该是可比的 - a≤b或b≤a。也就是说，对于任何两个元素，一个人总是比另一个元素“更大”。

顺便说一下，这项法律使重叠法冗余冗余，因为当A和B是一个和同一个物体时，它只是一个特殊情况的反射性，但我仍然想介绍它的原因很快就会变得明显。

您可能会说，这项法律并不像他们其余的那样是不言而喻的 - 如果您认为我们通常订购的不同类型的真实物体，您可能会想到某些情况下它不适用。例如，如果我们的目标是根据足球技能订购所有人，我们可以与朋友的朋友相比，我们可以将一个人与朋友的朋友等。但是没有办法订购从未玩过的人群另一个。

根据他们的足球技能，他们不遵循整个法律的人员的命令称为部分令，它们实际上比线性订单更有趣（顺便说一下，这也被称为总订单）。

任务：考虑一些您了解的订单，并弄清楚它们是否是部分或总数。

但在我们潜入部分订单的世界之前，让我们说出一些关于数字的事情。

自然数字在更大或等于的操作下形成线性顺序（我们在我们的公式中使用的符号）。

在许多方面，数字是典型顺序 - 每个有限的对象都是对数字顺序的子集的同义，因为我们可以将任何顺序的第一元素映射到数字1，第二个元素（我们也可以做出相反的操作）。

如果我们考虑一下，这种同构实际上更接近日常概念的订单，而不是正确的定义（法律定义的人） - 当大多数人都在想到的顺序时，他们不是在考虑传递，反对称和总体关系，但在考虑标准的情况下，他们可以决定哪个对象首先是第一次，这是第二个等。

从任何有限的物体有限阶的异构到自然数量，它还遵循相同幅度的所有线性令都是彼此的同性。

问题：如果所有订单都是彼此的同构，我们为什么说数字是典型订单？

因此，线性顺序是一个完美的顺序，但它也是（并且我认为这些定理证明了它）最无聊的命令，特别是当从类别 - 理论观点看 - 所有有限的线性订单都是自然数的同构（顺便说一下，大多数无限命令也是自然数字的同义，除了陈官的对角论者的应用程序之外，他们的所有图表都看起来相同。

但是，这不是必要的部分订单，我们将接下来进行部分订单。

与线性命令一样，部分订单包括一个集成的关系，唯一的差异，虽然它仍然遵守反身，及物体和反对手法律，但关系并没有遵守完整的规律，这并不是所有的设置元素必须订购。我说“必然”，因为即使所有元素都订购，部分顺序仍然是部分顺序（就像一个组仍然是一个单套筒） - 所有线性订单也是部分订单，但不是另一种方式（我们甚至可以创建订单的订单，基于哪个更普遍）。

如果我们重新审视足球运动员排名列表的示例，我们可以看到，我的祖母和她的朋友只包括自己的第一个版本是线性秩序。

但是，包括我们尚未播放的其他人，使得等级非线性。

这是部分和总订单之间的主要区别 - 部分订单不能为我们提供一个比世卫​​组织更好的问题的明确答案。但有时这就是我们所需要的 - 在体育和其他领域中，并不总是有适当的方式来利用人的线性评价。

之前，我们说所有线性订单都可以由相同的链式图表示，我们可以反转此语句并说明看起来与所述图表不同的图表代表部分订单（或预订）。这是一个例子是包含一堆线性有序的子集的部分顺序，例如，在我们的足球实例中，我们可以分开一起玩耍的单独朋友群体，彼此排名，但与其他群体的任何人都没有。

构成部分顺序的不同线性订单称为链条。该图中有两条链M¼g➞f和d o o.

订单中的链条不必彼此完全断开，因为它可以是部分的，只要连接不是一对一即可，就可以连接到一个链子的最后一个元素应该不连接到另一个的第一元素（因为这将有效地团结成一个链）。但是还有其他类型的连接，例如一对多和多对一。

上面的设置不是线性排序的 - 尽管连接建立了D和G（D≤G）之间的关系，但是，但是，所知的F和G之间的关系（F≤G），而D和F之间的关系不是已知。任何元素都可以比另一个元素大。

虽然POSETS不会给予我们最明确的答案，谁比世卫组织更好，但其中一些人仍然可以给我们一个更重要的问题（在体育，以及其他域名）的答案，即谁是第一名，谁是谁冠军，比其他任何人更好的球员，或者更多的是比任何其他元素更大的元素。

我们调用此类元素最大元素和一些（并非所有）部分订单确实有这样的元素 - 在我们的最后一个图中，m是最大元素，在此图中，绿色元素是最大的元素。

有时我们有多个元素比所有其他元素更大，在这种情况下，它们都不是最大的。

除了最大元素之外，部分顺序还可以具有最小（最小）元件，其以相同的方式定义。

作为订单的一部分连接的两个元素的最小上限称为这些元素的连接，例如：绿色元素是另外两个的连接。

可以有多于A和B的多个元素（B比C的所有元素也大于A和B），但其中一个是连接。正式地，A和B的连接被定义为大于A和B的最小元件C（即，其中a≤c，b≤c。

给定任何比另一个更大的两个元素（例如a≤b），连接是更大的元素（在这种情况下b）。 在完全有序的集合中，任何元素子集的连接都只是它们的最大元素。 与最大元素一样，如果两个元素有几个同样大的上限，那么它们都不是一个连接（连接必须是唯一的）。 但是，如果其中一个元素建立为比另一个元素大，则立即符合资格。 给定两个元素，比它们两个小的最大元素称为满足这些元素。 在本节中，我们使用所谓的“hassse图” - 它们与我们的平常图表有多如此，但它们具有额外的规则 - “更大”元素始终位于较小的规则上方。 在箭头方面，规则意味着如果将箭头添加到一个点，则箭头点必须始终高于其点的点。

这种安排允许我们通过看到哪一个比另一个在一起，比较任何两点。要发现两个元素的连接，您只需识别它们连接的那些，并查看哪一个最低。

我们都知道总订单的许多例子（任何形式的图表或排名是总秩序），但可能没有那么多的部分订单的明显例子，我们可以想到我们的头顶。让我们看看一些。除了提供一点背景外，这将有助于我们理解联合，了解为什么他们是重大的。

要保持符合我们的形式，让我们重新审视我们的色混合物，并创建一个颜色混合部分顺序，其中所有颜色都指向包含它们的颜色。

如果您经历过它，您会注意到任何两种颜色的连接都是它们化妆的颜色。很好，对吗？

当我们通过“更大或等于”订购数字时，它们形成了总订单（即使是总令）。但是数字也可以形成部分顺序，例如，如果我们通过划分的关系来命令它们，例如，如果是划分b，则a是b之前。因为2 * 5 = 10,2和5来到10之前（但是3，例如没有）。

并且它发生（实际上非​​常好的原因），加入操作再次对应于在对象的上下文中相关的操作 - 以这种部分顺序的两个数字的连接是它们最不常见的多个。

和两个数字的会面（与加入相反）是他们最大的普通除数。

给定包含包含给定元素组合的所有可能集合的集合（例如我们的彩球）......

我们可以定义所谓的那些集合顺序的内容，其中a之前是b，如果b包括b，或（使用正确的术语），如果b是a的子集。

请注意，包含顺序的连接操作是设置联合，并且与设置交叉点相遇操作。

此图可能会提醒您某事，因为如果我们将每个设置的颜色拍摄并将其混合成一种颜色，我们会得到我们之前看到的颜色混合的Poset。

具有数字分隔器的POSET示例也是包含顺序的同构 - 所有可能的素数集的包含顺序，包括重复的序列（或者所有主要功率的集合）。这是由算术的基本理论证实，这使得每位数量可以以恰好一种方式写入素数。

让我们详细介绍数字POSET和Prime包含顺序之间的同构。它由来自Prime包含顺序的一个函数组成，到数字POSET（在这种情况下只是乘以设置中的所有元素的乘法）和从数字POSET到PRIME包含顺序的一个功能（这是一个操作被称为数字的PRIME分解，组成（不出所料）查找当彼此乘以时导致该编号的素数（如我们所说，此集合是唯一的，因此这些功能确实包括同构构成同构）。

到目前为止，我们看到了两种不同的部分订单，一个基于颜色混合的部分订单，一个基于数字划分，可以由包含一些基本元素集的所有可能组合的包含订单来代表（第一种情况下的主要颜色，第二个）和素数（或主要权力））。可以以这种方式定义许多其他部分订单。哪些是一个由称为Birkhoff的表示定理的惊人结果回答的问题。它们是符合以下两个标准的部分订单：

所有元素都已加入和满足（顺便说一下，这些部分订单称为格子）

那些遇到和加入操作彼此分布，即x∈（y≠z）=（x∈Y）∧（x≠z）。

（只要注意到这个结果只是为了有限格证明，这可能对数字无限的数字可能无效。但它对它们的任何子集有效。）

我不会详细介绍这一结果，我只会提到我们可以构建包含顺序的“Prime”元素是不是任何其他元素的连接（因此，它们也被称为加入-Irreafucible元素）。

顺便说一下，不是分配格子的部分订单也是包含命令的同义，只是它们是包含不包含元素所有可能组合的命令的同性。

在上一节中，我们提到了哪些格子是 - 它们是POSETS，其中每两个元素都有一个连接和满足。因此，每个格子也是部分顺序，但不是每一个部分顺序都是格子（我们将看到更多的这个层次结构的成员）。根据某些规则创建的大多数部分订单，如前一节的某些规则，当它们完全绘制时也是格子，例如颜色混合POSET。

请注意，当绘制我们的色彩混合格子时，我们在顶部和底部的白色添加了黑球。我们这样做是这样的，因为否则前三个元素没有加入元素，底部三个不会见面。

我们的色彩混合晶格，具有最大元素（黑球）和最小元素（白色）。具有最小和最大元素的格子称为有限格子。它并不难看出所有有限格也是有界的。

格子是具有两个元素的连接和满足的POSETS。只需加入（而且没有见面）或者只是相遇，而且没有加入的文件称为半统一。更具体地，为每对元素满足的POSET称为HEAR-SEMILATTICE。

一种类似于半统一的结构（可能比它更有名）是树。

两者之间的差异很小但重要的：在一棵树中，每个元素可以有多个元素连接到它，但本身可以只连接到另一个元素。如果我们将树代表为包含顺序，则每个集合将“属于”仅在一个超级集中，而Memilartices则不会有这样的限制。

对两者之间的差异的良好直觉是，半统一能够代表更一般的关系，所以例如，母子关系形成一棵树（母亲可以有多个孩子，但一个孩子只能有一个母亲）但是“较旧的兄弟姐妹”关系形成一个格子，因为孩子可以拥有多个较大的兄弟姐妹和虎钳。

在克里斯托弗亚历山大的地面论文“一个城市不是一棵树”的地面论文中，检查了使用树木模拟所有东西的趋势。

在简单的结构中，树与坚持壁炉架上的烛台的强迫欲望相当，这对中心完全直观，完全对称。相比之下，半统一是复杂织物的结构;它是生物的结构，伟大的画作和交响乐。

有趣的部分订单是，我喜欢把他们留在一秒钟，所以我可以在一个古老的浪漫小说中回归他们。

首先，让我们覆盖一种更多的订单（或类似的东西）。

在上一节中，我们看到如何从（线性）令的法律中删除完整规律，产生不同的（和稍微有趣的）结构，称为部分秩序。现在让我们看看如果我们删除另一项法律，即反对称法律。如果您记得，反对称法律要求您不能拥有比另一个相同的对象。 （或者那个≤b⟺b≰a）。

这导致称为预订的东西，这不是完全是一个订单，因为我在开始时暗示 - 它可以让箭头从任何一个点到任何其他点：如果部分顺序可以用于模拟谁比在足球上的谁更好，然后，预订可用于模拟谁，谁直接（通过播放他）或间接地击败了谁。

预算只有一个法律 - 传递率a≤b和b≤c∈A≤c（如果我们计数反射性，则为两个）。关于间接胜利的部分是本法的结果。由于它，所有间接获胜（那些不直接赢得播放器的人，而是反对那些击败他们的人）被添加为其应用的直接结果，如这里所见（我们在轻轨上显示间接胜利）。

因此，所有“圆圈”的关系（例如，您有一个较弱的玩家击败一个更强的球员）会导致一堆对象全部相互连接。使用此效果，我们可以通过将箭头的所有对象彼此进行分组，然后从这些集合创建订单（顺便说一下，通过将所有对象进行分组，将预订量转换为部分顺序。

现在让我们看看

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