数学家解决了eRdős着色猜想

1972年秋季，Vance Faber是科罗拉多大学的新教授。当两位有影响力的数学家，保罗·埃尔德·斯和László洛伐克来访时，Faber决定举办茶话会。特别是埃尔德·埃尔德·埃尔（Erdōs）作为一个古怪和精力充沛的研究员，Bafer的同事们渴望见到他。

“虽然我们在那里，就像许多这些茶派对一样，Erdōs会坐在一个角落里，被他的粉丝包围，”Faber说。 “他常常讨论同时讨论，通常以多种不同的东西进行多种语言。”

Erdōs，faber和lovász重点是他们在超图上的谈话，是当时的图表理论中有希望的新想法。经过一些辩论，他们到达一个问题，后来被称为Erdős-Faber-Lovász猜想。它涉及在某些约束中彩色超图的边缘所需的最小颜色数。

“[它]是我们可以提出的最简单的事情，”Faber，现在是国防分析科学研究所的数学家。 “我们在聚会期间有点努力，说，”哦，我们明天会完成这个。“从来没有发生过。”

问题结果比预期更难。 Erdōs经常将其宣传为他的三个最喜欢的猜想之一，他为解决方案提供了奖励，因为数学家意识到困难，增加到500美元。这个问题在图形理论圈中是众所周知的，吸引了许多尝试解决它，其中没有一个成功。

但现在，近50年后，五位数学家团队终于证明了茶党的沉思。在1月份发布的预印文字中，它们对遮蔽某些超图的边缘来说，它们可能会限制可能需要的颜色数量，使得没有重叠的边缘具有相同的颜色。他们证明了颜色的数量永远不会大于超图中的顶点数量。

该方法涉及仔细地抛开图形的一些边缘和随机着色他人，研究人员近年来掌握了一些思想的组合，以解决一些长期的公开问题。当他们梦想出这个问题时，它就不可用了Erdōs，faber和lovász。但现在，盯着它的决议，这两个来自原来三重奏的数学家可以在挑衅的情况下对数学创新感到愉快。

“这是一项美丽的工作，”埃斯韦斯洛拉尼德大学洛伐克说。 “我真的很高兴看到这一进步。”

作为Erdős，Faber和Lovász啜饮茶和谈判数学，他们在他们的脑海里有一种新的图形结构。普通图是由被称为边缘链接的点，称为边角的点。每个边缘完全连接两个顶点。但是超图Erdős，Faber和Lovász被认为是不太限制性的：他们的边缘可以腐蚀任何数量的顶点。

这种更广泛的边缘的概念使得超图比他们的轮毂和辐条堂兄弟更通用。标准图表只能在社交网络中的两个朋友（其中每个人由顶点代表）上表达关系之间的关系。但要表达两个以上的人之间的关系 - 就像一个组合的共同成员资格 - 每个边缘都需要涵盖超过两个人，它的超图允许。

然而，这种多功能性以代价为止：对于普通图表来说，难以证明超图的通用特性更难。

“图表理论的许多奇迹消失或事物转向超图时变得更加困难，”IDC Herzliya和耶路撒冷希伯来大学的Gil Kalai表示。

例如，边缘着色问题与超图更加困难。在这些场景中，目标是为绘制图形（或超图）的所有边缘，使得在顶点上满足的两个边缘具有相同的颜色。这样做的最小颜色数被称为图形的色度索引。

Erdős-faber-lovász猜想是关于特定类型的超图形的着色问题，边缘重叠最小值。在这些结构中，称为线性超图，不允许两个边缘在多于一个顶点上重叠。猜想预测线性超图的色度索引永远不会超过其顶点数量。换句话说，如果线性超图具有九个顶点，它的边缘可以用不超过九种颜色着色，无论您如何画出它们。

Erdōs-faber-lovász猜想的极端普遍性使得它挑战了解。随着越来越多的顶点移动到超图，可以将循环边缘乘以乘以乘以乘以乘以的方式。通过所有这些可能性，它似乎有可能需要一些需要比顶点的颜色需要更多的颜色。

“有很多不同类型的超图，具有完全不同的口号，”Abhishek Methuku是新证明的作者之一，以及Dong-Yeap Kang，Tom Kelly，DanielaKühn和Deryk Osthus，所有大学伯明翰。 “这是令人惊讶的是，这是真的。”

证明这种令人惊讶的预测意味着面对几种类型的超图，这些超图尤其具有挑战性 - 并且建立没有更难的其他例子。

如果您在页面上涂鸦，并且您绘制了线性超图，其色度指数可能远远低于其顶点数量。但是有三种类型的极端超图来推动极限。

在第一个中，每个边沿只连接两个顶点。它通常被称为完整的图表，因为每对顶点都通过边缘连接。具有奇数顶点的完整图形具有Erdős-Faber-Lovász猜想允许的最大色度指数。