模型列车集的计算表达性：纸卷

更新（4月5日，2021年）：事实证明，Adam Chalcraft和Michael Greene已经证明了1994年的这篇帖子的基本结果（帽子提示了评论者Dylan）。回顾并不令人惊讶！

几周前，我的儿子丹尼尔有他的第四个生日。对于礼物，他有一辆电动火车。 （对于完整性 - 自列车集的细节，它对帖子叫做“Wesprex创建恐龙轨道”是相当重要的，但这不是广告，而且我没有为它带来反击。）

如您所见，该组的主要特征是Y形结，其具有可以控制列车进入的方向的襟翼。逻辑如下：

如果火车从Y的“底部”从Y，那么它将继续到左臂或右臂，取决于襟翼的位置。它留下了襟翼。

如果火车在Y的左臂或右臂沿着Y，那么它会继续到y的底部，如果它的方式推动襟翼。 （因此，如果火车永远恢复到从底部返回的这个y-junction，则没有通过临时交界处，它必须转到相同的手臂，左侧或右侧，从而从而降低。）

火车套装还配有桥梁和隧道;因此，没有限制平面性。最后，火车套装具有很少的小工具，可以扭转火车的方向，将其朝着它来自的方向发送：

然而，这些小工具似乎似乎尤为重要，因为如果我们可以通过y-connction与循环一起想要替换它们。

请注意，在每个Y结合时，襟翼的位置存储一点内部状态，并且列车可以在移动周围时“读取”和“写入”这些位。因此，自然出现的问题：这列车可以设置任何非竞争计算吗？如果有n y-connction，那么它可以通过exp（n）不同的状态来循环吗？如果我们让它运行指数时间，它甚至可以解决PSPACE完整的问题吗？ （对于类似模型的培训系统的一个非常不同的例子，正如它所表明，能够表达PSPace完整的问题，请参阅Erik Demaine等人的最新纸张。）

无论关于丹尼尔的火车集的答案如何，我立即在观看的事情上看，我必须在问题上写一个“纸卷”并在我的博客上发布它（不，我不会在期刊上造成这样的事情！） 。今天的帖子构成了我的第三个“纸卷”，就某人在现实生活中向我展示了我的一个离散动态系统的一般主题（例如，在儿童玩具或生物学中），其具有比一个人不得不期待的结构和规律性更多。我的第一个这样的纸卷于2014年，是20世纪60年代的玩具，称为Digi-Comp II;从2016年开始，我的第二个是通过重组酶作用的DNA字符串（OK，那个人与科学论文相关联，但我的组合分析不是纸的主要观点）。

无论如何，在达尼尔火车套装问题上度过了愉快的夜晚，我能够证明，唉，可能的行为非常有限（我归类他们所有人），远远缩短计算普遍性。

如果你觉得我浪费你的时间与琐事（或者如果你只是享受拼图），那么在阅读任何进一步之前，我鼓励你停下来试图为自己证明这一点！

定理：假设有限量的火车轨道。然后在线性的时间之后，列车将进入“钻孔无限环”-i.e。，吸引力状态，其中大多数两个翼片保持切换，并且其余的翼片固定到位。更详细地，吸引子必须采用四种形式中的一种：

I.一条线（两端的倒车小工具），II。一个简单的周期，iii。一个“棒棒糖”（有一个逆转小工具和一襟，一直保持切换），或IV。一个“哑铃”（有两个襟翼，不断转弯）。

仍然更详细地，列车有七种可能的拓扑轨迹，如下图所示。

在这里，红色路径代表着吸引器，其中火车在围绕和周围循环无限的时间，而蓝色路径表示“跑道”，火车在进入吸引子的路上花费有限的时间。假设每个学位-3顶点具有Y接合点，而假设每个学位-1个顶点具有反转的小工具，除非（在IIB中），列车在该顶点开始并永远不会返回它。

观察1：虽然Y-接线对应于3度的顶点，但没有4度或更高的顶点。这意味着，如果火车再次重新访问Vertex v（除了启动顶点以外），则必须有一些边缘E入射到V，它还在之后立即遍历第二次。

观察2：假设火车遍历一些边缘E，然后绕过一个简单的周期（意思是，没有边缘或顶点的含义，然后再次遍历E，第一次进入相同的方向。然后从那一点前，火车将永远持续到同样的简单周期。

观察证明2简而言之，如果有任何可能是火车的襟翼，因为它在围绕简单的周期继续围绕简单的循环，那么火车就已经将其推出了它第一次围绕周期，而且没有此后发生的情况可能会改变襟翼的位置。

使用上面的两个观察，让我们现在证明定理。让火车开始它将在哪里，并在追踪路径时遵循它。由于图形是有限的，在某些时候必须第二次遍历已经遍历的边缘。让E成为第一个这样的边缘。通过观察1，这也将是火车的第一次完全相交。然后有三种情况：

案例1：列车以与第一次相同的方向遍历E.通过观察2，火车现在永远被困在一个简单的循环之后。所以唯一的问题是火车在进入简单的周期之前可能做的事情。我们声称最多，它可能遍历一个简单的路径。因为否则，我们将e与e是火车在旅程中访问两次的第一个边缘的假设相矛盾。因此，轨迹必须在图中具有IIA类型，IIB或IIC。

案例2：遍历e后立即，火车击中逆转小工具，并再次遍历e。在这种情况下，火车将清​​楚地追溯其整个路径，然后继续超过其起点;问题是接下来会发生什么。如果它击中另一个反转小工具，则轨迹将在图中输入I类型。如果它进入一个简单的循环并留在其中，则轨迹将在图中具有类型IIB。如果，最后，它会产生一个简单的循环，然后退出循环，然后轨迹将在图中具有III型。在最后一个案例中，火车的轨迹将形成“棒棒糖”形状。请注意，棒棒糖的“棒”必须有一个y-chrition符合“糖果”（即简单的循环），y的玉米与棍子对齐（否则火车将继续围绕糖果周围）。从这里，我们推断出每次火车绕过糖果时，它都比以前的时间（顺时针或逆时针）这样做;每当它退出糖果时，火车就会切换Y-Junction的襟翼（尽管没有进入糖果）。

案例3：在向前方向遍历E之后的某个点（但不在之后），火车以相反的方向遍历E.在这种情况下，广泛的图片类似于案例2.到目前为止，火车已经使棒棒糖与连接杆连接到糖果（即循环）的棒子，y与棍子对齐的底座，而e在棍子的顶部。问题是接下来会发生什么。如果列车接下来击中逆转小工具，则轨迹将在图中具有III型。如果它进入新的简单周期，则从第一个周期脱离，而且永远不会离开它，轨迹将在图中具有类型IID。如果它进入一个新的简单周期，请从第一个周期脱离，并保留它，然后轨迹现在具有“哑铃”模式，在图中键入IV（也在第一个视频中示出）。只有另一个担心的情况：即，火车使一个与第一循环相交的新循环，形成“θ”（θ）形轨迹。在这种情况下，在新循环撞到旧循环的位置时必须有一个y接合点。现在，如果y的基础不是旧周期的一部分，那么火车永远不会让它一直在靠近旧周期（它会在这个y-离开旧循环交界处），矛盾。如果Y的基础是旧周期的一部分，那么襟翼必须最初设置为让火车在旧循环周围使其一直在使其全部;当火车然后重新进入旧周期时，必须移动襟翼，使火车再次永远不会让它再次围绕旧周期。所以现在火车被困在一个新的简单周期（用旧周期共享一些边缘），并且轨迹在图中有IIC型。

我们可能会奇怪：为什么这个模型列车集合能够实现普遍计算，或者，而不是任何速率，或者不是任何速率，或者没有任何速率，这些速率比反复切换一个或两个襟翼更有趣？我的答案可能听起来tautological：这只是y-connction的逻辑太有限。是的，襟翼可以被推开方式 - 这是每次这样的翻转发生的“位翻转” - 它有助于建立一个“凹槽”，其中火车只想永远持续到周围，而不是翻转任何额外的位，只有棒棒糖和哑铃结构的次要并发症处理。尽管我对定理的证据可能看起来像一个乏味的案例分析，但它将这作为其统一消息。

思考需要添加到列车集中的小工具，以使其计算到普遍，或者至少表达地富有富裕的情况，表达了Digi-Comp II，表达了一些非活动复杂性等级例如，如果我们有学位-4顶点，那么何时掉下来，那么有点旋转的小工具？或多个列车，可以与毫秒同步以控制它们如何通过襟翼互相互动，或者甚至可能碰撞彼此？我期待着在评论部分阅读您的想法！

出于真相：Quantum复杂性等级，Bosons采样，封闭时间般的曲线，黑洞和广告中的电路复杂性和ADS / CFT等。 - 所有这些主题都很棒，但相同的型号和问题确实发生了一段时间。我渴望获得我的研究议程，以挖掘前进，前进，进入新的计算领域。