Mathematician Disproves 80岁的代数猜想

2月22日，一位名叫Giles Gardam的博士数学家讨论了一个小小的网上谈论了一个单位猜想，这是一个基本但混乱的代数问题超过80年。他仔细制定了猜想和两个盟军猜想的历史，并解释了他们与称为K-理论的强大代数机械的联系。然后，在他的演讲的最后几分钟里，他送了踢球者。

“我几乎在谈话结束时，现在是时候告诉你新的时候了，”他说。 “我真的很高兴能够首次宣布今天，实际上单位猜想是假的。”

Gardam拒绝告诉观众，他如何找到长期追捧的监控范围（除了确认它涉及计算机搜索）。他告诉Quanta，他将在几个月内分享更多细节。但是现在，他说，“我仍然乐观，也许我有足够的技巧来获得更多结果。”

这个问题Pardam解决了一个问题，这是一个足够简单的问题，向高中生解释：在广泛的代数结构家庭中，哪些元素具有乘法反转？

乘法反转成对，如7和$乳胶\ frac {1} {7}，乘以1.但是单位猜想涉及乘法反转，而不是“组代数”中的元素，这是一个结构将数字系统（如真实数字或某些时钟式算术）与组（包括矩阵，对称转换和许多其他对象的集合）相结合。

在这样的结构中，数学家猜想了十多年前，只有最简单的元素可以具有乘法反转。 20世纪中间的研究人员使用了广泛的纸张和铅笔计算来梳理这些组代数，并以乘法的反转搜索更多复杂的元素，但它们既不能证明猜想也不能够转到一个反例。

几十年来，单位猜想和两个盟军猜想被“被视为绝望的东西”，牛津大学的道德基亚克说。但即使在许多数学家放弃了证明三个猜想之后，他们仍然“总是在某种程度上是在后面的背景下”的代数研究，非常感谢与K-理论的深层联系。

现在，Münster大学Gardam通过寻找异常的“单位” - 具有乘法反转的元素而使单位猜想驳斥 - 内部代数内置于特定三维晶体形状的对称性。南安普敦大学彼得克洛夫说，这是一项神话般的工作。

在加入Pardam的工作之前，在没有反例或全包的证据的情况下，数学家在特殊情况下建立了三个猜想（或一些下游后果）。这往往涉及点击强大但艰苦的k理论机械。 Gardam发现对单位猜想的反例是奇怪的放心，因为它表明真的需要这种艰苦的工作。

“在非常基本的核心，总有这个唠叨的问题：如果你只是有一个单位猜想的证据，那就不会让很多事情变得更容易？”他说。他说，猜想并不普遍，他说，意味着“我们所做的所有复杂的事情都避免找到单位猜想的证据仍然非常值得做。”

研究人员现在任务了解GITCLAM复杂单位背后的原则。 “这非常令人兴奋，”Kielak说。 “我们在这一刻，闸门打开了，现在一切都又有可能。”

该单位猜想借鉴了群体理论的广阔宇宙，研究了这侧有一些概念如何“乘以”两个要素来获得新的概念。只要乘法操作相当良好，才有两个额外的要求符合组：该组必须包含特殊元素（通常标记为“1”），当乘以它们时，它会使其他元素保持不变，每个元素G必须具有乘法反转（写入G -1），使得G次G -1等于1.（直到我们进入组代数的域，这将该组与系数数字系统相结合，该元素缺乏乘法反转，单位猜想发挥作用。）

群体的世界是巨大的：存在一组矩阵（数组数量）和对称转换组，用于跟踪形状内的孔数量的组或纸牌甲板的不同布置，以及所产生的组物理和加密和一系列其他领域。

在许多组中，只有一个有意义的算术运算。但矩阵不同：除了将它们乘以，还可以通过数系界添加它们或乘以矩阵。矩阵是了解线性对象和转换的关键，而且由于这种功率，数学家和物理学家通常通过找到将组元素作为矩阵表示组元素来实现对其他组的洞察。

大约一个世纪前，集团理论家开始询问：如果我们要将组的元素代表为矩阵，为什么不封装原始组结构内矩阵的一些特殊属性？特别是为什么不讨论添加组元素或将它们乘以一些数字系统的系数乘以吗？毕竟，如果a和b是两个组元素，则至少可以写下来写下$ a + 7 b或4 a 3 - 2a b 2。

这些总和在原始组方面往往没有意义 - 谈论一半的卡片布置的一半和七倍安排，它没有意义。但是，您可以在这些正式的总和上执行代数操纵。数学家称这些正式总和的集合是“组代数”和这种结构，这些结构在一起编织在一起，将[矩阵]在一个对象中的[矩阵]的信息一起包装在一起，“Gadamam写在电子邮件中。

在多种方式中，组代数中的元素类似于高中代数的熟悉多项式：表达式x 2 - 4 x + 5或3 x 3 y 5 + 2。但是有一个关键差异。如果您乘以两个多项式，则一些术语可能会取消，但最高指数的术语将始终在取消过程中生存。例如，（x-1）（x + 1）= x 2 + x - x - 1，虽然x和 - x术语互相取消，x 2术语存活（如-1），到产生x 2 - 1.但在组代数中，组元素之间的关系可能导致额外的，难以预测的取消。

例如，假设我们的小组是字母“A”的对称转换的集合该组只有两个元素：将每个点留下的转换（在我们的组中的“1”），以及中央垂直轴的反射（让我们调用此反射r）。反映两次恢复每个点到其原始位置，因此在我们的组乘法的语言中，R次r等于1.这种关系导致组代数中的各种意外结果 - 例如，如果你乘以r + 2 - R / 3 + 2/3，几乎一切都取消了，剩下的就是1：

（r + 2）（ - r / 3 + 2/3）= - r 2/3 + 2 r / 3 - 2 r / 3 + 4/3

1940年，一个名叫Graham Higman的代数在他的博士论文中达到了大胆的猜想：他提出的这一取消怪异的最奇怪，如果用于构造组代数的组包含一些功率等于1的元素，才会发生，与上面的例子一样。在所有其他组代数中，他假设，而具有单个术语的元素，如7a或8b，可以（并且做）具有乘法反转，而具有乘以r + 2或3 r-5 s这样的多个术语的总和永远不会有乘法反转。由于具有乘法反转的元素称为单位，因此Higman的假设被称为单位猜想。

在接下来的几十年里，20世纪的主要数学家之一欧文卡普兰人以及其他称为零除数和空缺猜测的其他猜想伴随着另外两组代数猜想;这三个被称为卡普兰斯基猜想。统称，三个猜想，该组代数与我们用于乘以数量或多项式的代数不太酰度差异。但虽然Kaplansky所谓的注意这些猜想，但Kielak说，他认为他相信他们没有特别的理由。

当时，有任何一种证据。如果有的话，有一种哲学的理由来怀疑猜想：正如Mathematician Mikhael Gromov所观察到的那样，群体的动物园是如此多样化，任何席卷，关于群体的普遍陈述几乎总是错误的，除非有一些明显的原因这应该是真的。

所以对于普尔兰克斯基推动单位猜想是“非常大胆”，Kielak说。他说，这是“意味着挑起别人提出聪明的例子”。

但是数学家不能拿出反例，而不是想要尝试。在没有一个反例的情况下，Kielak说：“你开始认为有一些更深入的事情 - 即我们错过了一些潜在的原则。”

在20世纪下半叶，为“更深的东西”似乎出现了：代数K-理论，一个庞大的大厦，使用难以计算的组不变，以各种数学学科联合成代数，这样作为拓扑和数字理论。例如，使用K-理论，研究人员能够将单位猜想与仅使用规定的移动将拓扑形状转换成另一个形状的问题。

研究人员能够表明某些功能强大但未经经过前进的k理论猜想将意味着零分配和幂等猜想，可能提出为什么他们可能是真实的深刻原因。但他们不能为单位猜想做同样的事情，这三个中最强的。波恩大学的WolfgangLück努力证明单位猜想从称为Farrell-Jones推测的K-理论猜想中遵循。 “我从来没有能够做出这个证据，”他说。 “我想知道我是愚蠢的。”

尽管如此，数学家能够通过表明这些团体有类似于多项式中最高指数的概念的财产来证明许多具体阶层的单位猜想。但研究人员还了解违反这一财产的少数群体，包括一个叫做Hantzsche-Wendt集团的简单。该组捕获形状物理学家的对称性被认为是宇宙形状的可能模型，并且通过将三维晶体的侧面粘在一起构建。与许多其他群体相比，这个是“非常不良的，”康奈尔大学蒂莫西莱利说。

Hantzsche-Wendt组似乎是一个富有成效的地方，用于搜索对单位猜想的反例。但是这样做是没有简单的任务：汉字舍 - Wendt组是无限的，所以即使在组代数中的短金额也有绝对的可能性。在2010年，一对数学家表明，如果这个组中有一个反例，那么这些总和中的最简单就会找到它。

现在Giveram已经在Hantzsche-Wendt组建造的一组代数中，在一组乘法中发出了一对乘法反转。找到该货币对需要复杂的计算机搜索，但验证他们真的是逆口处的人类计算领域。这只是一个乘以它们的问题，并检查产品中的441个术语简化到数字1.“一切崩溃，”克罗夫尔说。 “这太棒了。”

莱克现在知道为什么他从未能够证明Farrell-Jones猜想意味着单位猜想：Farrell-Jones猜想为Hantzsche-Wendt组是真的，但单位猜想是假的。 “现在我知道我不是傻瓜，”他说。

一旦加德拉姆释放了他的算法的细节，它将为其他数学家开放季节，以探索汉兹舍 - Wendt集团和潜在的其他群体。 “希望是我们将学到一些新的东西 - 这是一个新的技巧，允许我们建立一个例子，”Kielak说。

知道猜想是假的，已经改变了许多数学家的心态。 “心理上，这是一个非常重要的区别，”克莱克说。 “可能在一年的时间里，我们将拥有无限的”反例“。

Gardam的Condenerexample使用一个最简单的数字系统，因为它的系数是一个只有两个“小时”的时钟算术。所以一个立即问题是使用其他数字系统（如真实或复杂数字）是否存在对域。还有一些群体是否存在违反Kaplansky的其他两个猜想的问题。这样的发现会通过K-理论界发送颤抖，因为它会违背一些受试者的中央猜想。

对于Pardam来说，他的发现是渴望追捕代数中的迷人反例的历史节奏。他并不是由赏金猎人的心态引起的，他在电子邮件中解释 - 相反，他追逐弗里斯·奇怪的奇怪的反例可以给予。

“强大的理论有自己的美丽和优雅，但如果一切都僵硬，紧密控制和良好的表现，那么受试者会变得非常干燥，”他写道。 “令人惊讶的例子是使数学乐趣并保持奇怪和精彩的东西的重要组成部分。”