找到五个正整数，其互惠总和为1

$ \ begingroup $我很惊讶，老师会将这种问题分配给5年级的孩子。 （我是一个大学生导师）这个女孩去一个富裕的社区中的私立学校。

请避免微不足道$ x = y = z = a = b = 5 $。尝试查看一个解决方案，其中$ x \ neq y \ neq z \ neq a \ neq b $或if，查找一个变量等于另一个变量的一个解决方案，而是解释您的推理。这个女孩正在覆盖＆＃34;单位分数＆＃34;在她的班上。

$ \ endgroup $

20美元\ Begingroup $ 5 $ 5 $ -Tuple几乎是'对'！ $ \ endgroup $ - Brian M. Scott

$ \ begingroup $ $ x \ neq y \ neq z \ neq a \ neq b $与说$ x，y，z，a，$和$ b $都不一样。例如$ 1 \ neq 2 \ neq 1 \ neq 2 \ neq 1 $，但它们并不不同。 $ \ endgroup $ - 迈克尔阿尔巴尼人

$ \ Begingroup $ i Mourn＆＃39;如果一个明亮的第五年级学生提出了琐碎的x = y = z = a = a = a = b = 5。然后用＆＃34回答下一个问题;没有＆＃34 ;: x = y = z = a = 6，b = 3。这似乎可以为明亮的古代诉讼。 $ \ endgroup $ - Michael J Swart

$ \ begingroup $有没有原因为1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 1是一个不好的答案？特别是如果这是成绩学校数学。对于通用的五年级学生似乎这将是对分数的相当逻辑介绍。我认识你＆＃39;重新寻找＆＃39; x≠y≠z≠a≠b＆＃39;但是外面有些原因为什么？如上所述，这个问题并不是那种限制。 orcam和＃39; s剃须刀和所有的。 $ \ endgroup $ - Grauwulf.

$ \ begingroup $如果他们一直在做单位（或'埃及'）分数，我期待有些人看到自$ \ frac16 + \ frac13 = \ frac12 $，$$ \ frac16 + \ frac16 + \ frac16 + \ frac16 + \ frac13 = 1 $$是一个解决方案，但不是比微不足道的解决方案更有趣。字母的选择可能很好地提出解决方案

周围的一点播放会显示$ \ frac14 + \ frac15 = \ frac9 {20} $，它与$ \ frac12 $ by Just $ \ frac1 {20} $;产生解决方案

如果我是老师，我希望有些孩子们会意识到，由于分数的平均值是$ \ FRAC15 $，在任何非平凡的解决方案中，至少一个分母必须少于5美元，至少必须至少一个大于5美元。说$ x \ le y \ le z \ le a \ le b $。显然$ x \ ge 2 $，所以让我们试试$ x = 2 $。然后我们需要解决

$ \ endgroup $

15美元\ Begingroup $哦我的天堂布莱恩。你是怎么知道的？房间里有5个成年人，50分钟，但没有人像迈克尔或卡罗里斯一样接近！在房间里有一个女人谁有她的b.a。在着名大学的数学中，她无法用它来举起来。惊人。是否可以向您展示您的推理，或者是＆＃34;突破＆＃34;进入你的头......喜欢魔法？ $ \ endgroup $ - 低分分数

$ \ begingroup $ @lowscores：我立即意识到完美的数字如果它恰好有5美元的价格，那么完美的数字就会起作用。 $ 6 $太小，我知道下一个完美的数字是28美元，所以我试过它，它的工作。 $ \ endgroup $ - Brian M. Scott

$ \ begingroup $思想他的意思是基于上面的行的最后一词的1/3。 $ \ endgroup $ - 安东尼

$ \ begingroup $ yes答案是对这个问题的推理线最适合的，因为五年级可能会看到它。它＆＃39;大致相同的方法我在第一次看到它时使用了这个问题。 $ \ endgroup $ - 乔Z.

$ \ begingroup $您可以将其连接到几何形状。将正方形切成相等大小的碎片，然后拿一些这些碎片并将它们切成甚至更小的作品，直到你得到五件。例如

之后，你可以尝试一些不同大小的碎片，并有很大的机会获得这样的东西：

$ \ endgroup $

9 $ \ Begingroup $我认为这个解决方案是最令人印象深刻的，因为它似乎唯一一个即时和可靠地传达给几乎所有有无限量的解决方案的人。 $ \ endgroup $ - gmlime.

$ \ begingroup $ with with＆＃39; t不确定的解决方案。有147个，如joe zeng＆＃39;答案$ \ endgroup $ - 最大限度

$ \ begingroup $ @gmline这是一个＆＃39; t应该是一个枚举所有答案的方法或类似的方法;只是一种在视觉上接近它可能有助于一些孩子的方法。 $ \ endgroup $ - Mark Eichenlaub.

$ \ begingroup $一个很好的想法。切出单位圈的分数并将它们传递给班级以不同的方式加上在一起的方式会很好地工作！ $ \ endgroup $ - Joshua Shane Laberman

$ \ begingroup $这是天才。如果我是老师，我希望这种想法！ $ \ endgroup $ - avendt.

$ \ Begingroup $此解决方案可能太高级为第五年级，但您可以通过搜索所有可能的分数来进行算法进行算法进行算法。

它的主旨是使用贪婪的算法 - 以最大的分数开始，并继续迭代小分数，直到你可以＆＃39; t了。例如，$ \ DisplayStyle \ FRAC 1 2 + \ FRAC 1 3 + \ FRAC 1 7 + \ FRAC 1 {43} + \ FRAC 1 {1806} $将是您第一个找到的。下一个将是$ \ displaystyle \ frac 1 2 + \ frac 1 3 + \ frac 1 7 + \ frac 1 {44} + \ frac 1 {924} $，然后$ \ displaystyle \ frac 1 2 + \ frac 1 3 + \ FRAC 1 7 + \ FRAC 1 {45} + \ FRAC 1 {630} $，等等。

对于第一个数字，以$ \ DisplayStyle \ FRAC 12 $开头，最终将您的方式工作到$ \ DisplayStyle \ Frac15 $（这是最大的分数可以的最小，所以您可以在那里停止）。

从1中减去此分数，并使用其余部分确定接下来的几个数字将迭代的内容。

对于每个随后的分数，从小单位比小于＆＃34的单位分数;剩下的部分＆＃34; ＆＃39;左手和它之前的分数，并在大于$ \ displaystyle \ frac1n $ the＆＃34达到最小的单位分数，直到达到最小的单位分数;剩下的部分＆＃34;，你的分数是$ n $ th最后一部分，并如上所述，从＆＃34中减去单位分数;剩下的部分＆＃34;对于下一个分数使用。

一旦你有四个分数，如果和＃34;剩下的部分＆＃34;对于最后一部分可以表示为单位分数，您可以解决一个解决方案。否则，你不要＆＃39; t，继续向上。

此算法最终将返回所有可能的单位分数组合，从$ \ DisplayStyle \ FRAC 1 2 + \ FRAC 1 3 + \ FRAC 1 7 + \ FRAC 1 {43} + \ FRAC 1 {1806} $和以$结尾\ displaystyle \ frac 15 + \ frac 15 + \ frac 15 + \ frac 15 + \ frac 15 $。

http://joezeng.com/code/fractions/fractions.html $ \ leftarrow $这是所有分数的列表，使用一些递归JavaScript实现上面的算法动态生成。您可以在此处查看源代码，其中我有用于演示目的的MIT许可。

根据发电机，总共有147个级别的解决方案，以及＆＃34;最小独特的解决方案＆＃34;这样所有的分母都是不同的，它们的总和是最低的$ \ DisplayStyle \ FRAC 13 + \ FRAC 14 + \ FRAC 15 + \ FRAC 16 + \ FRAC 1 {20} $。还有另一个＆＃34;最小独特的解决方案＆＃34;这是最大的分母是最低的，这是$ \ displaystyle \ frac 12 + \ frac 14 + \ frac 1 {10} + \ frac 1 {12} + \ frac 1 {15} $。

您还可以使用发电机通过修改初始函数调用来使用6级（或2,3或4）而不是5的初始函数调用来生成任意尺寸的分数列表，以及为任意分数产生埃及分数扩展（通过修改前两个条款1,1是其他东西）。

$ \ endgroup $

15美元\ Begingroup $ Brian已经提出了最好的解决方案;我只是展示了更全面的，不太合适的。 $ \ endgroup $ - 乔Z.

$ \ begingroup $此外，这种解决方案将是一个带有b.a的一个女孩的利益。在数学谁＆＃39; t解决了它，如@lowscores在Brian＆＃39的一个评论中提到的。 $ \ endgroup $ - 乔Z.

$ \ Begingroup $六个术语，2320个解决方案，其中包括所有独特的术语（五个独特的72个解决方案）。有294326个解决方案，七个术语（245767独特）;最不解决的是3 4 9 10 12 15 18.超过七个i＆＃39; d想要一个聪明的搜索策略（宽度为小值是很好的）。 $ \ endgroup $ - 雷克斯卡尔

$ \ begingroup $＆＃34; Brian已经提出了最好的解决方案;我只是展示了一个更全面的，不合适的。＆＃34; +1用于对您的工作进行此迷人分析！ $ \ endgroup $ - 马克哈里森

$ \ Begingroup $我很高兴有人遇到了彻底分析！ $ \ endgroup $ - Brian M. Scott

$ \ begingroup $又是另一种方法将从$$ {1 \ over2} + {1 \ over3} + {1 \超过6} = 1 $$划分为两个，并在2 $超过2 $上添加1美元;这收益超过2} + {1 \超过4} + {1 \以上6} + {1 \超过12} = 1 $$再次，划分为两个并增加2美元超过2 $。这收益超过2} + {1 \超过4} + {1 \ Over8} + {1 \超过12} + {1 \以上24} = 1 $$

$ \ endgroup $

5 $ \ Begingroup $人可以通过类似简单的推理到达您的解决方案：从1/2 + 1/4 + 1/4开始，然后使用1/2 + 1/3 + 1/6分割1/4。 $ \ endgroup $ - 马里奥洛统计

$ \ begingroup $我也喜欢这种方法。值得注意的是，您的第一个等式是将递归函数应用于$$ {1 \ over3} + {2 \ over 3} = 1 $$ \ endgroup $ - David Kaczynski.

$ \ begingroup $$ 1 = {1 \ Over x_1} + {1 \ Over x_2} + \ cdots + {1 \ Over x_n}，\ \ \ 0 \ lt x_1 \ le x_2 \ lt x_1 \ le x_2 \ lt x_1 \ lex Le X_N $$作为$ N $的函数，在OEIS A002966，但只有少数条款：1,1,3,14,147,3462,294314,159330691 $。我不知道是否在该网站上制表了所有分母的解决方案数量。

$ \ endgroup $

4 $ \ begingroup $ a006585给出了不同的分母解决方案的数量，或$ n！$次，如果您可以重新排序$ \ endgroup $ - 亨利

$ \ begingroup $我认为它＆＃39; s少于$ n！$如果您仍然考虑$ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} $和$ \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2} $相同。 $ \ endgroup $ - asmeurer.

$ \ begingroup $ @asmeurer，亨利写了关于不同的分母解决方案，所以我不认为$（1/2）+（1/2）$是一个问题。 $ \ endgroup $ - Gerry Myerson.

$ \ begingroup $ a简单的c ++代码，用于找到第一个正100整数的A-B-C-X-Y对。

const double max_num = 100.0; const double epsilon = 0.00000000;双总和; for（double a = 1; a＆lt; = max_num; a ++）{for（double b = 1; b＆lt; b ++; b ++）{for（double c = 1; c＆lt; = b; c ++）{for（双x = 1; x＆lt; = c; x ++）{for（双y = 1; y＆lt; = x; y ++）{sum = 1.0 / a + 1.0 / b + 1.0 / c + 1.0 / x + 1.0 / y; if（abs（sum - 1.0）＆lt; epsilon）{std :: cout

5 5 5 5 5 6 6 6 4 46 6 6 6 38 8 4 4 48 8 6 4 38 8 8 8 29 9 9 3 3 9 9 9 6 2 10 5 5 4 410 6 5 5 3 10 10 10 5 212 6 4 4 4 12 6 6 4 312 8 8 3 312 8 8 6 212 12 4 4 312 12 6 3 312 12 6 6 212 12 12 4 214 7 7 7 215 5 5 5 3 315 10 4 4 315 10 6 3 315 10 6 6 215 1212 10 4 215 15 5 3 315 15 6 5 216 16 8 4 218 9 4 4 3 318 9 6 3 318 9 6 6 218 12 9 4 218 18 18 3 220 5 4 4 4 218 18 3 2 2其中5 4 4 4 20 6 5 4 3 2 20 8 5 2 20 10 10 4 2 20 12 5 3 320 12 6 5 220 20 5 5 220 20 15 3 221 7 7 3 321 7 7 6 221 21 14 3 224 8 4 4 324 8 6 3 324 8 6 6 224 12 8 4 224 16 16 3 224 24 4 3 324 24 6 4 224 24 12 3 228 14 7 4 228 21 4 3 328 21 6 4 228 21 12 3 230 10 5 3 330 10 6 5 230 15 5 230 15 15 15 3 230 15 15 323232 33 3333220 6 4 230 20 20 12 3 230 30 10 3 233 22 11 3 235 14 5 5 235 15 14 3 236 9 9 4 23 2 236 18 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 23 2 2 236 18 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 230 10 8 4 2 2 2 2 2 2 2 23 2 230 10 8 4 240 24 10 3 240 40 5 4 242 7 4 4 3 342 7 6 3 342 7 6 6 242 12 7 4 242 14 14 3 245 9 5 3 345 9 6 5 245 30 9 3 245 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 245 30 9 3 345 3 3 3 3 2 2 2 2 245 30 4 3 3 3 2 245 3 3 3 4 2 2 2 2 245 30 9 3 348 16 6 4 248 16 12 3 248 48 8 3 254 27 9 3 256 42 8 3 260 5 5 4 360 12 5 5 5 260 15 4 3 3 3 60 15 6 4 260 15 12 3 260 20 10 3 260 30 5 4 260 40 8 3 272 9 8 4 272 24 9 3 272 32 3 272 24 3 233 23 233 23 23 23 233 23 233 2333 2333 233 233333333 2333 233 233 233 2333 233 233 2333 233 2333333S 1433S 43 384 143 384 14 3 384 14 6 4 284 14 12 3 284 84 7 3 288 33 8 3 290 18 10 3 291 78 7 3 296 32 8 3 299 22 9 3 2100 25 5 4 2

$ \ endgroup $

8 $ \ Begingroup $此外，它赢得了＆＃39; t找到单位分数组合低于一定粒度，而有一种方法可以使用整数来完成问题。 $ \ endgroup $ - 乔Z.

$ \ begingroup $这就像一种算法，它将被用作不思考的一个糟糕的例子。 $ \ endgroup $ - 梅斯

$ \ begingroup $这不是编程社区。我在最短的时间内写了最简单的代码来以最少的努力在数值上以数字方式解决这个问题。我不在这个特殊情况下关心代码效率。 $ \ endgroup $ - HKBATTOUSAI.

$ \ begingroup $我的第一个对问题的反应是$ \ frac12 + \ frac14 + \ frac18 + \ frac1 {16} + \ frac1 {16} $。对不起，但它似乎太自然地需要解释，而且也不令人满意，因为并非所有的分母都不同。

然后其他答复提醒我和＃34; 5年级水平＆＃34;方程式$ 1 = \ FRAC12 + \ FRAC13 + \ FRAC16 $。

好吧，那么瞳孔可能会尝试使用相同的方程来除以三个分数中的一个，并意识到唯一一个提供不同的分母的人是$ \ frac16 $。

这是1美元/ 6 = \ FRAC {1/6} 2 + \ FRAC {1/6} 3 + \ FRAC {1/6} 6 = \ FRAC1 {12} + \ FRAC1 {18} + \ FRAC1 {36} $

从而构建解决方案$ 1 = \ FRAC12 + \ FRAC13 + \ FRAC1 {12} + \ FRAC1 {18} + \ FRAC1 {36} $

进一步思考它，我认为任何面对分数的人都会容易地同意简单的声明：$ 1 = \ frac1n + \ frac {n-1} n $。

将方程数用N-1 $，并排列不同将产生$ \ frac1 {n-1} = \ frac1n + \ frac1 {n（n-1）} $，其中$ \ frac12 = \ frac13 + \ frac16 $是一个特例。

一旦你有几个这些方程式拼写出来，就像：$$ \ frac12 = \ frac13 + \ frac16 $$$$ \ frac13 = \ frac14 + \ frac1 {12} $$$$$$ \ frac14 = \ frac15 + \ frac1 {20} $$$$ \ FRAC15 = \ FRAC16 + \ FRAC1 {30} $$

它应该是一个孩子＆＃39;游戏，以扩展$$ 1 = \ frac12 + \ frac14 + \ frac14 $$进入给定问题的解决方案。 您可能还希望以$ n = 2 $含有案例：$$ 1 = frac12 + \ FRAC12 $$，并以1美元的扩展开始。 $ \ endgroup $ $ \ begingroup $首先，没有上下文，没有办法讲述问题是否适合给定年级。 它没有似乎可能的，但随后也许他们在埃及代表的分数上做了一些工作，这足够接近，他们可能会想到它。 对我来说，这是我的第一个想法，我然后来到： 即使在那个提示中，关于唯一性的问题也不是微不足道的。 例如，您可以使用仅替换表达式的一部分： 但是我没有看到5年级学生可以做的，而不是试用和错误。 除此之外，我还有看看可以使用什么“典型的脚级”推理。 完美的数字似乎不可能。

$ \ endgroup $

2 $ \ begingroup $如果目标只是找到任何任意解决方案，如果有人从三号案例开始，问题应该是可解决的;它应该长时间找到1/2 + 1/3 + 1/6。从那里，人们可以尝试将1/6分解成两个部分是单位分数。自然的第一次努力是看什么左，如果一个凸起1/6到下一个较小的单位分数（1/7）。这结果留出1/42 - 一个单位分数（HORAY！）减去小于（1/43）的下一个单位分数，以离开1/1806。但是，我希望学生枚举解决方案。 $ \ endgroup $ - Supercat

$ \ begingroup $ @supercat：如果你分解了1/6 in＆＃39;＆＃39;＆＃39;三＆＃39;＆＃39;单位分数的零件，那么你得到了你需要的五个分数。看到我的其他答案。根据我的说法，对于五年级的学生来说很容易。 $ \ endgroup $ - 马里奥洛统计

$ \ begingroup $请避免琐碎$ x = y = z = a = a = 5 $。尝试查看一个解决方案，其中$ x y y z≠a≠b $或如果没有，请查找一个可变等于另一个变量的位置，但解释您的推理。这个女孩正在覆盖＆＃34;单位分数＆＃34;在她的班上。

这是在家庭作业问题的要求吗？证明有多个解决问题的最简单方法是为问题找到多个解决方案，即使附加解决方案是微不足道的。任何任意数量的单位分数的起点，其总和为$ 1 $，也可以组合成其他单位分数是一个非常有效的起点。

案例分数：我建议通过分裂分数，具有一些特殊知识来产生独特价值的特殊知识来解决这一点。 $ 1 = 1/2 + 1/2 $。现在我们需要三个分数，并区分我们的两个。我们通过持续分裂来实现这一目标，并巧妙地了解黄金因素。

例如，如果分母中的一个数字被2美元和3美元可分开，那么您可以将两个或三个单位分数组合，并且在减少到最低条件时，您将获得新的单位分数。 $ 6 $是最简单的例子; $ 1/6 + 1/6 = 1/3 $和$ 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 $。这对我们有用：$ 1/6 + 1/3 = 1/2 $，所以$ 1/6 + 1/3 + 1/2 = 1 $。现在我们只需要两个更独特的分数。好吧，让＆＃39;分裂了最大的分数，1/2美元，进入更多的碎片比我们以前的尝试更多。如果我们将其分成12个单位，其中每一个将是1/24美元。 $ 2/24 = 1/12,3 / 24 = 1/8 $，6/24美元= 1/4 $。我们还可以将4美元和8美元结合起来，但这两者生产的分数为1/6美元，我们已经拥有了1美元/ 3美元。现在，通过Serenipity（或不），1 + 2 + 3 + 6 = 12美元。这将给予1/24美元+ 1/12 + 1/8 + 1/4 = 1/2 $。我们需要的五个中的四个和1美元的四分之一，而且可以通过重新制作$ 1/3 $和1/6 $来生产的1美元/ 2美元（整体的剩余部分）。 $ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24 = 1 $，因此$ \ {2,4,8,12,24 \} $是一个有效的解决方案。

这将推广到以下陈述：找到五个数字，$ j，k，m，n $和$ p $，这是任意$ z $的所有因素，以及$ z $。然后$ 1 / x = j / z $，$ 1 / y = k / z $，等等。

在这种情况下尝试的良好z值为100美元，这将分数变为简单的整数百分比。 $ 100 $以下主要分解：$ 2 ^ 2 * 5 ^ 2 $。这些因素的每个独特组合，加上100美元的普遍因子，是100美元的尺寸，因此我们需要的5美元的5美元的可能值。有8美元的8美元，不包括100美元; $ 1,2,4,5,10,20,25 $和50美元。我们现在可以应用价值分裂的变化;在此集合中查找数字将总和在集合中的其他数字。 $ 100 = 50 + 50 $。 $ 50 = 25 + 25美元。 $ 25 = 20 + 5 $，5美元= 4 + 1 $。将这些身份放在一起，$ 1 + 4 + 20 + 25 + 50 = 100 $。除以100美元的价格将所有内容除以$ 100 $并找到最低术语，可提供1美元/ 100 + 1/25 + 1/5 + 1/4 + 1/2 = 1 $，因此$ \ {2,4,5,25,100 \} $是另一个有效的解决方案。

几乎任何数字超过1美元以上的$ 4 $或更多因素，并且本身就是候选Z价值。它有助于在上面的例子中显示出一些额外的因素;一个只有4美元的唯一因素的数字，例如$ 20 $ $（2,4,5,10）$，不太可能让这些因素全额到原始号码（在这种情况下，这四种因素的总和为21美元$;关闭但没有雪茄）。它还有助于如果数量的主要分解（用于第五年级的抓住概念，具有乘法，分割和腰带下的乘积）包括一个以上的主要因素;这允许您进行＆＃34;除以一个，然后乘以另一个＆＃34;诀窍是产生独特的分母。

这个问题的多个但不是无限的，总解决方案;所涉及的数字自然受到两个条件的约束;使用自然数，并且仅允许这些自然数的互换（除了1以外的分子）。其他答案已经经验发现了所有可能的答案。

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $有很多方法可以获得许多解决方案。这是获得解决方案的一种系统方法。

首先看一下一类解决方案，这样$ x \ leq y \ leq z \ leq a \ leq b \ leq 10 $（其他解决方案可以作为这些）获得）。

这意味着2美元\ leq x \ leq 5 $。 所以现在以$ x = 2 $开头。 现在这意味着3美元\ Leq Y \ Leq 8 $。 选择$ y = 3 $。 Thi. ......