放牧山羊问题

如果你曾经采取过数学考验，那么你可能会遇到一个吃草山羊。通常它与一些谷仓的围栏或一边绑在一起，留下了一个缺席的农民，以便在它可以到达的任何草地上吃草。当您遇到放牧山羊时，您的工作是计算它可以放弃的区域的总面积。这是一个数学测试，毕竟。

数学教师通过粘在奇怪的田野中的山羊占据了数百年的山羊，但是一个特殊的放牧山羊问题已经得到了数学家的山羊了一个多世纪。直到去年他们只能找到问题的近似答案，并且采取了一种新的方法，具有一些非常高级的数学来最终生产精确的解决方案。让我们来看看你在数学测试中可能发现的问题如何变成一个半个世纪的数学家的问题。

最简单的放牧山羊问题通过固定长度的绳子附着在长谷仓的一侧。

通常在这些问题中，我们想要找到山羊可以访问的区域区域。该地区的样子是什么样的？

用皮带拉紧绷紧，山羊可以制作半圆，可以达到它的内部。圆的区域是=πr2，所以半圆面积是a = $乳胶\ frac {1} {2} $πr2.如果是，例如绳索有长度为4，那么山羊可能会吃草在一个区域A = $ LATEX \ FRAC {1} {2} $π×4 2 =8π平方单元。

这种直接的设置对数学学生或山羊来说并不大部挑战，所以让我们更有趣。如果山羊绑在一块方形谷仓的一侧，怎么办？

让我们说绳子和谷仓的一侧都有长度4，并且绳索连接到一侧的中间。山羊现在可以访问的地区的地区是什么？

嗯，山羊仍然可以访问与第一个问题相同的半圆。

但山羊也可以在谷仓的拐角处继续。一旦它在拐角处，山羊还有两个单位的绳索与之合作，所以它可以在谷仓的两侧扫除另一个半径2的圆圈。

山羊可以进入半径4加上半径的半圆形半径2，对于= $乳胶\ frac {1} {2} $π×4 2 + $乳胶\ frac {1} {4} $π×2 2 + $乳胶\ frac {1} {4} $π×2 2 =10π平方单元。

通过改变障碍物的形状，您可以更具挑战性的问题。我看到山羊附着在三角形，六边形，甚至是凹形的形状。

您还可以通过逆转旧的数学问题来从旧的数学问题中进行：而不是以绳索长度开始，找到该区域，您可以从该区域开始，找到绳索长度。

例如，让我们坚持我们的方形谷仓并提出一个新问题：绳子必须用于山羊可以获得共有50个平方的区域的多长时间？逆转数学问题可以呼吸新的生活成为一个古老的想法，但它也使这个问题变得更具挑战性。

首先，注意区域的形状取决于绳索的长度。例如，如果绳索长于2个单位长度，则山羊无法绕过谷仓的角落，所以该区域只能是半圆形。

如果绳索超过2个单位，山羊可以在上面看到的山羊可以绕过角落。

如果绳子超过6个单位，山羊可以落后于谷仓，创造另一组季度圆圈要考虑。 （如果绳索变长，则会重叠。有关此示例，请参阅列末尾的练习。）

我们想找到绳索长度，为我们提供50个平方单元的总面积。以数学方式执行此操作的方法是将我们的区域公式设置为等于50并解决R.但是各种区域都有一个不同的区域配方。我们使用哪一个？

弄清楚这一点需要一个小案。如果r≤2区域的区域是a = $ laTex \ frac {1} {2} $πr2.当r = 2时，最大的区域会产生= $乳胶\ frac {1的总面积{2} $π×2 2 =2π≈6.28。这小于50，所以我们知道我们需要超过2个单位的绳索。

如果2＆lt; r≤6，这给了我们半圆加上我们之前遇到的两个季度圆圈。半圆的半径是R，四分之一圆圈的半径是R - 2，因为需要两个绳索到达角落，无论何种绳索都仍然像在拐角处的四分之一圆的半径一样。

这个半圆的面积是$ laTex \ frac {1} {2} $πr2，每个季度圈子的面积为$ laTex \ frac {1} {4} $π（R - 2）2。添加它给我们一个总面积

$ laTex \ begin {senugented} a＆amp; = \ frac {1} {2} \ pi r ^ {2} + \ frac {1} {4} \ pi（r-2）^ {2} + \ frac {1 } {4} \ pi（r-2）^ {2} \\ [1pt] \\ a＆amp; = \ frac {1} {2} \ pi r ^ {2} + \ frac {1} {2} \ PI（R-2）^ {2}。\结束{对齐} $

当r = 6时，我们得到最大可能的区域，它给出了一个= $ laTex \ frac {1} {2} $π×6 2 + $乳胶\ frac {1} {2} $π×4 2 = 26π≈81.68方形单位。自50份＆lt; 26π，这意味着将给我们50个面积为50平方单元的R必须小于6。

知道r必须在2到6个单位之间解决我们应该使用的区域公式的问题：当2＆lt; r≤6，该区域是a = $ latex \ frac {1} {2} $πr2 + $ jatex \ frac {1} {2} $π（r - 2）2。找到它的确切值为我们提供50个方形的区域，我们设置了这个等式：

请注意，这是另一种方式，我们的逆转问题比原件更复杂：而不是仅计算山羊可以达到的区域，我们需要解决一个方程来弄清楚绳索的长度。为此，我们需要孤立r。我们必须使用算术和代数来自身在方程的一侧获得r，并将告诉我们r必须是什么。

我们的等式起初可能有点令人生畏，但它只是r中的二次方程。有一个标准的过程来解决这些等式：我们以2 + BR + C = 0格式重新排列它，然后使用二次公式。一点代数和算术是伎俩。

这可能不是世界上最美丽的数学表达，但它只是一个二次方程式，所以我们可以应用二次公式来完全解决r。这给了我们一个答案

因为我们能够在我们的等式中孤立R，所以我们现在确切地知道绳索必须达到50平方英尺的区域。 （请注意，我们发现的r的值正如预期的那样2和6之间。）

与这种逆转的山羊放牧问题一样挑战与我们看过的初始问题相比，数学家发现当你在谷仓内爬山时，问题变得更具挑战性。事实上，具有挑战性，他们无法完全解决它。

让我们用侧长4把山羊放入我们的方形谷仓内，并将绳索连接到墙的中间。绳子需要多长时间才能获得山羊可以进入谷仓内的一半区域？

如上所述，部分挑战是该区域的形状取决于R的值。为了获得广场的一半面积，我们需要r长于谷仓的一半而且比全面短，这给了我们这样的地区。

找到该地区区域的公式并不是那么容易。我们可以想象该地区作为半径r加上两个右三角形的一个扇区，然后使用一些高中几何进行公式。但正如我们很快看到的那样，圈子和三角形的混合会导致一些麻烦。

让我们从三角形开始。毕达哥兰定理告诉我们，每个右三角形中缺失腿的长度是$ laTex \ sqrt {r ^ {2} -4} $。这使得一个三角形$乳胶\ frac {1} {2} $×2×$乳胶\ sqrt {r ^ {2} - 4} $ = $ latex \ sqrt {r ^ {2} - 4 $，所以两个三角形一起有一个面积2 $乳胶\ sqrt {r ^ {2} -4} $。

扇区的区域是A = $ LaTex \ FRAC {1} {2} R ^ {2} $θ，其中θ是中心角度的度量（在弧度，而不是度数）中。我们需要r的区域的公式，因此我们需要以r表示角度θ。为此，我们将利用余弦定律，从高中三角学习过多的定理。

将余弦定律应用于侧面R，R和4的等腰三角形给我们

分离θ，我们需要采用等式的两侧的逆余弦或arccosine。这给了我们

现在我们在r方面有角度θ，所以我们现在可以以单独的r和r表示我们的部门区域。

我们的最终区域配方是部门区域的总和和两个三角形的面积，即

我们现在有一个公式的区域，该区域的区域可以完全掌握山羊内部的山羊。现在我们只需要找到r的值，它为山羊获得了一半广场。整个广场有16个区域，所以我们所要做的就是将A = 8插入我们的方程并解决R，我们将完成。

只有一个小问题：在这个方程式中无法解决R.

也就是说，在这个方程中无法完全解决R。我们可以使用计算器近似于使得该等式的R的值（R≈.2.331），但我们不能在我们的等式中隔离r。在我们方程中的三角函数和多项式功能的混合会产生我们无法绕过的障碍。

我们可以尝试从Arccosine函数内部获得R的R，但要这样做，我们必须在余弦功能内放置另一个r。无论我们如何处理一个涉及超越函数的等式，如指数或三角函数。在通常的代数操作中不能简单地表达超函数，如加法和乘法，因此通常无法解决一般的超越方程。

这个问题位于19世纪19世纪的着名山羊问题的核心，其中山羊被放在圆形谷仓里面。与我们的方形谷仓问题一样，目标是确定绳索必须获得山羊的绳索多长时间。

山羊可进入的区域采用“镜头” - 两个堆叠在一起的圆形段。

可以使用高中几何形状在绳索长度r方面找到该镜头的区域，但配方比广场更复杂。当你将这个等于圆形谷仓的半个区域时，你遇到了同样的问题，我们跑进了广场内：你只是不能隔离r。您可以近似它，但您无法确切地解决R.

这种顽强在等式中没有比山羊在山羊的困境中的吸引力。超过100年来，数学家试图找到这个山羊内拼图的精确解决方案，但直到去年德国数学家终于想到了它。他使用了复杂的分析 - 数学远离圆圈的几何形状，而平方米依靠大多数山羊问题 - 明确解决r。在使用像轮廓上的轮廓一样使用的东西，以找到山羊皮带的长度可能看起来像矫枉过正，但总是在做之前不能完成的事情。这些新方法始终有可能避免研究山羊的愚蠢问题，可能会导致稗子洞察力。

1.如果山羊用一根长度4的侧长度4，在谷仓外，山羊的侧长4个，那么山羊可以访问的区域的区域是什么？

2.如果山羊用侧长4个长度为8的方形谷仓的角落连接到谷仓外，谷仓外的区域，山羊可以访问的区域是什么？

3.假设山羊在连接到顶点的侧面4的等边三角形内部。绳子必须为山羊有多长时间进入三角形的一半？

4.如果山羊用侧长度4的方向4的方形谷仓的侧面的中间，谷仓外的绳索，山羊可以进入的区域的区域是什么？

该区域由半径8的半圆形，半径6的两个季度圆，并且半径的半径2。由于8等于谷仓的周边的一半，谷仓后面的两个半圆形在中点相遇。该地区的区域是$ LaTex \ FRAC {1} {2} $Π×8 2 + $乳胶\ FRAC {1} {2} $π×6 2 + $乳胶\ FRAC {1} {2} $π ×2 2 =52π。

该区域由四分之三的半径8和半径4的两个季度组成。

这个区域是$乳胶\ frac {3} {4} $π×8 2 + $乳胶\ frac {1} {2} $π×4 2 =56π。作为一个挑战，思考绳子长度10的情况发生了什么。

由于等边三角形的角度为60度，因此山羊可以访问的区域是半径R圆的第六个，其具有区域$ LaTex \ FRAC {1} {6} $πR2。

等边三角形的面积是$ LATEX \ FRAC {\ SQRT {3}} {4} $ S 2，因此侧长度4的三角形区域为$ LATEX \ FRAC {\ SQRT {3}} {4} $×4 2 = 4 $乳胶{\ sqrt {3}} $。我们设置了平等的两个区域，$ laTex \ frac {1} {6} $Πr2= $乳胶\ frac {1} {2} $×4 $ latex {\ sqrt {3}} $，并解决r到获取r = $乳胶\ sqrt {\ frac {12 \ sqrt {3}} {\ pi}} $。请注意，我们如何在此处完全解决R，而不是当区域混合圆形部门和三角形时。

该区域显然由半径10的半圆形组成，半径8的两个季度圆圈，以及半径的两个季度圆圈4.这具有$乳胶\ frac {1} {2} $π×10 2 + $乳胶区域\ frac {1} {2} $π×8 2 + $乳胶\ frac {1} {2} $π×4 2 =90π。但是最后两个季度圆圈在谷仓后面重叠。重叠已经计算了两次，因此我们需要减去从90π的重叠区域。重叠的区域可以被认为是半径的第六个圆圈的六个圆形，侧面的平等三角形。这个区域的面积来自2×$乳胶\ frac {1} {6} $π×4 2 - $乳胶\ frac {\ sqrt {3}} {4} $×4 2 = $乳胶\ frac {16} {3} $Π - 4 $乳胶{\ sqrt {3}} $。因此，总面积为90π - $乳胶\左（\ FRAC {16} {3} \ PI-4 \ SQRT {3} \右）$ = $乳胶\ FRAC {254} {3} $π+ 4 $乳胶{\ sqrt {3}} $。 （注意：如果两个圆圈有不同的半径，则这个重叠将更加困难，这就是找到上述镜头区域的原因如此困难。）