不，pi是错的：tau宣言

Tau Manifesto专用于数学中最重要的数字之一，也许是最重要的：圆常数将圆圈的圆周与其线性尺寸相关联。对于千年来，圆圈被认为是最完美的形状，圆圈常数在一个数字中捕获圆圈的几何形状。当然，圆圈常量的传统选择是\（\ pi \） - 但是，随着Mathematician Bob Palais注意到他令人愉快的文章“\（\ pi \）是错误的！”，1 \（\ pi \）是错误的。是时候让事情正确设置。

我们首先通过首先了解臭名昭着的数字本身来修复\（\ pi \）造成的损害。圆常数集的传统定义\（\ pi \）（pi）等于圆周（长度）与其直径（宽度）的比率（宽度）：2

数字\（\ pi \）具有许多非凡的属性 - 以及其他事情，它是非理性的，实际上的超越 - 它在数学公式中的存在是普遍的。

很明显，在事实上不正确的意义上，\（\ pi \）并不“错误”;数字\（\ pi \）是完全定义的，它具有通常归因于Mathemationians的所有属性。当我们说“\（\ pi \）是错误的”时，我们的意思是\（\ pi \）是圆常数的令人困惑和不自然的选择。特别地，圆形被定义为固定距离，半径，从给定点，中心（图1）的一组。虽然具有恒定宽度（图2）的无限多种形状，但是3只有一个具有恒定半径的形状。这表明圆常数的更自然的定义可能会使用\（r \）代替\（d \）：

因为圆的直径是其半径的两倍，所以该数字是数值等于\（2 \ Pi \）。喜欢\（\ pi \），它是超越的，因此不合理的，并且（因为我们在第2节中看到的）其在数学中的使用是类似的普遍存在。

在“\（\ pi \）是错误的！”，Bob Palais有利于围绕这两个定义的第二个定义，并且在我看来，他应该为识别这个问题并将其带到广泛的受众中。他称之为真正的圆圈常量“一圈”，他还引入了一个新的符号来表示它（图3）。正如我们所看到的那样，描述是假期的，但不幸的是符号相当奇怪，并且（如第4节所述）似乎不太可能获得广泛的采用。 （更新：这确实证明是这种情况，而Palais本人已成为这一宣言中的论据的强大支持者。）

Tau宣言致力于主题，即对“\（\ pi \）是错误的正确回应”是“不，真的。”真正的圆圈持续值得一个正确的名称。正如你现在所猜到的那样，Tau宣言提出这个名字应该是希腊信\（\ Tau \）（TAU）：

在整个宣言的剩余部分中，我们会看到数字\（\ tau \）是正确的选择，我们将通过使用（第2节和第3节）和直接论证（第4节）来显示字母\（ \ tau \）也是一个自然的选择。

在继续演示之前\（\ tau \）是圈子常数的自然选择，让我们首先承认我们的反对，因为有一个强大的阴谋，几个世纪的老年，决心传播促进\（\ pi \） 宣传。整本书是编写\（\ pi \）的优点。 （我的意思是，书籍！）和非理性的奉献，甚至以最高级别的Geekdom传播;例如，在“PI日”2010年上，谷歌将其徽标更改为荣誉\（\ pi \）（图4）。

与此同时，有些人记住数十个，数百个，甚至是这个神秘的数字的数千位。什么样的悲伤大袋记住\（\ pi \）的40位数（图5）？ 4.

真的，\（\ tau \）的支持者面临着强大的对手。然而，我们有一个强大的盟友 - 为了真相就在我们身边。

我们在第1.1节中看到了数字\（\ tau \）也可以写成\（2 \ pi \）。如上所述，“\（\ pi \）是错误的！”，因此很兴趣地兴趣发现在整个数学中具有惊人的频率的组合\（2 \ pi \）。例如，考虑在极地坐标中的所有空间上的积分：

\（\ theta \）集成的上限始终是\（2 \ pi \）。相同的因素出现在高斯（普通）分布的定义中，

\ [\ begin {split} \ zeta（2n）＆amp; = \ sum_ {k = 1} ^ \ idty \ frac {1} {k ^ {2n}} \\＆amp; = \ frac {| b_ {2n} |} {2（2n）！} \，（2 \ pi）^ {2n}，\ qquad n = 1,2,3，\ ldots \ neg {split} \]

这些公式不是樱桃挑选的裂缝打开你最喜欢的物理或数学文本，并自己尝试。还有更多的例子，结论很清楚：关于\（2 \ pi \）有一些特别的东西。

要到达这个神秘的底部，我们必须通过考虑圆圈的性质，特别是角度的性质来返回第一个原则。虽然这种材料很可能是熟悉的，但是重新审视它，因为这是对\（\ Tau \）的真实理解开始。

圆圈和角度之间存在紧密关系，如图6所示。由于图6中的同心圆具有不同的半径，因此图中的线条切断了不同长度的弧（或电弧长度），但角度\（\ θ\）（θ）在每种情况下都是一样的。换句话说，角度的大小不依赖于用于定义弧的圆的半径。角度测量的主要任务是创建一个捕获此半径不变性的系统。

也许最具基本的角度系统是度数，将圆圈分成360个相等的部分。该系统的一个结果是图7所示的特殊角度（三角学生熟悉）。

更基本的角度测量系统涉及使用半径\（R \）直接比较弧长\（s \）。虽然图6中的长度不同，但电弧长度与半径成比例地增大，因此在每种情况下，弧长与半径的比率相同：

此定义具有RADIUS Invariance的所需属性，并且由于\（s \）和\（r \）有长度的单位，弧度通过构造无量纲。弧度角度测量的使用导致整个数学的简洁和优雅的公式;例如，\（\ SIN \ THETA \）的常规公式仅在\（\ THETA \）在Radians中表示：

当然，图7中的特殊角度可以在弧度中表达，当你采取高中三角学习时，您可能会记住图8所示的特殊值。（我称这种测量系统\（\ pi \） - radians强调它们是以\（\ pi \）编写的。）

现在，片刻的反射表明所谓的“特殊”角度只是一个完整圆圈的特别简单的合理分数，如图9所示。这表明重新审视方面。 （4），根据完整圆周的分数\（c \），即（c = f c \）重写弧长\（s \）：

请注意自然\（\ tau \）脱离此分析。如果你是\（\ pi \）的信徒，我担心所得特殊角度的图表（图10）会使你的信仰撼动它的核心。

虽然有许多其他参数\（\ tau）的青睐，但图10可能是最引人注目的。我们还从图10看来，Bob Palais的天才“圆圈的识别恒定为”一圈“：\（\ tau \）是圆圈的弧度角度测量。此外，请注意，与\（\ tau \）有什么无法记忆：转弯的第十二是\（\ tau / 12 \），转弯的第八是\（\ tau / 8 \），等等。使用\（\ tau \）通过将概念清晰度与弧度的所有具体益处相结合，使我们最好的两个世界。说，\（\ tau / 12 \）的抽象意义显而易见，但它也是一个数字：

\ [\ begin {split} \ mbox {转弯的十二} = \ frac {\ tau} {12}＆amp; \左右\ frac {6.283185} {12} \\＆amp; = 0.5235988。\结束{split} \]

最后，通过将图8与图10进行比较，我们看到\（2 \ pi \）的讨厌的因素来自：圆圈的一圈是\（1 \ tau \），但是\（2 \ pi \）。数值上是平等的，但概念上它们是完全不同的。

从使用\（\ pi \）引起的不必要的因素自身令人讨厌，但更严重的是他们在除以任何偶数时取消的倾向。诸如四分之一转弯的半\（\ pi \）的荒谬结果掩盖了角度测量和圆常数之间的底层关系。对于那些认为它是“无论我们不重要的人，无论我们使用\（\ pi \）或\（\ tau \），我只需通过眼睛查看图8，图9和图10一个孩子。您将看到，从初学者的角度来看，使用\（\ pi \）而不是\（\ tau \）是一个教学灾难。

虽然弧度角度测量为真实圆的常量提供了一些最引人注目的参数，但值得比较其他环境中的\（\ pi \）和\（\ tau \）的优点。我们首先考虑重要的小学函数\（\ sin \ theta \）和\（\ cos \ theta）。被称为“圆函数”，因为它们给出了单位圆上的点的坐标（即，具有半径\（1 \）的圆圈），正弦和余弦是三角学的基本功能（图11）。

让我们来检查圆圈功能的图形，以更好地了解他们的行为。 6您将注意到图12和图13中，两个函数都是周期性的，周期\（t \）。如图12所示，正弦函数\（\ SIN \ THETA \）以零启动，在四分之一时段达到最大值，在半个时段通过零，达到句点的四分之三，并返回一个完整的时间后到零。同时，余弦函数\（\ cos \ theta \）以最大值开始，在半个时段内最小，并且在一季度和四分之三的时间内通过零（图13）。出于参考，两个图都显示了每个特殊点的\（\ theta \）（在弧度中）的值。

当然，由于正弦和余弦都在圈子的一圈期间经过一个完整的周期，所以我们有\（t = tau \）;即，圆函数具有等于圆常数的周期。结果，“特殊”值\（\ theta \）是完全自然的：四分之一时期是\（\ tau / 4 \），半期是\（\ tau / 2 \）等。事实上，在制作图12时，我发现自己发现自己想知道正弦函数零的\（\ theta \）的数值。由于零在半个句点之后发生零，并且由于\（\ tau \约6.28 \），因此快速的心理计算导致以下结果：

那是对的：我惊讶地发现我已经忘记了“\ tau / 2 \”有时被称为“\（\ pi \）”。也许这甚至刚刚发生在你身上。欢迎来到我的世界。

我将在这个宣言中保留不解决欧拉的身份，有时被称为“数学中最美丽的等式”。这种身份涉及复杂的指数，其深度连接到圆形功能和圆周本身的几何形状。

根据所选择的路线，可以证明以下等式作为定理或作为定义;无论哪种方式，它都是非常显着的：

被称为欧拉的公式（在Leonhard Euler之后），该等式将一个指数与虚构参数涉及到圆函数正弦和余弦以及虚构的单位\（i \）。虽然证明欧拉的公式超出了这一宣言的范围，但它的出处是高于怀疑的，其重要性超出了争议。

几何上，乘以\（e ^ {i \ theta} \）对应于在复杂平面中的角度\（\ theta \）旋转复数，这表明Euler的身份的第二个解释：

由于数量\（1 \）是乘法标识，因此\（e ^ {i \ tau} = 1 \）的几何含义是通过一圈旋转复杂平面中的点，只需将其返回到其原始位置。

如在弧度角度测量的情况下，我们看到关联在\（\ tau \）之间的自然和圆圈的一圈。实际上，用“一圈”的识别\（\ tau \）使欧拉的身份听起来几乎像是正的。 8.

当然，以\（\ pi \）而不是\（\ tau \）来编写传统的欧拉身份形式。要推导出来，我们首先评估euler的公式，\（\ theta = \ pi \），它会产生

但那个负牌标志是如此丑陋。 （7）几乎总是立即重新排列，给出以下“美丽”等式：

在这一点上，公开员通常会制定一些关于均衡的宏伟声明。 （8）涉及\（0 \），\（1 \），\（e \），\（i \），\（\ pi \） - 有时称为“数学中五个最重要的数字”。

在这方面，这是令人瞩目的人们抱怨这方面的意思。 （6）只有四个五个。美好的：

eq。 （9）在没有重新排列的情况下，实际上确实在数学中的五个最重要的数字相关：\（0 \），\（1 \），\（e \），\（i \）和\（\ tau \）中最重要的数字。 9.

由于您可以在任何等式中添加零，因此在EQ中引入\（0 \）。 （9）是一个稍微舌头的奇齿舌头对应点到\（e ^ {i \ pi} + 1 = 0 \），但身份\（e ^ {i \ pi} = -1 \）确实有更多严重的点。让我们看看在\（\ tau \）方面重写它时会发生什么：

几何上，这表明旋转半转的旋转与\（-1 \）的乘数相同。实际上是这种情况：在\（\ tau / 2 \）弧度的旋转下，复数\（z = a + ib \）映射到\（-a - ib \），实际上只是\（-1 \ cdot z \）。

以\（\ tau \）编写，我们看到欧拉身份的“原始”形式（eq。（7））具有透明的几何意义，即在\（\ pi \）方面写入时缺乏。 （当然，\（e ^ {i \ pi} = -1 \）可以解释为\（\ pi \）radians的旋转，但近乎通用重排形成\（e ^ {i \ pi} + 1 = 0 \）显示如何分散来自身份的自然几何含义的分散注意力。）四分之一角度标识具有类似的几何解释：评估EQ。 （5）在\（\ tau / 4 \）上给出\（e ^ {i \ tau / 4} = i \），这表明复杂平面中的四分之一转弯与乘法相同，（i \） ;同样，\（e ^ {i \ cdot（3 \ tau / 4）} = -i \）表示，四分之三的转弯与\（-i \）的乘法相同。这些结果的摘要，我们将在表1中出现在表1中呼叫欧拉尼亚身份。

我们可以通过注意到，对于任何角度\（\ theta \），\（e ^ {i \ theta} \）可以解释为位于复杂平面中的单位圆圈上的点来进一步地进行该分析。由于复杂平面与数字部分的水平轴和虚部的横轴识别，因此欧拉的公式告诉我们，\（e ^ {i \ theta} \）对应于坐标\（（\ cos \ θ，\ sin \ theta）\）。将图10中的“特殊”角度的值插入EQ。 （5）然后给出表2中所示的点，并在复杂的平面中绘制这些点的结果图14.与图10的图14的比较快速消除了圆形恒定选择的任何疑问，更好地揭示了欧拉公式之间的关系圆圈的几何形状。

如果你把这里抵达，就像一个\（\ pi \）信徒一样，你现在必须质疑你的信仰。 \（\ tau \）是如此自然，它的意思是如此透明 - 是没有像\（\ pi \）在所有辐射荣耀中闪耀的例子？记忆搅拌 - 是的，存在这样的公式 - 它是圆形区域的公式！看哪：

不，等待。该区域配方始终以半径编写，如下：

我们在这里看到（\ pi \），未经用的数学中最重要的方程式 - 首先由Archimedes本人证明的公式。订单恢复！然而，本节的名称听起来不祥......如果这个等式是\（\ pi \）的荣耀，那么它也是如何成为Coup deGrâce？

让我们检查这个\（\ pi \），\（a = \ pi r ^ 2 \）的paragon。我们注意到它涉及直径 - 否，等待，升高到第二个电源。这使它成为一个简单的二次形式。这种形式出现在许多背景下;作为物理学家，我最喜欢的例子来自基本物理课程。我们现在依次考虑几个。

伽利略伽利略发现，落入均匀引力场的物体的速度与下降的时间成比例：

由于速度是位置的导数，因此我们可以通过集成计算下降的距离：10

Robert Hooke发现拉伸弹簧所需的外力与拉伸的距离成比例：

然后，弹簧中的潜在能量等于由外力完成的工作：

运动的能量或动能，等于加速质量速度的总工作（V \）：

\ [\ begin {split} k = \ int f \，dx = \ int ma \，dx＆amp; = \ int m \ frac {dv} {dt} \，dx \\＆amp; = \ int m \ frac {dx} {dt} \，dv \\＆amp; = \ int_0 ^ v mv \，dv \\＆amp; = \ textstyle {\ frac {1} {2}} mv ^ 2。\结束{split} \]

在物理学中看到了几种简单的二次形式的例子，您现在可以在返回圆圈的几何形状时具有预感的感觉。这种感觉是合理的。

如图15所示，可以通过将圆形的区域分解成长度\（c \）和宽度\（dr \）的圆环来计算，其中每个环的区域是\（c \，dr \ ）：

\ [a = \ int da = \ int_0 ^ r c \，dr = \ int_0 ^ r \ tau \，r \，dr = textstyle {\ frac {1} {2}} \ tau \，r ^ 2。 \

如果您仍然是一个\（\ pi \）Partisan在本节开始时，您的头现已爆炸。因为我们看到即使在这种情况下，那么\（\ pi \）所谓的闪耀，实际上存在缺失的因子\（2 \）。实际上，Archimedes的原始证明表明圈子的面积是\（\ pi r ^ 2 \），但它等于具有基本\（c \）和高度的右三角形的区域（r \）。将公式应用于三角区然后给出

我们在这个宣言中阐述了\（\ tau \）是真正的圆常数。由于循环区域的公式只是关于最后一个，最好的论据，即\（\ pi \）所在的最佳论点，我将在这里出门，说：q.e.d.

尽管\（\ tau \）的优越性的明确示范，但是许多人反对它，无论是符号还是正常。在本节中，我们解决了接受价值而不是信的人的担忧。然后，我们反驳汇编的许多参数，包括\（c / r \）本身，包括所谓的“pi宣言”，这些“pi宣言”捍卫\（\ pi \）的首要地位。在此上下文中，我们将讨论一个相当高级的卷（第5.1节）的卷，这增加了圆形区域的第3节中的参数。

任何符号的真实测试都是使用;在整个宣言中使用了（\ tau \），您可能已经确信它良好的角色。但是对于一个常数作为\（\ tau \）的根本，对于我们选择的更深层次的原因将是很好的。为什么不\（\ alpha \），例如，或\（\ omega \）？什么是如此伟大的\（\ tau \）？

使用\（\ tau \）的主要原因是圆常数。 第一个是\（\ tau \）视觉上类似于\（\ pi \）：经过几个世纪的使用，\（\ pi \）与圆常数的关联是不可避免的，并且使用\（\ tau \）源 这个关联而不是战斗它。 （确实，Hori ......