数学家使用同源性来拓扑意义

起初，拓扑似乎是数学的异常不精确的分支。这是对能够弯曲，拉伸和压缩而无限制的挤压的游戏面团形状的研究。但拓扑师确实有一些限制：他们无法在形状内创造或摧毁孔。 （这是一个古老的笑话，拓扑师不能讲述咖啡杯和甜甜圈之间的区别，因为它们都有一个洞。）虽然这可能看起来像是代数严谨的哭声，一个称为同源性的强大想法有助于数学家连接这两个世界。

“洞”这个词在日常演讲中有许多含义 - 泡沫，橡皮筋和碗都有不同种类的孔。数学家对检测特定类型的孔有兴趣，可以描述为封闭和空心的空间。一维孔看起来像橡皮筋。形成橡皮筋的Quiggly系列是关闭的（与松散的绳子不同）和空心（与一分钱的周边不同）。

扩展这个逻辑，一个二维孔看起来像一个空心球。数学家的种类正在寻找 - 封闭和空心 - 在篮球中找到，但不是碗或保龄球。

但是数学在严格的情况下，在这种方式思考洞的同时可能有助于将我们的直觉指向橡皮筋和篮球，而是足够精确，以资格作为数学定义。例如，它没有明确描述较高维度的孔，并且您无法编程计算机以区分闭合和空洞的空间。

密歇根州立大学Jose Perea说：“一个洞的定义没有很好的定义。”

所以相反，同源性来自边界的对象的漏洞，更精确的数学概念。为了研究对象中的漏洞，数学家只需要有关其界限的信息。

形状的边界是其周边上的点的集合，并且形状的边界总是比形状本身低的尺寸。例如，一维线段的边界包括在任一端的两个点。 （点被认为是零维度。）实心三角形的边界是空心三角形，其由一维边缘组成。类似地，固体金字塔被中空金字塔界定。

如果将两个线段粘在一起，则它们会遇到的边界点消失。边界点就像悬崖的边缘 - 它们接近掉线掉线。但是，当您连接行时，边缘上的点现在安全地在中心。另外，两条线具有四个总边界点，但是当它们被粘在一起时，所得到的形状仅具有两个边界点。

如果可以附加第三边缘并关闭结构，创建一个空心三角形，则边界点完全消失。元件边缘的每个边界点与另一个边缘取消，并且空心三角形留下没有边界。因此，只要行列系列形成循环，边界取消。

循环圈回自身，附上中央区域。但是，如果中央区域是空心的，则循环仅形成一个孔，与橡皮筋一样。在纸上绘制的圆圈形成一个循环，但它不是一个洞，因为该中心填充了。围绕固体区域的环 - 非孔类 - 是该二维区域的边界。

因此，孔有两个重要的严谨特征。首先，一个孔没有边界，因为它形成封闭的形状。第二，一个洞不是别的边界，因为孔本身必须是空心的。

该定义可以扩展到更高的维度。二维实体三角形由三个边缘界定。如果将多个三角形连接在一起，则一些边界边缘消失。当四个三角形布置成金字塔时，每个边缘与另一个边缘取消。所以金字塔的墙壁没有边界。如果该金字塔是空心的 - 也就是说，它不是三维固体块的边界 - 然后形成二维孔。

为了在特定拓扑形状内找到所有类型的孔，数学家建造了一个称为链复合物的东西，这形成了同源性的脚手架。

许多拓扑形状可以通过胶合在一起不同尺寸的碎片来构建。链复合物是一种图，其给出了形状的装配说明。这些形状的各个片段由维度分组，然后分层排列：第一级包含所有点，下一个级别包含所有行，等等。 （还有一个空的Zeroth水平，它只是作为基础。）每个级别通过箭头连接到它下面的一个，这表明它们是如何粘在一起的。例如，固体三角形链接到形成其边界的三个边缘。

数学家从其链式复合物中提取形状的同源性，它提供有关形状的组成部分及其边界的结构化数据 - 确切地说是在每个维度中描述漏洞。当您使用链式复合物时，找到10维孔和一维孔的过程几乎相同（除了一个比另一个更难想象）。

同源性的定义足够僵化，计算机可以使用它来查找和计数孔，这有助于建立数学中通常需要的严格。它还允许研究人员使用同源性越来越流行的追求：分析数据。

那是因为数据可以被视为漂浮在空间中的点。这些数据点可以代表物理对象的位置，例如传感器，或者在抽象空间中的位置，例如食物偏好的描述，附近有附近的点表示具有类似口感的人。

要从数据中形成形状，数学家在相邻点之间绘制线条。当三个点靠近时，它们被填充以形成一个坚实的三角形。当较大数量的点聚集在一起时，它们形成更复杂和更高的尺寸形状。填写数据点给出纹理和卷 - 它从点创建图像。

同源性翻译了这个含糊的形状的世界，进入了代数的严格世界，这是研究特殊数值结构和对称的数学分支。数学家研究了称为同源代数的领域中这些代数结构的性质。从代数到他们间接学习有关数据原始拓扑形式的信息。同源性来自许多品种，所有这些都是与代数连接的。

“同源性是熟悉的建筑。 “马萨诸塞州理工学院Maggie Miller说，我们已经了解了很多关于它的代数。”

同源性提供的信息甚至占数据的不精确：如果数据稍微偏移，则孔的数量应保持不变。当处理大量数据时，孔可以揭示重要的特征。例如，时变数据中的循环可以指示周期性。其他尺寸的孔可以在数据中显示群集和空隙。

“宾夕法尼亚大学罗伯特·霍尔斯说：”有一个真正的动力是具有强大的方法，并释放了定性特征。“ “这就是同源物给你的。”