“不要哭，阿尔弗雷德！我需要所有的勇气二十年来死！“
我们都记得evariste galois的最后一句话给他的兄弟阿尔弗雷德。较鲜为人知的是他最后一封信中包含的数学结果，写给他的朋友奥古斯特·乔达尔，在他的致命决斗前夕。在这里最后的句子：
您将祈祷公开雅各（Jacobi或Gauss）在真理上给出他们的意见，而是对定理的重要性。之后，我希望，找到他们利润解码所有这一切的人。我和你吻你。 E. Galois，5月29日，1832年5月29日
本函中包含的主要结果涉及Groups $ l_2（p）= psl_2（\ mathbb {f} _p）$，即2美元的2美元\ times 2 $ 2 $矩阵，其具有相同的决定因子$ \ mathbb {f} _p $ modulo它的中心。每当$ P \ GEQ $ 5，已知$ L_2（P）$简单。 Galois写道，每当$ P＆GT时，$ L_2（P）$不能在少于$ P + 1 $符号上具有非琐碎的置换表示。 11美元并表示三个'特殊'案例$ p = $ 5.7.11中确实$ p $符号上的递奏置换表示。
让$ \ alpha = \ begin {bmatrix} 1＆amp; 1 \\ 0＆amp; 1 \结束{bmatrix} $和考虑$ p = $ 5.7,11，在$ \ mathbb {p} ^ 1 _ {\ mathbb {f} _p} = mathbb {f} _p \ cup {\ infty} $（在$ L_2（P）$通过Moebius转换行为）
（事实上，Galois使用了以下参与$〜（0，\ infty）（1.2）（3.6）（4.8）（5.10）$ P = $ 11），然后$ l_2（p）$不变设置由$ p $兼容$ \ pi = {\ alpha ^ { - i} \ pi_p \ alpha ^ i〜：〜1 \ leq i \ leq p} $。提及这些戈洛只是作家之后：
因此，对于$ p = $ 5.7.11，模块化方程落到了程度p。在所有严峻的严格中，更多学生都无法实现这种减少。
或者，可以从组同构推出这些置换表示表示。 AS $ L_2（5）\ SIMEQ A_5 $，5个符号的交替组，$ L_2（5）$明确地在5个符号上过境行动。 同样，对于$ p = 7 $我们有$ l_2（7）\ simeq l_3（2）$，因此该组织在两个元素$ \ mathbb {p} ^ 2 _ {\ mathbb上的投影飞机上的自动形态 {f} _2} $ aka fano平面，如左侧所示。 这种有限的投影飞机有7个点和7行，$ L_3（2）$交通运转。 对于$ p = 11 $，几何对象有点涉及。 $ \ mathbb {f} _ {11} $中的一组非正方形 如果我们使用$ \ MATHBB {F} _ {11} $ 1中使用附加结构转换此设置，请获得以下11个五元素集 $ {1,3,4,5,9}，{2,4,5,6,10}，{3,5,6,7,11}，{1,4,6,7,8}，{ 2,5,7,8,9}，{3,6,8,9,10}，$ $ {4,7,9,10,11}，{1,5,8,111}，{1,2,6,9,11}，{1,2,3,7,10}，{ 2,3,4,8,11} $
如果我们认为这些集合为“行”，我们认为两个不同的线条在完全2点处相交，并且任何两个不同的点都在恰好两个“线”上。也就是说，交叉点在所有对不同的“线路的所有成对的不同点和55元件集”的55元件组之间的底射。这被称为双向几何形状。
$ s_ {11} $的子组（在$ \ mathbb {f} _ {f _ {11} $）稳定这套11个5元件集中正准确于1美元l_2（11）$给出排列11对象上的表示。
伽罗尼亚州的替代声明是，以美元为价; 11美元没有循环子组的$ l_2（p）$的子组
$ c_p = {\ begin {bmatrix} 1＆amp; x \\ 0＆amp; 1 \结束{bmatrix}〜：〜x \ in \ mathbb {f} _p} $
也就是说，没有亚组，例如定制 - 理论上$ l_2（p）= f \ times c_p $（注意事项是courese不是组产品，所有元素都可以编写为$ g = fc $ f \在f，c \中以c_p $。
但是，在三个特殊情况下，我们确实有互补的子组。事实上，在理论上设置了我们
$ l_2（5）= a_4 \ times c_5 \ qquad l_2（7）= s_4 \ times c_7 \ qquad l_2（11）= a_5 \ times c_ {11} $
这是一个真正令人惊讶的事实，即三个群体出现的是三个柏拉图组织！
回想一下，这里有5种柏拉图（或苏格兰）固体在旋转 - 自动形态组：四面体（A _4 $），多维数据集和八面体（组，S_4 $）和十二年章（集团） $ a_5 $）。立方体中的“4”是四个身体对角线，十二锭中的“5”是五个铭刻的立方体。
也就是说，我们的三个“特殊”Galois-Groups对应于三个柏拉图组，这反过来对应于三个特殊的Lie代数$ E_6，E_7，E_8 $ Via Mckay对应（WRT。他们的2折盖）。也许我会详细介绍后一个连接的另一个时间。似乎似乎惊喜经常进入三元组......
最后，众所周知，$ L_2（5）\ SIMEQ A_5 $是ICOSAHEDRON（或十二锭）的自动形式组，而且$ L_2（7）$是Klein公园的自动形式组。
所以，一个人可能会问：还有一个与第三组$ l_2（11）$的漂亮曲线连接吗？谣言使这确实如此，所涉及的曲线有70 ...（待持续）。