一个醉酒的男人会找到回家的路，但是一只醉酒的鸟可能永远迷失。
我们在本节中的目标是证明上述声明。如果您的概率生锈（或不存在）此评论可能很有用。我们首先描述数学上的醉汉的行为。概念上，随机步行是它听起来的那样。我们的醉汉开始于A＆＃34;家庭＆＃34;顶点，0，然后在随机的邻近顶点上选择走向下一个顶点。我们让x（n）表示在时间n的步行者位置。当x（n）= x（0）时，醉汉返回主页。经常我们可以准确计算沃克在n个步骤中返回家庭的概率，并且我们表示这种返回的概率作为q（n）。由于我们的步行者被允许回溯他们的步骤，我们总是有那个Q（2n）＆gt; 0，所以这个概率可以＆＃39; t是Kakutani教授所指的。在我们继续有另一个重要事实之前提到。如果助行器或鸟正在在有限的图形上移动，那么就没有人才能迷失;根本没有足够的地方去。
尝试提出一个图形的图形，其中所有自然数为q（2n + 1）= 0 n。同样提出Q（2n + 1）＆gt的图表。 0对于所有足够大的自然数。这些属性取决于沃克的起始顶点吗？
这里的关键是鸟可能永远迷路，那是鸟只能回家一些有限的次数。在最后回归后，鸟儿然后熄灭永远不会再返回。我们希望掌握这种情况的概率。为简单的符号，我们将假设这只鸟永远不会回家。唐＆＃39;这是困扰的;自从鸟类＆＃39;过去的步骤＆＃39; t影响了他未来的步骤，超越了他目前的位置，我们可以想象他在最后一班航班之前返回家里（偶数0）。出于更多技术比我们想要进入的原因，无数次始终发生或从未发生过。这意味着，如果你能够在有限的时间内跑整个散步，每次你都会在实验中，你会在这种行为方面得到相同的结果。如果助行器总是回归，我们说他是经常性的，否则他是短暂的。幸运的是检查复发的直接标准：如果是这种情况，助行器是复发的。否则助行器是瞬态的。您应该将这款项视为沃克回家的预期次数。出于我们的目的，我们将显示Q（2n）大约是n -r，但是一些正面r。如果R＆GT; 1总和是有限的，因此助行器是瞬态的;否则它是无限的，沃克是反复发作的。
继续在充满普遍的讨论会变得凌乱，所以从现在开始我们＆＃39; ll谈论具体图表。我们＆＃39; LL从我们的醉汉开始，在一个非常大的（无限），但无聊的城镇：这只是整数的一维数线，z.家里是0.在每一步，我们的步行者将翻转一枚公平的硬币。在头上，他向右移动到左边。为了形式化这一点，我们谈到过渡概率，步行者的P（U，V），在一步中从V转到u。如果我们想谈谈N步骤的过渡概率，我们就会写入p n（v）。注意Q（n）= p n（0,0）。
记下上面步行的一步转换概率。为了避免制作一个非常长的列表，您可能希望考虑P（i，j），其中我和j是任意整数。
在组合方面尝试在z上找到Q（2n）的通用公式。它可能有助于考虑其中的长度为2n的可能路径，并且在什么条件下，在最后一步中的路径返回到原点。完成此操作后，使用斯特林＆＃39;近似值以获得Q（2n）的估计。
将最后一项活动的结果插入我们的复发测试中，我们可以看到在z下醉汉将无数次返回家。
现在我们搬到了一个较大的城市z 2：沃克将从起源开始，我们将通过整数坐标标记顶点。在每个步骤，步行者将以1/4的概率向上，向下，向左或向右移动。对于助行器和＃39; S路径看起来的味道以下是50,500,5000和50000步的样本步行。请注意，助行器如何与家庭过得远远。在这种情况下，上面使用的参数在这种情况下工作，尽管查找q（2n）涉及更多工作。但是，有一种聪明的方法来避免这种情况。我们想象一下一维的步行者，除了其中一个在方向（1,1）和（-1，-1）中移动，在方向（1，-1）和（-1,1）中移动。让y（n）和z（n）表示它们的位置。其位置Y（n）+ z（n）的总和定义了与本图中的虚线对应的z 2上的另一个步道：
检查x（n）具有相同的过渡概率，因为步行由（y（n）+ z（n））/ 2确定。这意味着我们已经将我们的步行分解为Z 2的步行到我们已经理解的Z次数的两份。
由于这两个新的步行者在Z上彼此独立移动我们：将其插入到复发的测试中，表明Z 2的步行也是复发性的。
现在我们可以转向我们醉酒的鸟。我们现在移动到三维图形z 3.此图中的顶点对应于整数的三倍。同样，鸟有6个可能的方向，每个方向移动，每个方向具有概率1/6。我们称之为这些指示N，E，S，W，U和D.我们现在需要进行鸟类可以采取的路径数量的一些会计。为了让鸟以2N步骤返回，这些步骤中的n最多位于UP，N或E方向。有c（2n，n）方法可以做到这一点。在这些步骤中，我必须上升，j必须走n，并且n-i-j必须走到E.有C（n，i）c（n-i，j）方法来执行此操作。为什么有c（n，i）c（n-i，j）方法来做这件事？它可能有助于将n个相同的球置于标记为U，n和E-I-j的3个URNS中。
由于我和j可以改变他们的总和最多的点数，我们拥有返回家庭的2n步的可能路径的数量是：如果广场令您困惑，请记住我们也需要挑选它的位置，W和D也跌倒。我们的巨大难度是总和，但功能f（x，y，z）= x！y！z！在约束x y + z = n下，当x，y和z接近相等时最大化（随意使用计算机/计算器检查此）。这让我们摆脱了广场。此外，我们的6步方向长度为2N的6个2N总配置，并结合了这些事实给出：现在我们使用一个小组组合技巧。其余的总和实际上只是计算将n个相同球变成3个不同桶的方法数量。另一种统计方法是注意到每个球有3个选项，即它可以去哪里，所以有3个可能的方法来做到这一点。现在我们只是使用这个并应用斯特林＆＃39;近似值（详细省略以备用读者），以得到：其中C是一些没有影响重复影响的正数。现在应用我们的复发测试我们看到这只鸟是短暂的，所以它最终会永远离开家。类似的参数可用于表明步行者在所有更高尺寸中是瞬态的。