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到这一点，我们已经完成了相当多的衍生品，但它们都是表格函数的衍生品\（y = f \ left（x \右）\）。不幸的是，不是我们将要查看的所有功能将属于这种形式。
查找\（y＆＃39; \）for \（xy = 1 \）。 解决方案1：这是执行问题的简单方法。只需解决\（y \）以获得我们用于处理的表单中的功能，然后区分。
\ [y = \ frac {1} {x} \ hspace {0.25英寸} \ hspace {0.25英寸} \ lightarrow \ hspace {0.25英寸} \ hspace {0.25英寸} Y＆＃39; = - \ frac {1} {{{x ^ 2}}}} \] 所以，这很容易做到。但是，有一些函数可以完成这一点。这就是第二种解决方案技术发挥的地方。
解决方案2：在这种情况下，我们将在我们给出的表格中留下函数，并以这种形式与之合作。但是，让我们从这个解决方案的第一部分召回，如果我们可以解决\（y \），那么我们将获得\（y \）作为\（x \）的函数。换句话说，如果我们可以解决\（y \）（正如我们在这种情况下，但不会总是可以做）我们得到\（y = y \ left（x \右）\）。让我们重写等式来注意到这一点。
\ [xy = x \，y \ left（x \右）= 1 \] 在这里小心，注意，当我们写\（y \ left（x \右）\）时，我们不是指\（y \）times \（x \）。我们在这里注明的是\（y \）是\（x \）的一些（可能未知）函数。在执行此解决方案技术时，这是重要的。
该解决方案中的下一步是将两侧相对于\（x \）区分开，如下所述，
\ [\ frac {d} {{dx}} \ left（{x \，y \ left（x \右）} \ =右）= \ frac {d} {{dx}}左（1 \右）\ ] 右侧很容易。这只是常数的衍生品。左侧也很容易，但我们必须认识到我们实际上有一个产品，\（x \）和\（y \ left（x \右）\）。所以，要做左侧的衍生品，我们需要进行产品规则。这样做给了，
\ [\左（1 \右）y \ left（x \右）+ x \ frac {d} {{dx}} \ left（{y \ left（x \ revent）} \右）= 0 \] \ [\ frac {d} {{dx}} \ left（{y \ left（x \ revent）} \ revent）= \ frac {{dy}} {{dx}} = y＆＃39; \] \ [y + xy＆＃39; = 0 \] 请注意，我们在\（y \）上删除了\（\右）\），因为它只是在那里提醒我们，\（y \）是\（x \）的函数，现在我们采取了衍生品，它不再需要。我们只是希望在等式中识别产品规则，当我们采取衍生品时。
所以，让我们现在回忆起来我们之后。我们曾经是衍生品，\（y＆＃39; \），并注意到了在等式中有一个\（y＆＃39; \）。因此，要获得我们需要做的衍生品，可以解决\（y＆＃39; \）的等式。
\ [Y＆＃39; = - \ frac {y} {x} \] 在那里。使用第二种解决方案技术这是我们的答案。然而，这不是我们从第一个解决方案所获得的。或者至少它看起来不像我们从第一个解决方案获得的相同衍生物。然而，召回，我们真的知道什么是\（y \）是\（x \），如果我们插上我们会得到的话，
\ [{y}＆＃39; = - \ frac {{} ^ {1} / {} _ {x}} {x}} {x} = - \ frac {1} {{{x} ^ {2}}}}}} ] 这是我们从第一个解决方案中获得的。无论使用的解决方案技术如何，我们都应该得到相同的衍生物。
我们在前面示例的第二个解决方案中使用的过程称为隐式差分，这是本节的主题。在前面的示例中，我们能够刚刚解决\（y \）并避免隐式差异化。但是，在本节中的剩余例子中，我们要么无法解决\（y \），或者，正如我们在下面的一个例子中看到的那样，答案不会以我们的形式可以处理。
在上面的第二个解决方案中，我们用\（y \ left（x \右）\）替换\（y \），然后执行衍生物。回想一下，我们这样做是为了提醒我们\（y \）实际上是\（x \）的函数。我们将在这些问题中做得很多，虽然我们很少地写作\（y \ left（x \右）\）。因此，在我们实际工作之前，内部隐式差异化问题，让我们做一个快速的“简单的”衍生品，希望能够帮助我们做函数的衍生物，这些函数也包含一个\（y \ left（x \右）\）。
区分以下各项。 \（{\ left（{5 {x ^ 3} - 7x + 1} \右）^ 5} \），\（{\ left [{f \ left（x \ revent）} \ over] ^ 5} ），\（{\ left [{y \ left（x \ revent）} \右] ^ 5} \）
显示所有解决方案隐藏所有解决方案，这些解决方案都与我们习惯于此处的方式写入不同。这是因为我们希望与我们将在本节中所做的事情匹配这些问题。而且，这些部分中的每一个都具有若干功能，以从特定函数开始，然后是一般函数来区分。这再一次，是帮助我们使用我们正在做的隐含分化过程的一些特定部分。
a \（{\ left（{5 {x ^ 3} - 7x + 1} \右）^ 5} \），\（{\ left [{f \ left（x \ revent）} \ rectle] ^ 5} \），\（{\ left [{y \ left）\右] ^ 5} \ \ [\ frac {d} {{dx}} left [{{{\ left（{5 {x ^ 3} - 7x + 1} \右））} ^ 5}} \右] = 5 {\ left（{5 {x ^ 3} - 7x + 1}右）^ 4} \ left（{15 {x ^ 2} - 7} \右）\] 这只是连锁规则。我们差异化了外部功能（5的指数），然后乘以内部功能的导数（括号内的东西）。
对于第二个功能，我们将基本上做同样的事情。我们将需要使用链规则。外部函数仍然是5的指数，而此时间内部功能只是\（f \ left（x \右）\）。我们在此处没有特定的功能，但这并不意味着我们不能至少记下这个函数的链规则。这是此功能的衍生品，
\ [\ frac {d} {{dx}} {\ left [{f \ left（x \ revent）} \ lexte] ^ 5} = 5 {\ left [{f \ left（x \ revent）} \右] ^ 4} f＆＃39; \左（x \右）\] 我们实际上并不知道什么\（f \ left（x \右）\）是这样，当我们完成内部功能的衍生物时，我们所能做的就是为衍生品的写下表示，即\（f＆＃39; \左（x \右）\）。
通过最终函数，我们只需用\（y \）替换了第二个函数中的\（f \），因为我们在本节中的大多数工作都将涉及\（y \）而不是\（f \）' s。在此功能之外与第二个功能相同。所以，衍生物是，
\ [\ frac {d} {{dx}} {\ left [{y \ left（x \ light）} \ revally] ^ 5} = 5 {\ left [{y \ left（x \ light）} \右] ^ 4} Y＆＃39; \左（x \右）\]
b \（\ sin \ left（{3 - 6x} \右）\），\（\ sin \ left（{y \ left（x右）} \右）\）在这里区分的第一个函数只是一个快速链规则问题再次是它的衍生品，
\ [\ frac {d} {{dx} \ left [{\ sin \ left（{3 - 6x} \右）} \ rectle] = - 6 \ cos \ left（{3 - 6x}右）\ ] 对于第二个函数，我们没有使用\（f \ left（x \右）\）并跳转到v（y \ left（x \右）\）跳转。这仍然只是我们为第一个功能所做的一般版本。外部函数仍然是正弦，内部由\（y \左（x \右）\）给出，而我们没有公式\（y \ left（x \右）\），所以我们实际上不能采取它的衍生品，我们确实为其衍生品产生了符号。这是此功能的衍生品，
\ [\ frac {d} {{dx}}左[{\ sin \ left（{y \ left（x \ revent）} \右）} \右] = y＆＃39; \ left（x \右） \ cos \ left（{y \ left（x \右）} \右）\]
c \（{{\ bf {e}} ^ {{x ^ 2} - 9x}} \），\（{{\ bf {e}} ^ {y \ left（x \右）}} \）这部分我们只会为每个人提供答案，并遗漏我们在前两部分的解释。
\ [\ frac {d} {{dx}} \ left（{{\ bf {e}} ^ {{x ^ 2} - 9x}} \ lex）= \ left（{2x - 9} \右）{{\ bf {e}} ^ {{x ^ 2} - 9x}} \ hspace {0.75in} \ frac {d} {{dx} \ left（{{{\ bf {e}} ^ { y \左（x \右）}}}}} \右）= y＆＃39;左（x \右）{{\ bf {e}} ^ {y \ left（x \ recte）}} \]
因此，在这组示例中，我们只是在进行一些链条规则问题，其中内部函数是\（y \ left（x \右）\）而不是特定函数。这种衍生作用在做出隐含的差异方面都显示出来，因此我们需要确保我们能够做到这一点。另请注意，我们只为三种功能做了这一点，但我们可以在这里使用更多的功能。
因此，它现在是时候完成了所需隐含区分的第一个问题，与我们实际上可以通过解决\（y \）来实际避免隐含分化的第一个问题。
查找以下功能的\（y＆＃39; \）。 \ [{x ^ 2} + {y ^ 2} = 9 \] 现在，这只是一个圆圈，我们可以解决它会给的\（y \），
\ [y = \ pm \ sqrt {9 - {x ^ 2}} \] 在开始这个问题之前，我们表示我们必须在这里做出隐含的区分，因为我们不能只解决\（y \），但这就是我们刚才所做的。那么，我们为什么不能在这里使用“正常”差异化？问题是“\（\ pm \）”。在“解决方案”中，我们看到\（y \）实际上是两个不同的函数。我们应该使用哪个？我们应该使用两者吗？我们只想要一个衍生物的单一功能，并且在这里我们有两个功能。
所以，在这个例子中，我们真的需要做隐含的区分，所以我们可以避免这个。在这个例子中，我们将在第一个例子中做同样的事情，并提醒自己，\（y \）真的是\（x \）的函数，写\（y \）\（y \ left（x \正确的）\）。一旦我们完成了这一切，我们需要做的就是相对于\（x \）来区分每个术语。
\ [\ frac {d} {{dx}} \ left（{{x ^ 2} + {{\ left [{y \ left（x \ revely）}} ^ 2}} \ = \ FRAC {D} {{dx}} \ left（9 \右）\] 与第一个例子一样，右侧很容易。左侧也很容易，因为我们需要做的就是采取每个术语的衍生物，并注意第二项将是类似的第二个例子的部分（a）。我们需要为第二个术语做的就是使用链规则。
\ [2x + 2 {\ left [{y \ left（x \ revent）} \ ox led] ^ 1} y＆＃39; \ left（x \ recte）= 0 \] 此时，我们可以删除\（\ left（x \右）\）部分，因为它只在问题中有助于差异化进程。最后一步是简单地解决所得到的方程，以便（y＆＃39; \）。
\ [\ begin {align *} 2x + 2yy＆＃39; ＆amp; = 0 \\ y＆＃39; ＆amp; = - \ frac {x} {y} \结束{align *} \] 与第一个例子不同，我们不能只需插入\（y \），因为我们不知道要使用的两个功能中的哪一个。隐含区分的大多数答案都将涉及\（x \）和\（y \），所以在它发生时不要兴奋。
找到切线线的等式 \ [{x ^ 2} + {y ^ 2} = 9 \] 首先注意到，与我们在前一节中所做的所有其他切线问题不同，我们需要给予点的\（x \）和\（y \）值。请注意，这一点确实位于圆圈的图表中（您可以通过将点插入方程中查看），因此可以在此时谈论切线线路。
回想一下，写下切线行我们所需要的只是切线线的斜率，这只不过是在给定点评估的衍生品。我们已经从前面的示例中获得了衍生品，所以我们需要做的就是插入给定点。
\ [m = {\ left。 {Y＆＃39;} \右| _ {x = 2，\，y = \ sqrt 5}} = - \ frac {2} {{\ sqrt 5}}} \] \ [y = \ sqrt 5 - \ frac {2} {{\ sqrt 5}} \ left（{x - 2} \右）\]
现在，让我们更多的例子。在其余示例中，我们将不再写入\（y \左（x \右）\）for \（y \）。这只是我们正在做的事情，提醒自己，这个\（y \）真的是\（x \）来帮助衍生品的函数。看到\（y \左（x \右）\）提醒我们，我们需要在该部分进行该部分进行链规则。从这一点来看，我们会留下\（y \）写作\（y \）的\（y \），我们希望记住他们真的是\（y \ left（x \右）\ ）我们需要进行链规则。
有一种简单的方法可以记住如何在这些问题中进行链规则。链条规则确实告诉我们，除了我们通常需要添加的函数之外，可以将函数区分开来。在隐式差分中，这意味着每次我们在其中与其区分术语时，内部函数就是\（y \），我们需要在此期间添加一个\（y＆＃39; \）这将是内部功能的衍生品。
为以下各项查找\（y＆＃39; \）。 显示所有解决方案隐藏所有解决方案A \（{x ^ 3} {y ^ 5} + 3x = 8 {y ^ 3} + 1 \）首先区分双方相对于\（x \），并记住每个\（ y \）真的是\（y \ left（x \右）\）我们再也不会这样写了。这意味着左侧的第一个术语将是产品规则。
我们将涉及\（y \）的各种功能区0在上面的示例2中的链规则差异。此外，在开始此问题之前回忆讨论。在执行这种链规则问题时，我们需要做的一切都是将\（y \）的正常区分化，然后在\（y＆＃39; \）上添加，这只不过是“内部功能“。
\ [3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 5 {x ^ 3} {y ^ 4} y＆＃39; + 3 = 24 {Y ^ 2} Y＆＃39; \] 现在我们需要做的就是解决衍生品，\（y＆＃39; \）。这只是你能够做的基本解决代数。主要问题是，它可能比你曾经做的事情搞得更混乱。我们需要做的就是在一方面和其他没有\（y＆＃39; \）的所有条款在另一侧的所有条款获得所有条款。然后将因子\（y＆＃39; \）出于包含它的所有条款，并将双方划分为“系数”的“系数”\（y＆＃39; \）。这是这个的解决工作，
\ [\ begin {align *} 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3＆amp; = 24 {Y ^ 2} Y＆＃39; - 5 {x ^ 3} {y ^ 4} y＆＃39; \\ 3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3＆amp; = \左（{24 {Y ^ 2} - 5 {x ^ 3} {y ^ 4}} \右）y＆＃39; \\ y＆＃39; ＆amp; = \ FRAC {{3 {x ^ 2} {y ^ 5} + 3}} {{24 {y ^ 2} - 5 {x ^ 3} {y ^ 4}} \结束{align *} \]
b \（{x ^ 2} \ tan \ left（y \ over）+ {y ^ {10}} \ sec \ left（x \ recte）= 2x \）我们有两个产品规则来处理这次。这是这个功能的衍生品。
\ [2x \ tan \ left（y \右）+ {x ^ 2} {\ sec ^ 2} \左（y \右）y＆＃39; + 10 {y ^ 9} y＆＃39; \ sec \ left（x \右）+ {y ^ {10}} \ sec \ left（x \右）\ tan \ left（x \ recte）= 2 \] 请注意衍生物加到剪辑上！同样，这只是一个与上面例2的第二部分类似的链规则问题。
\ [\ begin {align *} \ left（{{x ^ 2} {{\ sec} ^ 2} \ left（y \右）+ 10 {y ^ 9} \ sec \ left（x右）} \右）Y＆＃39; ＆amp; = 2 - {y ^ {10}} \ sec \ left（x \右）\ tan \ left（x \右） - 2x \ tan \ left（y \右）\\ y＆＃39; ＆amp; = \ frac {{2 - {y ^ {10}} \ sec \ left（x \右）\ tan \ left（x \右） - 2x \ tan \ left（y \ rice）}} {{{x ^ 2} {{\ sec} ^ 2} \ left（y \右）+ 10 {y ^ 9} \ sec \ left（x \右）}} \结束{align *} \]
c \（{{\ bf {e}} ^ {2x + 3y}} = {x ^ 2} - \ ln \ left（{x {y ^ 3}} \右）\）我们需要小心这个问题。我们有几个连锁规则，我们将需要在这里处理，这与我们在此问题之前处理的那些不同的不同。
在我们有一个“标准”链条规则的指数和对数中，在指数和对数内的\（x \）或\（y \）之外存在一些东西。因此，这意味着我们将在这里照常执行链条规则，然后在我们执行每个术语的内部功能的衍生时，我们必须处理差异化\（y \）。
\ [{{\ bf {e}} ^ {2x + 3y}} \ left（{2 + 3y＆＃39;} \右）= 2x - \ frac {{{y ^ 3} + 3x {y ^ 2} Y＆＃39;}} {{x {y ^ 3}}}} 在两个链规则中都要注意，直到我们在该术语中实际区分\（y \）的情况下，\（y＆＃39; \）没有被加到。
现在我们需要解决衍生品，这可能有点凌乱。为了在一侧获取\（y＆＃39; \），我们需要乘以括号乘以括号并分解商。
\ [\ begin {align *} 2 {{\ bf {e}} ^ {2x + 3y}} + 3y＆＃39; {{\ bf {e}} ^ {2x + 3y}}＆amp; = 2x - \ frac {{{y ^ 3}}} - {x {y ^ 3}}} - \ frac {{3x {y ^ 2} y＆＃39;}} {{x {y ^ 3}} } \\ 2 {{\ bf {e}} ^ {2x + 3y}} + 3y＆＃39; {{\ bf {e}} ^ {2x + 3y}}＆amp; = 2x - \ frac {1} {x} - \ frac {{3y＆＃39;} {y} \\ \ left（{3 {{\ bf {e}} ^ {2x + 3y}} + 3 { y ^ { - 1}}} \右）y＆＃39; ＆amp; = 2x - {x ^ { - 1}} - 2 {{\ bf {e}} ^ {2x + 3y}} \\ y＆＃39; ＆amp; = \ frac {{2x - {x ^ { - 1}} - 2 {{\ bf {e}} ^ {2x + 3y}}} {3 {{\ bf {e}} ^ {2x + 3y }} + 3 {y ^ { - 1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} \ \结束{align *} \] 请注意，要使衍生物至少看一点更好，我们将所有分数转换为负指数。
好的，我们看到在上面的切线示例中看到了隐含分化的一个应用。但是，还有另一个应用程序，我们将在下一节中的每个问题中看到。
在某些情况下，我们将拥有两个（或更多个）函数，所有这些功能都是第三变量的函数。所以，我们可能有\（x \ left（t \右）\）和\（y \ left（t \右）\），例如在这些情况下，我们将与\（t \）差异化。这只是隐含的差异，如我们在前面的例子中所做的那样，但有一个差异。然而存在差异。
在前面的示例中，我们有涉及\（x \）的函数和\（y \）的函数，并思考\（y \）作为\（y \ left（x \右）\）。在这些问题中，我们对\（x \）差异化，因此在函数中面对\（x \）的函数时，我们与\（y y \）差异化的函数差异化，除了我们之外的常规差异在这个术语上添加了一个\（y＆＃39; \），因为我们真的在做一个连锁规则。
在新的示例中，我们想要查看我们假设\（x = x \左（t \右）\）\（y = y \左（t \右）\）并差异化\ （t \）。这意味着每次我们面临\（x \）或a \（y \），我们都会正在执行链条规则。这反过来意味着当我们区分\（x \）时，我们将需要在\（x＆＃39; \）上添加，每当我们区分\（y \）时，我们将在\（y＆＃39; \）。
这些新类型的问题真的是我们在本节中一直在做的同样的问题。它们只是扩展了一点，包括一个以上的功能，需要一个需要一个链规则。
假设\（x = x \左（t \右）\）和\（y = y \左（t \右）\）并相对于\（t \）区分以下等式。 \ [{x ^ 3} {y ^ 6} + {{\ bf {e}} ^ {1 - x}} - \ cos \ left（{5y} \右）= {y ^ 2} \] 因此，只需在每个步骤中都会区分正常并添加适当的衍生物。 请注意，第一个术语将是产品规则，因为\（x \）和\（y \）是\（t \）的函数。 \ [3 {x ^ 2} x＆＃39; {y ^ 6} + 6 {x ^ 3} {y ^ 5} y＆＃39; - x＆＃39; {{\ bf {e}} ^ {1 - x}} + 5y＆＃39; \ sin \ left（{5y} \右）= 2yy＆＃39; \] 这个问题真的并不重要。 由于问题中有两个衍生品，我们不会打扰为其中一个来解决。 当我们在下一节中做这种问题时，问题将意味着我们需要解决哪一个。 此时似乎没有任何真正的理由做这种问题，但正如我们在下一节中看到我们正在做的每个问题都会涉及这种隐含的分化。