编辑：我从没想过这篇文章会引起如此多的兴趣。需要明确的是，在我能想到的几乎所有情况下，使用常量都是一个非常糟糕的主意。即使是像 RCPSS 这样的指令也应该只被那些确信权衡值得（或别无选择）的人使用。从上面的常数中减去甚至更糟，并且处理更少的极端情况。我一直在研究一种专门的离散优化算法，perf 告诉我它在一个（双浮点）除法指令上花费了大约 25% 的时间：该算法必须重复计算 x - 1 以获得向量中的几十万个值。如果分母是常数，那么加速它就很简单了。不幸的是，倒数的唯一捷径似乎是计算一个近似值并用几个 Newton-Raphsonsteps 对其进行改进。令人惊讶的是，当使用多达 3 个细化步骤时，仍然可以实现显着的加速：除法单元占用大量空间，因此，与乘法和加法不同，硬件除法很少可以并行执行。即，每个除法需要一个几个周期（大约 7-14，根据 AgnerFog 的表 [PDF]），并且必须等待前一个除法被完全计算。由于我将大量值一个接一个地进行除法，因此我正在寻找比延迟更好的吞吐量，并且执行更多操作可能很有用，只要它们是并行执行或在 apipeline 中执行的。计算倒数近似值的教科书方法可能是使用硬件支持。在 x86[-64] 上，这将是 RCPSS，它计算单个浮点数倒数的 12 位近似值。对于我的用例，我还必须在双打（CVTSD2SD 和 CVTSS2SD）之间进行转换。我的 Westmere 机器可以在每个周期发送这些指令之一。但话又说回来，似乎可以做一些经典的快速平方根反比之类的事情。简单地取指数字段的相反值给我们一个不错的近似值：x86（和大多数其他机器）上的双浮点数表示为符号：指数：有效数 1 位：11 位：52 位（和隐式前导 1）指数是有符号的，但表示为具有正偏差的无符号数：0 的指数由 1022 表示，-1 由 1021 表示，1 由 1023 等表示。正常数的最大偏差值为 2046（2047 用于无穷大和 NaN） .因此，为了得到指数的相反值，从 2046 中减去它就足够了。这给了我们一个精度，虽然足以保证 Newton-Raphson 步骤的收敛，但远没有用。
相反，有趣的是还可以利用有效数从像 to-double( a - from-double( x)) 这样的减法中获得更多位的精度。当初始猜测太大时，Newton-Raphson 步骤可能会发散，因此常数 a 的形式应为 2046 ⋅ 2 52 - b，其中 b [0 ,2 52 - 1]。我在一系列输入（0 和 3 之间的 2 17 个等距值）上绘制了最大误差图，它看起来是单峰的（减少直到达到全局最小值，然后增加）。我想最小化一个看起来是单峰的函数，但不是（先验）可微的，并且计算起来相当昂贵。这似乎是黄金分割搜索的完美应用（为了避免浮点舍入错误的任何问题，一旦范围下降到几千个值，我就使用了详尽的搜索）。我等了几秒钟，我的 REPL 吐出 0x7FDE623822FC16E6 以获得 a 的最佳值：3 步后的最大相对误差约为 4 ⋅ 10 - 11（≈ 35 位），平均值约为 1 ⋅ 10 - 11 .Newton-Raphson 方法的收敛速度是二次的，所以魔术常数在一次减法后产生略高于 4(!!) 位的精度。最后，通过 RCPSS 仍然更快，因为初始猜测几乎是精确度的 3 倍，但是在另一台没有硬件支持近似倒数的机器上，或者在牛顿-拉夫森步骤执行得更快的机器上，记住 0x7FDE623822FC16E6 可能是有用的.诚然，到目前为止，这种情况似乎并不常见：我在谷歌上找不到那个常数或任何接近它的值。