解释庞加莱猜想

让我们从轻松开始。我们知道地球的形状。它或多或少是球形的。接下来是我们的银河系，银河系。发现它的埃德温·哈勃 (Edwin Hubble) (1889-1953) 有点惊讶，它是螺旋形的，即带有旋臂的圆盘形状。可观测的宇宙呢？是球形的吗？看起来确实如此，因为它向外扩展，而且我们越看越远，光越红移。超出我们可观察范围的全球宇宙呢？答案是，我们不知道。我们可以推测。它可能是有限的或无限的，有边界或没有边界，有或没有曲率，像球体一样简单连接，或者像甜甜圈一样多重连接。我们所知道的是，它似乎正在扩大。要什么？我们不知道。但我们可以推测。宇宙的形状，现在和将来可能变成的，我们很难凭经验辨别。爱因斯坦通过向我们展示物质和能量（三维现象）实际上可能与四维现象：时间相互作用，在某种程度上帮助了我们。在这种相互作用中，时空可能会因质量/能量的存在而扭曲。综上所述，据我们所知，我们生活在一个四维宇宙中，它容易受到拉伸、扭曲和弯曲等变形的影响。这就是 Henri Poincaré 和拓扑学发明的用武之地。让我们回到基础。我们都非正式地知道平面上的圆是二维圆盘的一维圆周。向上一维，我们也直观地知道，三维球的二维表面称为球体。然而，再上升一个维度，我们的直觉已经完全让我们失望了。一个物体嵌入四维空间的三维等价物是什么？好吧，与前两者一样真实，四维欧几里得空间中四维球的三维边界在数学中被称为球体或 3 球体。如果可以的话，我会在这里为您形象化，但我不能。在数学中，这三个物体（圆、球和球）密切相关，被称为 1-、2- 和 3-球。这样的 n 球体是普通球体对任意维度空间的推广。在拓扑中，n 球体被视为 n 维流形，它们是在每个点附近局部类似于欧几里得（平坦）空间的拓扑空间。更准确地说：流形的定义 n 维流形的每个点都有一个与 n 维欧几里得空间同胚的邻域。在思考流形是什么时，作者 Sylvia Nasar 在她的书 A Beautiful Mind 中提供了一个有用的观点：

想象一下自己缩小到一个针尖的大小，坐在甜甜圈的表面上。环顾四周，您似乎坐在一个平坦的磁盘上。向下一维坐在曲线上，附近的拉伸看起来像一条直线。如果您位于一个 3D 流形上，无论多么深奥，您的邻近区域看起来就像一个球的内部。换句话说，物体从远处看的方式可能与您近视眼的方式大不相同。 John Stillwell 在他的精彩著作“拓扑论文：分析位置及其五个补充”（2010 年）中声称，在 Henri Poincaré（1854-1912 年）之前，只有一个（通用）拓扑概念被定义，这并非没有根据。这个概念是现在众所周知的欧拉特征 (χ)，由欧拉的多面体公式 V — E + F = χ 给出，其中 V 代表顶点，E 代表边，F 代表面。球面和凸多面体（例如柏拉图立体）的欧拉特性均为二。 1863 年，莫比乌斯 (Möbius) 在对此类曲面的拓扑分类的研究中表明，R³ 中的所有闭合曲面——即可定向曲面 ，都按它们的欧拉特性进行分类。 Stillwell (2010) 还提到了 Gauss (1827) 和 Bonnet (1848) 等人物的相关贡献以及他们对光滑表面平均曲率的发现，以及 Riemann (1851) 对代数曲线的研究。此外，他还提到了 Cayley (1859) 对 R³ 中表面上的“凹坑、峰顶和通道”的研究的相关性，但补充说，直到 Enrico Betti (1871) 才在研究这些概念方面取得了真正的进展任意维度。 Betti 定义了后来被称为 Betti 数 P₀, P₁, P₂, ... 的所有维度。在代数拓扑中，非正式地，第 k 个 Betti 数是指拓扑表面上 k 维孔的数量，或者换句话说，“在不将表面分成两个单独部分的情况下可以进行的最大切割次数”（Gardner， 1984 年第 9-10 页）。对于 0 维、1 维和 2 维单纯复形集合（由点、线段、三角形及其 n 维对应物组成的集合），Betti 数具有以下定义： 例如，环面具有 Betti 数 P₀ = 1, P₁ = 1, P₂ = 1 因为它是单个连接的表面组件，具有两个圆孔，这些圆孔连接并形成一个包围单个腔的表面。第二个贝蒂数 P₁ 也称为曲面的属，非正式地“它具有的孔数”，等于欧拉特征 χ。正如约翰·米尔诺 (John Milnor) (1931-) 在克莱数学研究所千禧年奖的庞加莱猜想的官方声明中所写：二维流形或曲面的拓扑结构在 19 世纪得到了很好的理解。 [...] 任何这样的表面都有一个明确定义的属 g ≥ 0，可以直观地描述为孔的数量。 Milnor 用 0、1 和 2 属的三个图形的简单草图对流形和拓扑进行了非正式介绍（见下文）。

在庞加莱之前，正如米尔诺和斯蒂尔韦尔所说，唯一得到明确定义的拓扑概念确实是闭合曲面理论，即所谓的 2-流形。它们的特性是紧凑且无边界。封闭曲面的分类定理指出，任何连通的封闭曲面同胚于以下三个家族之一的某个成员： 1. 球体； 2. g ≥ 1 时 g tori 的连通和；和 3. k ≥ 1 时 k 个实射影平面的连通和。Milnor 用以下陈述结束了他对（如此简单得多的）曲面的讨论：“更高维中的相应问题要困难得多。” Henri Poincaré 将是第一个尝试对 1 和 2 流形进行类似研究的人，该研究对三维流形进行了研究——即研究是否可以证明这些物体彼此同胚。亨利·庞加莱 (Henri Poincaré) 于 1854 年 4 月 29 日出生在法国南锡的 Cité Ducale 街区，父亲是 Leon Poincaré 和 Eugénie Launois。他的父亲是南锡大学的医学教授，他的母亲是家庭主妇，当他在童年时期因白喉生病时，他照料亨利并在家上学。 1862 年，8 岁的他进入 Lycée，在那里度过了 9 年，在他学习的每一个主题上都表现出色。他的才华的第一个认可来自一位数学老师，他将他描述为“数学怪物”，以及来自法国所有 Lycée 学校的顶尖学生之间的比赛的一等奖。除了数学，他还擅长写作。对于未来的数学家来说，他最差的科目是音乐和体育。然而，根据卡尔 (1968) 的说法，他的视力不佳和心不在焉的倾向可能解释了这些困难。 1871 年，他从 Lycée 毕业，获得理学学士学位。在文学和科学方面，并在普法战争中加入了他的父亲的前线，在救护队服役。战后，庞加莱于 1873 年进入综合理工学院的大学，在那里他跟随查尔斯·赫米特 (1822-1902) 学习数学，并在 22 岁时发表了他的第一篇论文，题为 Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une surface （“表面指示剂特性的新演示”）。 1875 年，除了数学学习之外，他还进入了 École des Mines 的采矿工程课程，并于 1879 年获得工程师学位。他立即投入使用他的新学位，加入了矿山兵团担任检查员。同时，他正在准备攻读巴黎大学索邦学院微分方程数学科学博士学位。他的论文题为 Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles（“关于由偏差分方程定义的函数的性质”）并于 1879 年完成。采矿工程师，1881 年至 1885 年负责北部铁路开发。同时，他还开始在母校索邦大学教授数学，并继续进行研究，开发了一个新的数学分支，称为“微分方程的定性理论” .该分支的研究涉及通过寻找解以外的方式研究微分方程的行为。除了这一点和他后来在拓扑学方面的工作之外，在他的职业生涯中，庞加莱还研究了几个复变量的解析函数、阿贝尔函数、代数几何、双曲几何、数论、三体问题、丢番图方程、电磁学、相对论、哲学和群论，庞加莱赢得了“最后的普遍主义者”的绰号。庞加莱在 1890 年代开始研究现在被认为是拓扑学和代数拓扑学的基础，其著作 Analysis Situs (1895) 和后来的五个增刊 (1899; 1900, 1902a, 1902b, 1904)。 “分析位置”或“位置几何学”一词的灵感来自戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz，1646-1716 年）在他 1672-76 年（De Risi，2018 年，第 247 页）的著作中对 150 多年前的术语的引用。

庞加莱在 Analysis Situs 中声明了他建立一个新的数学分支的动机，致力于拓扑学，或“对发生变形的几何对象的研究”，“橡胶板几何”，在分析位置中声明（1895）： la Géométrie est l'art de bien raisonner sur desfigures mal faites； encoreces 数字，pour ne pas nous tromper，doivent-elles satisfaire à surees conditions； les ratios peuvant êtregrossièrement altérées, mais les Positions relatives des differentspies ne doivent pas être bouleversées。”也就是说，数学家需要能够确定地确定我们的“画得不好的数字”必须满足某些条件，这样即使它们的“比例可能会被严重改变”，“不同图形的相对位置”零件不能被打乱'。该声明与拓扑的现代定义密切相关：拓扑是对在连续变形（例如拉伸、扭曲、起皱和弯曲，但不撕裂或粘合）下保留的几何对象的属性的研究。在他关于拓扑的第一篇论文（信件，真的）中，庞加莱着手激发第一本真正的拓扑学入门，Analysis Sites (1895)。他通过参考大约 20 年前引入的 Betti 数字来做到这一点。他的论点或对读者的问题是，贝蒂数是否真的足以确定流形的拓扑分类。为了说明为什么他们可能不会，他引入了基本群 π₁ 的概念。非正式地，可以通过以下方式考虑基本组：从空间（例如表面）开始，以及其中的某个点，以及在该点开始和结束的所有循环 - 从该点开始的路径，徘徊绕一圈，最终回到起点。两个循环可以以一种明显的方式组合在一起：沿着第一个循环，然后沿着第二个循环。如果一个环可以变形为另一个而不断裂，则两个环被认为是等效的。具有这种组合方法的所有此类循环的集合以及它们之间的这种等价关系是该特定空间的基本群。他接下来描述了一个三维流形族，并表明这些流形中的某些具有相同的 Betti 数，但属于不同的基本群（Stillwell 2010，第 6 页）。据此，他认为，如果基本群是拓扑不变量（在经历同胚时保留的属性），那么仅凭贝蒂数就无法区分三维流形。

后来的庞加莱猜想（1904）实际上在 1895 年并不存在，根据 Stillwell（2010）的说法，此时庞加莱可能认为很明显所有简单连接的 n 维闭合流形都将同胚于 n 球，即，如果变形为 n 维球体的形状，所有这些流形都将保持其拓扑特性。毕竟，自黎曼时代以来，一维和二维流形的相同结果就已为人所知。相反，考虑到他自己三年前的论证，分析现场着手修改和补充 Betti 数字以寻找更坚实的基础。本文通过多种途径实现这一目标。正如在研究中经常遇到的那样，他首先介绍了为什么这项工作有价值的理由，并指出“n 维几何是一个真实的对象，如今没有人怀疑这一点。超空间中的图形与普通空间中的图形一样易于精确定义，即使我们无法表示它们，我们仍然可以构思并研究它们。因此，如果要谴责多于三个维度的力学缺乏对象，那么超几何就不能这样说”（Stillwell，2010）。 La Géométrie à n Dimension a un objet réel； personne n'en doute aujourd'hui 在 Analysis Situs 的多项重大发现中，庞加莱提出了后来被称为同源论的基础，这是一种将一系列代数结构（如阿贝尔群或模）与其他数学对象（如作为拓扑空间。他通过假设每个流形都可以分解成同胚到单纯形（本质上是 n 维的四面体）的单元来建立一个计算 Betti 数的系统，读取他称为同调的线性方程并计算相应的 Betti 数线性代数（Stillwell 2012，第 557 页）。正如 Scholz (1980) 所说：“由 Poincaré 开创的代数拓扑的第一阶段的特点是它的代数关系和运算总是处理拓扑对象。”使用他的新同调理论，庞加莱接下来通过考虑单元分解的对偶，为 n 维流形的 Betti 数提供了庞加莱对偶定理。对偶定理指出，距“末端”相同距离的 Betti 数，即顶部和底部尺寸，是相等的。特别是，对于 3 流形，二维 Betti 数等于一维 Betti 数（Stillwell，2012）。在同一篇论文的后面，庞加莱还提供了欧拉多面体公式对任意维度的推广，并将其与他的同源理论（Stillwell，2010）联系起来。他还给出了基本群的新例子，通过识别与 3 球体具有相同 Betti 数的八面体的相反面，确定 π₁ 是比 Betti 数更强的不变量，但同样，一个不同的基本群（即循环团体）。从他的发现中得出的结论是，对于 0、1 和 2 维流形，贝蒂数足以区分它们，但对于 3 维流形，基本群变得重要。多么重要，庞加莱在这一点上（1895 年）无法回答。回想起来，正如 Stillwell (2010) 所写，由于 Poincaré 对同调理论的构建和基本群的建立，Analysis Situs 被正确地视为代数拓扑的起源。至于同源论，其成立的重要性在于它揭示了产生贝蒂数（以及欧拉特征）的代数结构。基本群的发现凸显了贝蒂数作为流形性质指标的缺乏能力。

Analysis Sites 虽然具有出色的创造性，但提供时并非没有混淆或错误（Stillwell，2010）。在探索“无人区”的过程中，庞加莱后来才发现 Betti 数字只是故事的一部分，三年后他在丹麦博士生 Poul Heegaard 的论文中发现了这一疏忽(1871-1948)。庞加莱在 1899 年写了他的第一篇增刊，题为 Complément a l'analysis site (“Supplement to the Analysis Sites”)。这篇论文的动机是 Heegaard (1898) 的发现，Poincaré 对 Betti 数的新定义可以证明在与他的对偶定理相冲突。 Heegaard 将实射影空间 RP³ 的例子与 3 球体的例子进行了对比，并表明 Poincaré 未能解释扭转的影响，“扭曲”。在首先转向更组合的同调理论之后，其中假定流形具有多面体结构，在他的补充（有时被庞加莱称为补码）中，庞加莱最终修改了他的同调理论，以产生除贝蒂数之外的扭数，使用所谓的 Hauptvermutung 论证证明是不变的（三角空间的任何两个三角剖分都有组合等价的细分），现在已知是错误的。包含加强了同调理论，能够区分相互扭转的流形（包括 RP³ 和 3 球体）。庞加莱确实通过对莫比乌斯带（Stillwell，2010）等不可定向表面的讨论创造了“扭转”一词。在第二篇补充论文（1900 年）中，庞加莱现在更强大的同调定理鼓励他以这样的陈述结束他的论文：“每个多面体的所有 Betti 数都等于 1 并且所有的表 Tq 都是可定向的，它们是简单连接的，即同构于一个超球面”关于经历变形的三维物体的拓扑特性的第一个（也是错误的）庞加莱猜想。就三流形和后来的庞加莱猜想而言，第三和第四个补充（除了扩展庞加莱同调理论和代数拓扑）的相关性在于他们对环面丛的研究，这表明在研究中自然出现代数曲线，第三增刊“在某些代数曲面上”（1902a）（Stillwell，2010）的重点。庞加莱于 1904 年发表了他的 1895 年分析位置论文的第五个也是最后一个补充。该论文涉及三维流形（例如我们介绍中的球体），标题为 Cinquième complément à l'analysis site。这篇论文现在因 Poincaré 对 3 维流形是否可以用与 2 维流形相同的区别特征来描述的研究而闻名，即球体中的每条简单的闭合曲线都可以在不离开球体的情况下连续变形到一个点。正如庞加莱本人在引言中所写：

“这次我只研究某些三维流形，但所使用的方法无疑具有更广泛的适用性。我将投入缺点......