伽罗瓦群和多项式的对称性

在 20 岁的决斗中受致命伤之前，Évariste Galois 发现了多项式方程的隐藏结构。通过研究他们的解决方案之间的关系——而不是他们自己的解决方案——他创造了新的概念，这些概念已经成为许多数学分支的重要组成部分。没有人知道为什么伽罗瓦在 1832 年 5 月 30 日清晨发现自己在巴黎决斗场，但前一天晚上，传说他熬夜完成了他最后的手稿。他在那里写道：伽罗瓦的法令是从数学困境中产生的。在 1500 年代，数学家研究了多项式，如 x 2 − 2 和 x 4 − 10 x 2 + 22。他们试图找到简单的公式来计算这些多项式的根——构成方程的 x 的值等于零——但只有在最高指数不大于 4 时才能找到它们。除此之外，伽罗瓦自己证明了这样的公式不存在。所以他设计了一种研究根的新方法：他意识到他可以研究它们之间的代数关系，而不是精确地计算它们——关注它们的复杂性，而不是它们的外观。在精神上，他的观点类似于考虑形状的不同对称性。这些是重新定位形状以使其看起来仍然相同的各种方法，例如将正方形旋转 180 度。多项式根之间的对称性是交换它们的方法，以便它们保持相同的代数关系。正如某些形状比其他形状具有更多对称性（圆形有无数个；正方形只有八个），您可以更自由地重新排列某些多项式方程的根，而不是重新排列其他多项式的根。 “重新排列根的某些方法可能与代数规则不兼容。从这个意义上说，根源可能无法完全互换，”斯坦福大学的布莱恩康拉德说。

在保持代数一致性的同时根可以相互交换的程度是一个微妙的特性，它告诉数学家很多关于如何识别仅通过观察无法看到的多项式特征。通过示例最容易看到。让我们看看两个，每个都有三个根（因为每个的最高指数是 3）：在纸面上，它们几乎相同。但在幕后，一个的根可以比另一个的根以更多的方式重新排列。让我们首先关注 f(x)。在这里，我们有三个根：a、b 和 c。我们可以通过对根对的乘积并将它们加在一起，以代数方式组合它们以得到一个新值。对于所有三次多项式（最高指数为 3 的三次多项式），三次多项式的系数为 1，众所周知，这个由根构成的特定代数表达式总是等于线性项的系数，或者被提升为第一种力量。在我们的示例中，这是 -7。现在让我们重新排列根，不理会 c，但交换 a 和 b。我们得到： 以这种方式重新排列根可以保留它们之间的代数关系：该等式仍然成立，因为乘法和加法是可交换的，这意味着交换事物的顺序——比如将根改组——不会改变答案。事实上，对于这个例子，重新排列根的所有六种可能的方式（包括它们不改变的方式）都保留了关系： a, b, c: ab + ac + bc = − 7 b, a, c: ba + bc + ac = −7 c, b, a: cb + ca + ba = −7 a, c, b: ac + ab + cb = −7 b, c, a: bc + ba + ca = −7 c, a, b: ca + cb + ab = −7 现在让我们看第二个多项式，g( x) = x 3 − 7 x + 7。如果我们称根为 r, s 和 t，那么一个类似的方程到 f( x) 的那个也成立：

这对于初始项为 x 3 且线性项为 -7 x 的任何三次多项式都是正确的。同样，所有六种可能的排列仍然等于 -7。但奇怪的是，对于 g(x)，并不是所有的都被认为是多项式的对称性。这是因为它的根之间的代数关系更复杂：它的根满足一个额外的特殊代数关系。特殊关系是 ( r − t)( r − s)( t − s) = 7 （假设 r 小于 s，并且 s 小于 t）。其根的六种可能重排中只有三种保留两种代数关系：rs + rt + st = 7 和 ( r − t)( r − s)( t − s) = 7: r, s, t: ( r − t)( r − s)( t − s) = 7 s, r, t: ( s − t)( s − r)( t − r) = −7 t, s, r: ( t − r)( t − s)( r − s) = −7 r, t, s: ( r − s)( r − t)( s − t) = −7 s, t, r: ( s − r)( s − t)( r − t) = 7 t, r, s: ( t − s)( t − r)( s − r) = 7 粗体的三个重排保留了根之间的所有代数关系，甚至超出了这两个关系。因此，这三个重排被认为是多项式的对称性。乍一看，这两个多项式具有不同的复杂程度并不明显，但是当您采用伽罗瓦发明的视角时，它变得可见。伽罗瓦将他的思维方式打包在新对象中——这些对象后来被称为伽罗瓦群——这些对象对给定多项式根之间的代数关系的复杂性进行了编码。在这些关系中，根的重排可以一个接一个地应用，但可以撤消它们以返回到您开始的位置 - 就像您可以应用正方形的对称性然后撤消它们以返回到您开始的确切位置和。这个想法反映了数学中群的一般概念，它是对称性的集合，无论它们适用于平方还是多项式的根。伽罗瓦群是群概念的第一个实例，伽罗瓦的思想发展成为今天强大的、无处不在的研究领域，称为群论。

伽罗瓦群为研究多项式方程提供了一个强大的视角。如果您知道多项式的伽罗瓦群，那么可以通过访问许多群论工具来理解其根的行为。通过这种方法获得的见解比通过对多项式本身执行代数获得的见解更有启发性。宾夕法尼亚大学的戴维·哈巴特 (David Harbater) 说：“[使用伽罗瓦群]，你会得到一条信息，它会传播并告诉你更多信息。”例如，伽罗瓦群会立即告诉您一个多项式是否可以求解，并允许您比较不同多项式的底层结构。伽罗瓦群也可用于研究代数和数论中的各种数学对象，以打开解决其他问题的方法。 “将关于多项式的问题转化为关于群的问题，为许多其他数学运算和技术打开了大门，这些数学运算和技术无法用多项式的原始语言轻松描述，”康拉德说。这种广泛性使得伽罗瓦群在上个世纪左右的许多最著名的数学项目中发挥了核心作用。它们出现在 Gerd Faltings 1983 年的 Mordell 猜想证明和 Andrew Wiles 1994 年的费马大定理证明中。伽罗瓦群也是当今数学中一些最令人兴奋的正在进行的工作的核心。正如 Quanta 在最近的一篇专题报道中所解释的那样，它们是庞大的朗兰兹计划的关键，该计划将关于多项式的问题变成了关于伽罗瓦群与另一类特殊群之间关系的更复杂和具有启发性的问题。尽管埃瓦里斯特·伽罗瓦的生命被缩短了，但他最大的成就将在未来几个世纪继续推进数学——尽管很难准确预测如何。

“[伽罗瓦群] 只是有一种出现在令人惊讶的地方的方式，”威斯康星大学麦迪逊分校的何塞罗德里格斯说。