螺旋盘

跳转到导航 跳转到搜索 Ulam 螺旋或素数螺旋是对素数集的图形描述，由数学家 Stanisław Ulam 于 1963 年设计，并在不久后在 Martin Gardner 的《科学美国人》的数学游​​戏专栏中普及。 [1] 它是通过将正整数写成方形螺旋并专门标记素数来构造的。乌拉姆和加德纳强调了包含大量素数的显着对角线、水平线和垂直线的螺旋形的引人注目的外观。 Ulam 和 Gardner 都指出，这种突出线的存在并不意外，因为螺旋中的线对应于二次多项式，并且某些此类多项式，例如欧拉的素数生成多项式 x 2 − x + 41，被认为会产生素数密度高。 [2] [3] 然而，乌拉姆螺旋与数论中的主要未解决问题有关，例如朗道问题。特别是，没有任何二次多项式被证明可以生成无限多个素数，更不用说它们的渐进密度高了，尽管关于渐进密度应该是什么有一个有充分支持的猜想。 1932 年，也就是乌拉姆被发现之前的三十多年，爬虫学家劳伦斯·克劳伯（Laurence Klauber）构建了一个三角形的非螺旋阵列，其中包含显示相似质数浓度的垂直线和对角线。与 Ulam 一样，Klauber 也注意到了与生成素数多项式（例如 Euler 的多项式）的联系。 [4] 乌拉姆螺线是通过将正整数以螺旋排列写在方形格子上来构造的：在图中，素数似乎集中在某些对角线上。在上图所示的 200×200 乌拉姆螺旋中，对角线清晰可见，证实了图案的延续。素数密度高的水平线和垂直线虽然不那么突出，但也很明显。大多数情况下，数字螺旋从中心的数字 1 开始，但也可以从任何数字开始，并且沿着对角线、水平线和垂直线观察到相同浓度的素数。从中心的 41 开始给出一条对角线，其中包含一个由 40 个素数组成的不间断字符串（从原点西南的 1523 开始，在原点减少到 41，并在原点东北方向增加到 1601），这是同类中最长的例子。 [5] 根据加德纳的说法，乌拉姆于 1963 年在一次科学会议上发表“一篇长而乏味的论文”期间涂鸦时发现了螺旋。 [1] 这些手工计算达到了“几百分”。不久之后，Ulam 与合作者 Myron Stein 和 Mark Wells 在洛斯阿拉莫斯科学实验室使用 MANIAC II 将计算扩展到大约 100,000 点。该小组还计算了沿一些富素数线和一些贫素数线高达 10,000,000 的素数密度。多达 65,000 点的螺旋图像显示在“附在机器上的示波器”上，然后被拍照。 [6] 马丁·加德纳 (Martin Gardner) 1964 年 3 月在《科学美国人》(Scientific American) 的数学游戏专栏中描述了乌拉姆螺旋，并出现在该期的封面上。专栏中转载了斯坦因、乌拉姆和威尔斯的一些照片。在《科学美国人》专栏的附录中，加德纳提到了克劳伯的早期论文。 [7] [8] Klauber 将他的构造描述如下：“整数按三角形顺序排列，顶点为 1，第二行包含数字 2 到 4，第三行包含数字 5 到 9，依此类推。当素数有已经指出，发现在某些垂直和对角线上存在浓度，并且在这些中发现了具有高浓度素数的所谓欧拉序列。” [4]

数螺旋中的对角线、水平线和垂直线对应于形式为 f ( n ) = 4 n 2 + bn + c {\displaystyle f(n)=4n^{2}+bn+c} 的多项式，其中 b 和c 是整数常量。当 b 是偶数时，线是对角线，并且所有数字都是奇数，或者都是偶数，这取决于 c 的值。因此，除了 2 之外的所有素数都位于乌拉姆螺线的交替对角线上也就不足为奇了。一些多项式，例如 4 n 2 + 8 n + 3 {\displaystyle 4n^{2}+8n+3} ，虽然只产生奇数值，但分解整数 ( 4 n 2 + 8 n + 3 = ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 ) ) {\displaystyle (4n^{2}+8n+3=(2n+1)(2n+3))} 因此永远不会是素数，除非其中一个因子等于 1 . 这样的例子对应于没有素数或几乎没有素数的对角线。要深入了解为什么一些剩余的奇数对角线可能比其他对角线具有更高的质数浓度，请考虑 4 n 2 + 6 n + 1 {\displaystyle 4n^{2}+6n+1} 和 4 n 2 + 6 n + 5 {\displaystyle 4n^{2}+6n+5} 。计算除以 3 的余数，因为 n 取连续值 0, 1, 2, .... 对于这些多项式中的第一个，余数序列为 1, 2, 2, 1, 2, 2, ...，而对于第二个，它是 2, 0, 0, 2, 0, 0, .... 这意味着在第二个多项式取值的序列中，每三个中的两个可以被 3 整除，因此肯定不是素数，而在第一个多项式所取的值序列中，没有一个可以被 3 整除。因此，第一个多项式产生的素数密度比第二个高，这似乎是合理的。至少，这种观察没有理由相信相应的对角线与素数相同。当然，人们应该考虑被 3 以外的素数整除的可能性。 检查被 5 的整除性，除以 15 的余数重复模式 1, 11, 14, 10, 14, 11, 1, 14, 5, 4, 11 , 11, 4, 5, 14 表示第一个多项式，模式 5, 0, 3, 14, 3, 0, 5, 3, 9, 8, 0, 0, 8, 9, 3 表示第二个，暗示第二个序列中的 15 个值中只有 3 个可能是素数（既不能被 3 也不能被 5 整除），而第一个序列中的 15 个值中有 12 个可能是素数（因为只有三个值可以被 5 整除，并且没有一个可以被 整除） 3）。虽然关于二次序列中素数的严格证明的结果很少，但上述考虑引起了对此类序列中素数的渐近密度的似是而非的猜想，这将在下一节中描述。在他们 1923 年关于哥德巴赫猜想的论文中，哈代和利特尔伍德提出了一系列猜想，其中一个如果为真，将解释乌拉姆螺旋的一些显着特征。这个猜想被哈代和利特尔伍德称为“猜想 F”，是贝特曼-霍恩猜想的一个特例，并断言 ax 2 + bx + c 形式的素数数量的渐近公式。从 Ulam 螺旋中心区域发出的光线与水平和垂直方向成 45° 角，对应于形式为 4 x 2 + bx + c 且 b 为偶数的数字；水平和垂直光线对应于 b 奇数的相同形式的数字。猜想 F 提供了一个公式，可用于估计沿这些射线的素数密度。这意味着沿不同射线的密度会有相当大的变化。特别是，密度对多项式的判别式 b 2 − 16 c 高度敏感。猜想 F 涉及形式为 ax 2 + bx + c 的多项式，其中 a、b 和 c 是整数，a 是正数。如果系数包含一个大于 1 的公因子，或者判别式 Δ = b 2 − 4 ac 是一个完美的平方，则多项式分解并因此产生合数，因为 x 取值 0、1、2、...（除了可能是 x 的一个或两个值，其中一个因子等于 1)。此外，如果 a + b 和 c 都是偶数，则多项式只产生偶数，因此除了值 2 之外可能是复合的。 Hardy 和 Littlewood 断言，除了这些情况，ax 2 + bx + c 取质数无限频繁，因为 x 取值 0, 1, 2, ... 这个陈述是 Bunyakovsky 早期猜想的一个特例，并且保持开放。 Hardy 和 Littlewood 进一步断言，渐近地，形式为 ax 2 + bx + c 且小于 n 的素数 P( n) 由下式给出

P ( n ) ∼ A 1 an log ⁡ n {\displaystyle P(n)\sim A{\frac {1}{\sqrt {a}}}{\frac {\sqrt {n}}{\log n} }} 其中 A 依赖于 a、b 和 c，但不依赖于 n。根据素数定理，A 集合等于 1 的这个公式是在与 ax 2 + bx + c 形式的数集合具有相同密度的随机数集合中期望的小于 n 的素数的渐近数。但是由于 A 可以取大于或小于 1 的值，根据猜想，一些多项式的质数会特别丰富，而另一些则特别贫乏。一个异常丰富的多项式是 4 x 2 − 2 x + 41，它在 Ulam 螺旋中形成一条可见线。根据猜想，该多项式的常数 A 约为 6.6，这意味着它生成的数字是质数的可能性几乎是同等大小的随机数的 7 倍。这个特定的多项式与欧拉的素数生成多项式 x 2 − x + 41 相关，通过将 x 替换为 2 x，或者等效地，通过将​​ x 限制为偶数。常数 A 由所有素数的乘积给出， A = ∏ pp − ω ( p ) p − 1 {\displaystyle A=\prod \limits _{p}{\frac {p-\omega (p) }{p-1}}~} ，其中 ω ( p ) {\displaystyle \omega (p)} 是二次多项式模 p 的零点数，因此取值 0、1 或 2 之一。和 Littlewood 将乘积分解为三个因子： A = ε ∏ p ( pp − 1 ) ∏ ϖ ( 1 − 1 ϖ − 1 ( Δ ϖ ) ) {\displaystyle A=\varepsilon \prod _{p}{\biggl ( }{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}\,\prod _{\varpi }{\biggl (}1-{\frac {1}{\varpi -1}}{\Bigl (}{\frac {\Delta }{\varpi }}{\Bigr )}{\biggr )}} 。这里对应于素数 2 的因子 ε 在 a + b 为奇数时为 1，如果 a + b 为偶数时为 2。第一个乘积索引 p 在除 a 和 b 的有限多个奇素数上运行。对于这些素数 ω ( p ) = 0 {\displaystyle \omega (p)=0} 因为 p 不能整除 c。第二个乘积指数 ϖ {\displaystyle \varpi } 运行在无穷多个不整除 a 的奇素数上。对于这些素数 ω ( p ) {\displaystyle \omega (p)} 等于 1、2 或 0，这取决于判别式是 0、非零平方还是非平方模 p。这是通过使用勒让德符号 ( Δ ϖ ) {\displaystyle \left({\frac {\Delta }{\varpi }}\right)} 来解释的。当素数 p 整除 a 但不整除 b 时，有一个根模 p。因此，这些素数对乘积没有贡献。 Jacobson 和 Williams 发现了 A ≈ 11.3 的二次多项式，这是目前已知的最高值。 [9] [10]

Klauber 1932 年的论文描述了一个三角形，其中第 n 行包含数字 (n − 1) 2 + 1 到 n 2。与 Ulam 螺旋一样，二次多项式生成位于直线上的数字。垂直线对应于形式为 k 2 − k + M 的数字。具有高密度素数的垂直线和对角线在图中很明显。罗伯特·萨克斯 (Robert Sacks) 于 1994 年设计了乌拉姆螺旋的变体。 在萨克斯螺旋中，非负整数绘制在阿基米德螺旋上而不是乌拉姆使用的方形螺旋上，并且间隔开以便在每次完整旋转时出现一个完美的正方形. （在 Ulam 螺旋中，每次旋转都会出现两个正方形。）欧拉的素数生成多项式 x 2 − x + 41 现在显示为一条单一的曲线，因为 x 取值 0、1、2、... 该曲线渐近接近图左半部分的水平线。 （在乌拉姆螺线中，欧拉多项式形成两条对角线，一条在图中的上半部分，对应序列中x的偶数值，另一条在下半部分对应序列中x的奇数值.) 当合数也包含在 Ulam 螺旋中时，可能会看到额外的结构。数字 1 只有一个因数，它本身；每个素数都有两个因数，它本身和 1；合数至少可以被三个不同的因数整除。使用代表整数的点的大小来表示因子的数量，并将质数涂成红色，将合数涂成蓝色，从而产生如图所示的图形。平面其他平铺后的螺旋线也会生成富含素数的线，例如六边形螺旋线。由欧拉多项式 x 2 − x + 41 生成素数的克劳伯三角形突出显示。六角数螺旋，质数为绿色，复合数更高，为深蓝色。 ^ Hartwig, Daniel (2013)，Martin Gardner 论文指南，加利福尼亚在线档案馆，p。 117 .

^ Guy, Richard K. (2004)，数论中未解决的问题（第 3 版），Springer，p。 8、ISBN 978-0-387-20860-2 Daus，PH（1932），“南加州分会三月会议”，美国数学月刊，美国数学协会，39（7）：373-374，doi： 10.1080/00029890.1932.11987331，JSTOR 2300380 Gardner, M.（1964 年 3 月），“数学游戏：质数的非凡传说”，《科学美国人》，210：120–120-120-118.103.103.103.103.103.10 （1971 年），Martin Gardner 的《科学美国人》第六本书《科学美国人》，芝加哥大学出版社，ISBN 978-0-226-28250-3 Hardy，GH； Littlewood, JE (1923)，“'Partitio Numerorum' 的一些问题；III：关于一个数作为素数总和的表达”，Acta Mathematica，44：1–70，doi：10.1007/BF02403921 Hoffman, Paul (1988) ), Archimedes' Revenge: The Joys and Perils of Mathematics, New York: Fawcett Colombine, ISBN 0-449-00089-3 Pegg, Jr., Ed（2006 年 7 月 17 日），“素数生成多项式”，数学游戏，数学美国协会

斯坦，ML；乌拉姆，SM； Wells, MB (1964)，“素数分布的一些特性的视觉显示”，美国数学月刊，美国数学协会，71 (5)：516–520，doi：10.2307/2312588，JSTOR 2312588 Stein, M .; Ulam, SM (1967)，“对质数分布的观察”，美国数学月刊，美国数学协会，74 (1)：43–44，doi：10.2307/2314055，JSTOR 2314055