你认为有一个角度分别为41度、76度和63度的三角形吗？
一开始，回答这个问题似乎很容易。从几何学课上我们知道三角形内角的测度之和是180度，既然41+76+63=180，答案一定是肯定的。
但这个问题的意义远不止这些。三角形角和定理告诉我们，在平坦的欧几里德几何中，给定一个三角形，内角的度量之和为180度。但我们的问题并没有给我们一个三角形。相反，我们被问到是否存在一个。三角形角和定理不能直接回答这个问题。但它可以帮助我们构建我们想要的三角形。
为了满足三角形角和定理，三角形中的每个角都必须小于180度，这意味着我们可以将其中两个角布置在线段的同一侧。让我们把41度角和76度角放在线段AB的两端，像这样。
从A和B延伸的光线不能平行，因为在欧几里德几何中，这需要这些“同侧内角”是“补充的”——也就是说，总和为180度。这些角度不平行，因此光线不平行，如果它们不平行，它们必须相交。
现在我们有一个三角形，现在我们可以应用三角形角和定理。第三个角度必须为180度− （41+76）=63，所以$latex\triangle A B C$正是我们要找的三角形。
这个论点可以推广到任何三个180度的角度测度都可以构成一个三角形，一个直接的结果是很容易找到角度测度（以度为单位）都是有理数的三角形。从任意两个正有理数开始，其和小于180；叫他们x和y，然后叫180− （x+y）也是一个有理数，因为x+y+（180− （x+y））=180，你可以用这三个有理角做一个三角形。
尽管用有理角度制作三角形很容易，但事实证明，一个类似的三维问题是如此具有挑战性，以至于世界上最好的数学家花了几十年时间才解决。是什么让这种问题在一维上变得如此困难？要理解这一点，就要更加理解三角形角和定理。
三维中的相关问题涉及四面体——三角形面的四边形。你可以把它们想象成三角形的三维版本。在二维空间中，三角形是最简单的闭合形状，你可以用平边来做，你需要三条线段来做。在三维空间中，四面体是最简单的封闭形状，你可以用平面来做，它需要四个三角形面来做。
四面体的四个三角形面就像三角形的三条边。但是我们应该如何考虑角度呢？你可以想象四面体的四个顶点各有一个“立体角”。但我们感兴趣的问题涉及相交面形成的“二面角”。
如果你画两个相交的平面，你会发现许多可以测量的不同角度。你应该选择哪一个来表示二面角？
答案是旋转相交的面，直到它们看起来像一个二维角度。
在四面体中，四个面中的每一个面与另一个面相交，形成六条边和六个二面角。几十年来，数学家一直在想什么样的四面体有六个有理二面角。如前所述，如果角度的度度量是有理数，则认为角度是有理的。这相当于它的弧度度量是π的有理倍数（要查看等价性，请注意，要将度度量从度转换为弧度，需要将度度量乘以$latex\frac{\pi}{180^{\circ}}$，因此如果度度量是有理的，那么弧度度量是π的有理倍数，反之亦然。）
我们已经看到了用有理角制作三角形是多么容易，但对于四面体来说，问题要复杂得多。考虑下面一个简单的四面体$Talk O.A，A BC $，它是从一个立方体的一个角落中形成的。
现在我们看到这个四面体中的三个二面角是直角，因为它们是由立方体的面形成的。可以方便地用边来识别每个二面角，所以在这个四面体中，$latex OA$、$latex OB$和$latex OC$上的二面角都是直角。
如果切割立方体，使$latex OA$=$latex OB$=$latex OC$，则$latexAB$、$latexAC$和$latexBC$处的二面角都是一致的。让我们切割立方体，使$latex OA$=$latex OB$=$latex OC$=1，然后计算$latex BC$处的二面角度量。测量这个二面角的关键是从$latex O$和$latex A$到$latex BC$的中点绘制线段。我们把这一点叫做$M$。
如果我们旋转四面体，从侧面看$latex BC$处的二面角，我们将看到$latex\angle A M O$，它具有相同的度量。要测量$latex\angle A M O$，我们需要长度$latex OA$和$latex OM$。我们已经知道$latex OA$=1，要找到$latex OM$，我们只需要仔细看看三角形$latex\Delta O C B$。
因为$latex\angle bo C$是直角，这是一个直角三角形，所以我们可以使用毕达哥拉斯定理来找到$latex BC$=$latex\sqrt{2}$。因为$latex M$是$latex BC$的中点，所以我们知道$latex MC$=$latex\frac{\sqrt{2}}{2}$。但是除了是直角三角形，$latex\Delta O C B$也是等腰的，因为$latex OB$=$latex OC$。这使其成为45-45-90三角形，这意味着$latex\angle OBC$和$latex\angle OCB$都测量45度。$latex\Delta O C B$是等腰的事实保证了$latex OM$与$latex BC$垂直，这使得$latex\Delta O M C$也是直角三角形。但是如果$latex\angle OmC$=90°，而$latex\angle OcB$=45°，那么三角角和定理告诉我们，$latex\angle MoC$=45°。这使得较小的三角形$latex\Delta O M C$等腰，所以$latex OM$=$latex MC$=$latex\Fract{2}}{2}$。
现在我们终于可以找到$latex\angle A M O$的度量值了。
在$latex\Delta A M$中，我们知道$latex AO$=1和$latex OM$=$latex\frac{\sqrt{2}}}{2}$，由于$latex\angle A O M$是直角，我们可以应用三角学。在直角三角形中，角的切线是对边和相邻边的比值：
因此，$latex\angle A M O$的度量值是$latex\sqrt{2}$的反切线或反正切。这是一个无理数，所以这不是一个有理四面体的例子，因为它的三个角不是有理的。尽管这不是我们想要的，但这个无理四面体可以告诉我们一些关于寻找有理四面体的重要信息。
为了了解这一点，让我们找到无理四面体中所有二面角的近似和。使用计算器或三角表，我们发现$latex\angle a M O$的近似测量值约为54.74度。
现在我们可以求四面体的六个二面角的和：$latex OABC$：三个是正确的（测量90度），另外三个都与我们刚刚发现的角一致。因此，该四面体中六个二面角之和约为3×90°+3×54.74°≈ 434.22°.
这就是事情的转折点。让我们回到立方体，与其切割成$latex OA$=$latex OB$=$latex OC$，不如想象一下从角落里切下一片非常薄的东西。
这个新四面体在$latex OP$，$latex OC$，$latex OB$处仍然有三个90度的二面角，但其他的二面角已经改变。$latex BC$的角度现在看起来很小，$latex PB$和$latex PC$的角度看起来更像$latex OB$和$latex OC$的角度。
事实上，如果继续使用越来越薄的切片，$latex P$将接近$latex O$，二面角$latex BC$将接近0度，$latex PB$和$latex PC$的二面角将分别接近90度。注意角度的近似和：
当$latex P$接近$latex O$时，四面体的六个二面角之和接近450°。这意味着角度的总和在变化！在我们最初的四面体$latex OABC$中，二面角测量值加起来约为432°，但当我们改变角度时，整体总和会改变。在某些方面，四面体可能是三角形的3D版本，但在某种程度上，它是完全不同的：没有四面体二面角和定理保证角和是常数。
事实证明，我们能做的最好的事情就是保证一个四面体的六个二面角的测量值之和在360到540度之间。如果你在寻找具有有理二面角的四面体，这是个问题。你不能只选择五个有理角，然后确保第六个角是自动有理的，因为与三角形不同，你不知道和应该是什么。
更糟糕的是，你不能确定任何六个角都可以是四面体的二面角。考虑五个直角和锐角。这六个角度的总和在450到540度之间，这在四面体的可接受范围内。但是没有一个四面体有这六个角度。如果六个二面角中有五个是正的，那么其中一个面必须有三个正二面角。但如果发生这种情况，这些面就无法闭合并形成一个四面体：就像平行线一样，它们永远不会相交。
因此，找到所有可能的有理四面体的问题需要的远不止是找到五个或六个具有一定总和的有理数。除此之外，它还需要解一个包含105项的方程，其灵感来自约翰·康韦和安东妮亚·琼斯1976年的一篇论文。一群数学家在2020年完成了这项工作，其结果是对所有有理四面体进行了完整的分类。
三角形角和定理是欣赏三角形的美丽和优雅的众多原因之一。对于四面体来说，缺少这样一个定理是欣赏它们的美丽和复杂性的一个原因，一维向上。
2.正四面体中六个二面角的（近似）和是多少？
3.想象一个正四面体坐在桌面上。当你把上顶点向下推到下表面时，六个二面角之和会发生什么变化？
4.任何四个360度的角度测量值都可以是四边形的角度吗？
一个立方体有12条边，所以有12个二面角。每个都是一个直角，因此总和为12×90°=1080°。
所有六个二面角都是全等的，因此可以使用适当的直角三角形来找到其中一个二面角的度量。正四面体的所有面都是等边三角形，因此面的中位数（从顶点到中点的线段）的长度为$latex\frac{\sqrt{3}{2}s$，其中s是边长。这是所需三角形的斜边。从四面体顶部顶点开始的高度在其质心处与底部等边三角形面相交，已知该面位于从中点开始沿着中间带的$latex\frac{1}{3}$，使得该三角形的这段长度为$latex\frac{1}{3}$×$latex\frac{3}{2}$。二面角是这两条边之间的角，因此等于$latex\frac{1}{3}\times\frac{3}{2}s}{\frac{3}{3}s}{\frac{3}{2}s}$=$latex\Fract{1}{3}$$。自$latex\arccos\frac{1}{3}$≈ 70.53°，正四面体的六个（全等）二面角之和约为6×70.53°≈ 423.18°.
随着四面体变平，底面上的三个二面角分别接近于零，其他三个二面角分别接近于180度，总和为3×0+3×180°=540°。这是四面体中二面角的最大可能和。为了达到最小可能的总和，想象一下将两条相对的边推向对方：这将使四个角变为0，两个角变为180。
对假设测量值为a、b、c和d，a+b+c+d=360。假设a和b都小于或等于c和d。将c分解为C1和C2，并将d分解为D1和D2，这样c=C1+C2，d=D1+D2，a+C1+D1=180，b+C2+D2=180（可以用许多不同的方式自由地进行）。使用这两组角度创建两个三角形，并进行调整，以使与角度a和b相对的边全等。现在把它们放在一起，让C1和C2合并成c，D1和D2合并成d，这样你就得到了a，b，c和d的四边形。
一个有趣的挑战是考虑四边形是否总是以特定的角度构造。
本专栏已被修改，以纠正印刷错误。3 × 90° + 3 × 54.74°≈ 434.22°（不是432.22°）。