传统的拓扑绝缘体支持的边界态的维数比承载它们的体系统的维数低，并且由于量子化体偶极矩，这些状态在拓扑上受到保护。最近，由于体四极矩或八极矩的量子化，高阶拓扑绝缘体被提出作为一种实现拓扑状态的方法，其维数比体四极矩或八极矩低两个或更多。然而，所有这些建议以及实验实现都局限于真实的空间维度。在这里，我们在合成维中构造光子高阶拓扑绝缘体（PHOTIs）。我们展示了在一系列具有合成频率维度的调制光子分子中出现的支持拓扑保护角模的四极光，其中每个光子分子包含两个耦合环。通过改变相邻耦合光子分子之间调制的相位差，我们预测了光子晶体中的动态拓扑相变。此外，我们还证明了合成维数的概念可以用来实现更高阶的多极矩，例如在4D超立方合成晶格中支持0D角模的四阶十六极绝缘体（16极），这在真实空间晶格中是无法实现的。
二维和三维的传统拓扑绝缘体分别支持无间隙的边缘态和表面态，它们受到了体的非平凡拓扑的局部扰动的保护。这些无间隙态的存在是由体边界对应关系保证的，它们的维数比承载它们的体的维数低。最近，人们提出了高阶拓扑绝缘体（HOTI）的概念来推广这种体边界对应关系，揭示了拓扑态的存在，其维数比体的低两个或更多。一般来说，D维中的n阶拓扑绝缘体支持共维n的（D-n）维拓扑边界模式。第一个这样的预测是具有间隙边态的二阶拓扑绝缘体中的零维零能角态，这些零能量角态的存在是由量子化的体四极矩1保证的。这一理论预测紧随其后的是四极HOTI在几个系统中的实验实现，包括铋2、机械超材料3、声学4、5、电路6和光子学7。然而，理论上提出的和实验上证明的HOTIs都被限制在真实的空间维度，即空间周期晶格。
与真实空间维度不同，合成维度是通过耦合内部自由度形成的，这些自由度可以是光子的频率、到达时间或轨道角动量，或者超冷原子8、9的自旋。引入这些自由度之间的耦合，就可以在低维结构10、11、12中研究高维物理。合成维度研究的主要焦点一直是在简单结构中追求常规拓扑相位，例如在一维实空间阵列13、14、15、16、17中研究二维量子霍尔效应，或在二维平面阵列18、19中研究三维拓扑物理。此外，研究人员还研究了两个或两个以上的同时合成维度，以便在基本为0D的系统20、21、22、23、24中实现更高维度的物理。由于合成维数的概念非常适合于高维晶格中拓扑物理的研究，因此一个自然的问题是，HOTIs能否在合成空间中实现。
在这里，我们通过在合成维中构造光子高阶拓扑绝缘体（PHOTI）来肯定地回答这个问题。我们的系统由成对的环形谐振器组成，这些谐振器相互耦合形成一个阵列，实现了“光子分子”25、26的一维链。通过在环模之间的频率间隔处对光子分子中的两个环进行反对称调制，我们实现了沿合成频率维的晶格。一维调制光子分子阵列在合成频率维中形成四极光子，其中我们展示了拓扑非平凡角模的激发。通过改变相邻光子分子之间调制的相位差，我们展示了从具有非零量化四极矩的拓扑保护相位到具有零四极矩的相位的相变。此外，我们首次提出了一种十六极（16极）绝缘体，通过利用合成维数来创建在真实空间晶格中无法实现的4D超三次晶格，该绝缘体具有拓扑上非平凡的角模。我们的工作说明了使用合成维度的概念来探索奇异的新相的潜力，包括高维中的高阶拓扑绝缘体。
考虑图1A中的BealCaZAR-Belnvig -休斯（BBH）晶格作为一个例子，四极高阶拓扑绝缘体（HOTI）1。该晶格中的每个垂直1D条带是一个Su–Schrieffer–Heeger（SSH）条带27，耦合γ和λ的交替值分别代表细胞内和细胞间的跳跃强度。沿每个垂直条带的耦合符号相同，而相邻线之间的耦合具有π相位差。所有水平耦合都有正的实际值。因此，每个方格都有一个磁通量π。
四极拓扑绝缘体的紧束缚晶格。蓝色和红色线表示耦合强度的正实值和负实值。细线和粗线分别代表γ和λ量级的胞内和胞间耦合强度。每个垂直柱都是一个SSH带，具有相同的耦合强度符号，而相邻垂直线的耦合强度相位偏移为π。b使用调制耦合环（光子分子）在合成频率维度实现SSH条，J A（t）如式（1）所示。在没有调制和耦合的情况下，系统在b中的c模式结构具有由FSRΩ分隔的多组频率模式。耦合环系统或光子分子的d模谱。每组之间的频率差等于环之间的耦合常数2K。调制引入了超模之间的耦合。e b中的几个合成SSH条带可以与交替耦合强度γ和λ进行倏逝耦合，以实现a中的四极HOTI晶格。我们注意到，四环单元的调制模式具有四极性
我们表明，图1a中的模型可以通过使用合成维度的概念来实现。为了构造四极HOTI的每个SSH带，我们使用一对相互耦合的相同环形谐振器a和B，每个谐振器都带有电光调制器，如图1b所示。这样一对光子腔，无论有无调制，通常被称为“光子分子”25、26、28、29、30、31，类似于双原子分子。每个环都支持ωn处的纵向腔共振 = ω 0 + nΩ，由自由光谱范围（FSR）Ω/2π分隔 = VG/L，其中VG是光环中的群速度，L是光环长度（图1c）。在形成光子分子时，两个相同频率ωn的环的两个模式混合成频率ωn的对称和反对称超模− = ωn− K ≡ ω2m和ωn+ = ωn + K ≡ ω2m+1，其中K是环之间的耦合强度（图1d）。我们忽略了环对环耦合强度中的色散。因此，基于对称和反对称超模的光子分子的频率形成了一个间隔为2k和Ω的带−2 K.通过选择形式的调制
$$\begin{array}{20}{l}{J{A}\left（{t\phi}\right）=2A{0}{\cos}\left（{2Kt+\phi}\right）+2A{1}{\cos}\left[{\left（{mathrm{\Omega}-2K}\right）t+\phi right]；J{B}\left（{t\phi}\right）=-J{A}\left（{t\phi}\right）}\end{array}$$
可以用交替耦合强度a 0和a 1形成合成频率维度（见补充材料第一节）。请注意，在之前的工作13、32中，沿着合成频率维度获得的耦合强度对于单个调制环来说通常是均匀的。在这里，我们使用一对调制环来实现SSH条所需的非均匀交替耦合强度，因为不均匀间隔的模式可以通过调制2K和Ω的不同频率来解决−2K.反对称调制J B = − J A是由两个超模在相邻频率处的对称性相反所必需的。在本文的大部分内容中，我们假设
所以旋转波近似是有效的。在补充材料第二节中，我们确认了当满足等式（2）时，我们的合成尺寸方法在实现SSH条紧束缚模型方面的有效性。我们还表明，SSH模型的特征——指数局部化拓扑边态在中等调制强度A 1/K下保持不变 = 0.2甚至超过RWA，尽管紧约束模型崩溃了。最终，超强调制A 1/K的边缘态消失 = 1 33, 34.
接下来，为了形成图1a中四极绝缘体的完整2D晶格，我们形成上述空腔对的晶格，交替耦合强度γ和λ由沿水平轴的最近相邻空腔之间的各自耦合间隙确定（图1e）。该系统由具有实空间轴（x）和合成频率轴（m）的二维合成空间描述。调制的符号在相邻腔对之间切换（ψ = 0和ν = 式（1）中的π）来实现二维晶格13,35中每个格子的π通量。有趣的是，这种成对谐振器阵列的每个单元中的调制符号遵循四极模式，如图1e所示。选择调制强度以满足0 = γ和a1 = λ、 这确保了模型在x和m方向上的耦合强度大小是各向同性的。因此，实现了BBH模型，它具有时间反转对称性、两个镜像对称性（沿x和m方向）和反转对称性。重要的是，沿实轴和合成轴的两个镜像对称性不会相互转换，因为每个方格都存在π通量，这是由沿π1的x的所有相邻环对之间的相对调制相位所保证的。这导致系统中的量子化非零体四极矩。相对调制相位偏离π会破坏时间反转对称性。类似地，相邻环之间共振频率的无序破坏了相应的镜像对称性。补充材料第四节研究了高阶拓扑对这种破缺对称性的鲁棒性。
图1a中描述的四极HOTI模型的特点是存在共维数为2的四重简并零能角模，而边模是有间隙的，例如\（\left |{\gamma/\lambda}\right |<；1\）。在我们使用调制光子分子阵列的实现中，如图1e所示，这些中隙角模可以通过将外部波导耦合到阵列来激发（图2a-c）。这些角模的演示表明，我们确实在合成空间中构建了一个四极光子HOTI。由于这些角模只存在于有限格中，我们选择Mω = 计算中，沿频率轴有10个位置（五对超模），沿实空间水平轴有六个环（图2a-c）。频率轴的这种终止可以通过与半径小于主环半径Mω倍的环的强耦合来实现，以每Mω模式23在FSR中引起强烈的局部变化。或者，我们可以设计环形波导的色散，使FSR在Mω模式13之外强烈扰动，这使得等式（1）中的调制在这些Mω模式形成的有限晶格之外失去共振。
a–c使用外部波导选择性激发光子分子阵列中的角模、边模和体模的示意图。d在a–c中所示激励的不同输入频率失谐Δω下，受激环中的强度“（\left | a \ right | ^2”）。峰值出现在输入频率失谐处，对应于角、边、，e中的体模。实线表示旋转波近似下的紧束缚模型解[RWA，等式（2）]，带有γ/λ = 0.1. 点表示使用等式（1）中的调制的完整动态耦合模方程的解，其值为1/K = 0.05和0/A 1 = γ/ λ = 四极HOTI大有限晶格的0.1e能量本征谱。对于\（\left |{\gamma/\lambda}\right |<；1 \），系统显示了固定到零能量的拓扑保护角模式。对于\（\left |{\gamma/\lambda}\right |>；1\），拐角模式不再存在。f与d相同，但处于拓扑平凡区域γ/λ = 1.1. 当角模和边模不再存在时，在带隙中没有观察到峰值。受激环中的总振幅低于c中的振幅，因为激励扩散到体中。在γ/λ的角g、边h和体i处激发有限晶格时的g–i腔场强度 = 0.1. RWA结果与完整动力学方程的解吻合得很好。在\（\left |{\gamma/\lambda}\right |>；1\）的相同激发下，在平凡相中没有观察到这样的角或边局部化模。底部两行中的色标表示晶格中的稳态场振幅分布。蓝色虚线圆圈表示在每种情况下激发的晶格位置。γ/λ拓扑相位角激发的j晶格场分布 = 0.1，使用增加A 1/K值的完整动力学方程获得 = 0.2、1和2，均超出RWA的有效期[公式（2）]。场分布与基于RWA（单位：g）的角模激励的场分布显著不同，但对于中等调制强度A 1/K，仍然可以观察到角局部化 &书信电报； 1.k模拟强调了在平凡区域激发角点时，使用完整解和RWA获得的场分布的差异[a 0/a 1 = γ/ λ = 1.1]在超强调制下[A 1/K = 1]
图2d显示了用γ/λ在拓扑相激发光子分子阵列的结果 = 0.1. 我们可以通过以适当的频率（ωin）激励适当的环来观察角模、边模和体模 = ωm + Δω），其中m表示所需的频率模式，当该时间调制系统被视为Floquet系统时，Δω映射为准能量。请注意，合成晶格中单个位置的选择性激发需要两个环的同相（+模式，m偶数）或异相激发(− 模式，m奇数），因为每个光子分子中的模式是孤立环模式的对称和反对称组合（图2a-c）。对于角模激励，我们选择激励频率ωin的最左边的一对环 = ωm=0 + Δ ω. 我们观察到Δω的峰值 = 0，因为中间带角模被固定为零能量，与图2e所示的本征谱一致。峰值的展宽是由于与外部波导的耦合速率为κex = 0.03 a1，由于 = 在每个环中假设κex。在图2d中，点表示使用等式（1）中的调制积分完整动力学耦合模方程的结果，而实线表示RWA下的解。这两种方法彼此非常一致，因为满足等式（2）：A 1/K = 0.05 ≪ 1和K = 0.15Ω. Δω合成晶格中相应的稳态场振幅分布 = 0如图2g所示，它在拐角处显示出强烈的本地化，RWA和完整解决方案之间具有极好的一致性。对于边模激励，我们选择相同的一对环，但将ω改为ωm=7 + Δω和Δω/λ的观察峰值 ≈ ±0.5. 峰值之间的输出振幅为零，这表明边缘模式存在间隙。对于体激发，我们在阵列中心选择一对环，并在Δω/λ处观察到峰值 ≈ ±0.71，符合图2e中的本征谱。图2h，i显示了在边模和体模各自失谐Δω下激发时，合成晶格中相应的场振幅分布，RWA和完整解在所有情况下都有合理的一致性。相比之下，在平凡区域γ/λ = 1.1，我们没有观察到中间带峰，因为角模不再存在。事实上，即使对于有限晶格，带隙中也没有模式（图2f）。在实验上，通过对最左边的一对环形腔输出进行频率分辨检测，可以绘制出对应于角态和边缘态的场分布。外差探测可用于此目的，如我们最近的实验22、36所示，方法是用输入激光的频移部分敲打腔输出。
为了进一步探索合成维方法在实现四极HOTI中的有效性，我们研究了角激励下的场分布，以增加调制A1的强度，使其超过RWA的有效性[Eq.（2）]，如图2j，k所示。对于A1/k = 0.2，图2j中的稳态场分布与图2g中的RWA解不同，但角点局部化（非平凡高阶拓扑的特征）仍然可以观察到33。用于超强调制[A 1/K = 1和2]，随着反向旋转项变得不可忽略，磁场沿合成维度显著穿透边缘。沿真实空间轴向体中的穿透不太显著，因为在该方向上没有依赖于调制强度的反向旋转项。在图2k中，我们展示了平凡区域[γ/λ]中的场分布 = 1.1]用于超强调制。尽管从RWA和完整动力学解中获得的场模式不同，但两者都显示出显著的向体渗透。
合成维的概念通过分别改变调制的强度和相位，在动态重新配置跳跃振幅和相位方面提供了极大的灵活性。我们利用这种灵活性展示了在具有量子化体四极矩的区域和不具有四极矩的2D SSH阶段之间的拓扑相变，这两个阶段分别发生在每个格子π和0通量的情况下。零通量晶格（2D SSH模型）具有四极绝缘体的所有对称性，即它对平移、反射（关于x和y）和时间反转操作是不变的。虽然这确保了体四极矩是量子化的，但它的值为零。事实上，在这个模型中，在零能量下甚至没有体禁带，这意味着体不是绝缘的。我们的光子分子阵列可以通过改变相邻分子上调制之间的相对相位来实现这种通量变化（图3a）。在图3中，我们绘制了能量
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