所以你需要解2x2− 3 x=2\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}2x^2-3x=2 x 2− 3x=2。你还记得“二次型”这个词和类似于4 a c的东西吗− B2\def\A{\red{A}}\def\b{\blue{b}}\def\C{\green{C}}\sqrt{4ac-b^2}4 A C− b 2 … 还是+B2\def\A{\red{A}\def\b{\blue{b}}\def\C{\green{C}}+b^2+B2？😨
别再试图记住二次公式了！在这个互动教程中，你将和我一起重新发现二次公式，你再也不用记住它了！💪
首先让我们提醒自己二次公式解决的问题。二次方程是这样的，对于某些特定常数A\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}\def\C{\green{C}\A，B\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}\def\C{\green{C}\B和C\def\green{A}\def\B}\C}C}：
例如，2x2− 3 x=2\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}2x^2-3x=2 x 2− 3 x=2是一个二次方程。它的A\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}\A，B\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}\def\C{\green{C}\B和C\def\A{red A}\def\B{blue{C}\C}\C}的值是什么？
小心负号。重新排列2x2− 3 x=2\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}2x^2-3x=2 x 2− 3 x=2的形式为A x 2+B x+C=0\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\red{A}x^2+\blue{B}x+\green{C}=0A x 2+Bx+C=0。可以通过从两侧减去2\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}2来实现。你最终得到了2x2+（）− 3）x+（− 2）=0\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\red{2}x^2+\blue{3}x+\green{-2}=02x2+− 3）x+（− 2 ) = 0 .
“解”一个二次方程意味着找到使方程两边相等的x\def\a{\red{a}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x的值。x\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x的这些特殊值称为根🥕 方程的一部分。再考虑我们的二次方程，2×2− 3倍− 2=0\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\red{2}x^2-\blue{3}x-\green{2}=0 2 x 2− 3倍− 2 = 0 . 哪一个不是根？
实际上，x=− 1 2\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x=-\tfrac{1}{2}x=− 2 1 是一个根，你可以把它插入方程中看到：
2x2− 3倍− 2 = 2 ( − 1 2 ) 2 − 3 ( − 1 2 ) − 2 = ( 2 × 1 4 ) + 3 2 − 2 = 1 2 + 3 2 − 4 2 = 1 + 3 − 4 2=0\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\begin{align*}\red{2}x^2-\blue{3}x-\green{2}&；=\红色{2}（\tfrac12）^2-\blue{3}（\tfrac12）-\green{2}\\\\&；=（2次\tfrac14）+\tfrac32-2\\&；=\tfrac12+\tfrac32-\tfrac42\\\&；=\tfrac{1+3-4}2\\\&；=0\\\end{align*}2 x 2− 3倍− 2. = 2 ( − 2 1 ) 2.− 3 ( − 2 1 ) − 2 = ( 2 × 4 1 ) + 2 3 − 2 = 2 1 + 2 3 − 2 4 = 2 1 + 3 − 4. = 0
实际上，x=2\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x=2 x=2是一个根，你可以把它插入方程中看到：
2x2− 3倍− 2 = 2 ( 2 ) 2 − 3 ( 2 ) − 2 = ( 2 × 4 ) − 6.− 2 = 8 − 8=0\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\begin{align*}\red{2}x^2-\blue{3}x-\green{2}&；=\红色{2}（2）^2-\蓝色{3}（2）\绿色{2}\\\&；=（2次4）-6-2\\\&；=8-8\\\&；=0\\\end{align*}2 x 2− 3倍− 2. = 2 ( 2 ) 2 − 3 ( 2 ) − 2 = ( 2 × 4 ) − 6.− 2 = 8 − 8 = 0
通过将x\def\a{\red{a}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x的值插入二次方程，可以快速检查该值是否为根。上面，插入x=2\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x=2 x=2或x=− 1 2\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x=-\tfrac12 x=− 2 1 给出有效的方程0=0\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}0=0，因此它们都是根。但插入x=− 2\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x=-2 x=− 2给出了无效的等式12=0\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}12=0 12=0，因此它不是根。
不幸的是，尝试x\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x的随机值并不是找到根的有效方法！
与其插入随机猜测，不如插入合理的猜测。这张图表是寻找合理猜测的有用工具。（稍后，我们会发现该图也有助于推导二次公式！）
让我们解另一个二次方程：− 1 x 2− 1 x+2=0\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\red{-1}x^2\blue{-1}x+\green{2}=0− 1 x 2− 1 x+2=0。接下来，我们将把我们的猜测绘制在一个图表上，如下所示：
这里，我们正在绘制y=− 1 x 2− 1 x+2\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}y=\red{-1}x^2\blue{-1}x+\green{2}y=− 1 x 2− 1 x+2。我们的目标是找到一个x\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x，其中y=0\def\A{\red{A}\def\B{blue{B}\def\C{green{C}y=0，因为这将解决我们的方程。我们已经猜了几次了✘ \def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}\red{✘} ✘ 标志。我们猜到了什么？
不完全是：这些是y\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}y值。我们做了两次猜测，x=0\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}\def\C{green{C}}x=0x=0和x=2\def\A{\red{A}\def\B{blue{B}\def\C{green{C}x=2x=2，我们计算了y\def\A{red{A}}\def\B{blue{B}}\def\C{green{C}}y-值y=2\def\A{red{A}\def\B{blue{B}\def\C{green{C}y=2和y=− 4\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}y=-4 y=− 4.对于x=0\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x=0 x=0，我们计算了y=2\def\A{\red{A}\def\B{blue{B}\def\C{green{C}y=2 y=2：
y=− 1 x 2− 1 x+2=− 1 ( 0 ) 2 − 1（0）+2=0+0+2=2\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\begin{align*}y&；=\红色{-1}x^2 \蓝色{-1}x+\绿色{2}\\\\&；=\红色{-1}（0）^2\蓝色{-1}（0）+\绿色{2}\\\&；=0+0+\green{2}\\\&；=2\\\结束{align*}y = − 1 x 2− 1 x+2=− 1 ( 0 ) 2 − 1 ( 0 ) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2
同样地，对于猜测x=2\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x=2 x=2，我们计算了y=− 4\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}y=-4 y=− 4 :
y=− 1 x 2− 1 x+2=− 1 ( 2 ) 2 − 1 ( 2 ) + 2 = − 4.− 2 + 2 = − 4\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\begin{align*}y&；=\红色{-1}x^2 \蓝色{-1}x+\绿色{2}\\\\&；=\红色{-1}（2）^2\蓝色{-1}（2）+\绿色{2}\\\&；=-4-2+\绿色{2}\\\&；=-4\\\结束{align*}y = − 1 x 2− 1 x+2=− 1 ( 2 ) 2 − 1 ( 2 ) + 2 = − 4.− 2 + 2 = − 4.
这两次猜测都没有成功：他们没有解出方程式− 1 x 2− 1 x+2=0\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\red{-1}x^2\blue{-1}x+\green{2}=0− 1 x 2− 1 x+2=0。一个成功的猜测——也就是根——在我们的图表上会是什么样子？
相反。y轴是x=0\def\A{red{A}}\def\B{blue{B}}\def\C{green{C}}y轴上的一组点，其中x=0\def\A{red{A}\def\blue{B}\def\C{green{C}x=0，因此✘ \def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}\red{✘} ✘ 在y轴上，猜测x=0\def\A{red{A}\def\B{blue{B}}\def\C{green{C}}}y轴上的x=0\def\A{red{A}\def\B{blue{B}\def\C{green{C}x=0。
我们正在努力解决这个问题− 1 x 2− 1 x+2=0\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\red{-1}x^2\blue{-1}x+\green{2}=0− 1 x 2− 1 x+2=0。我们正在策划y=− 1 x 2− 1 x+2\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}y=\red{-1}x^2\blue{-1}x+\green{2}y=− 1 x 2− 1 x+2，所以找到一个y=0\def\a{\red{a}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}y=0 y=0的点就可以解决我们的方程。
x轴是一组点，其中y=0\def\A{red{A}}\def\B{blue{B}}\def\C{green{C}}x轴是一组点，其中y=0\def\A{red{A}\def\B{blue B}\def\C{green{C}y=0。所以✘ \def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}\red{✘} ✘ 在x轴上，x轴是方程的根。
使用图表，我们错误的猜测可以帮助我们选择更好的下一个猜测。要了解原因，请绘制y=− 1 x 2− 1 x+2\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}y=\red{-1}x^2\blue{-1}x+\green{2}y=− 1 x 2− 1 x+2表示剩余范围− 5.≤ 十、≤ 5\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}-5\leq x\leq 5− 5.≤ 十、≤ 5.它看起来像以下哪条曲线？（你可能想要拿纸和铅笔。）
这不是曲线B\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\green{\bold B}B。例如，尝试x=− 3\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x=-3 x=− 3.你应该从哪里得到y=− 4\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}y=-4 y=− 4.这远远不是重点（x=− 3，y=4）\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}（x=-3，y=4）（x=− 3，y=4）在曲线B\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}\def\C{\green{C}}\green{\bold B}B上。如果你正确地绘制了所有的点，你会发现它们沿着上面的曲线C\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\orange{\bold C}C。
这不是曲线A\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\purple{\bold A}A。尝试例如x=5\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x=5 x=5，在这里您应该得到y=− 28\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}y=-28 y=− 28 . 这离点很远（x=5，y=− 3）\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}（x=5，y=-3）（x=5，y=− 3）在曲线A\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\purple{\bold A}A上。如果你正确地绘制了所有的点，你会发现它们沿着上面的曲线C\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\orange{\bold C}C。
不，这是C\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}\def\C{\green{C}}\orange{C}C与y轴的交点。我们想要C\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\orange{C}C与x\def\A{\red{A}\def\B{blue{B}\def\C{green{C}x轴的交点。这些交叉点位于x=− 2\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x=-2 x=− 2和x=1\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x=1 x=1。
这是一个根，但在（x=− 2，y=0）\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}（x=-2，y=0）（x=− 2，y=0）。
请注意，曲线C\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\orange{\bold C}C遵循倒置的“碗”形状🥣. 如果你再画一些二次曲线，你会发现它们都遵循类似的“碗”或“U”形。它可以翻转过来，或向上或侧向移动，或水平或垂直挤压。但它总是一个“碗”形，叫做抛物线。
做得好。D\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\green{\bold D}D不能是二次型，因为它有一个“S”形。
一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家和一个国家的一个国家的一个国家和一个国家的一个国家的一个国家和一个国家的一个国家和一个国家的一个国家的一个国家和一个国家的一个国家和一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家和一个国家和一个国家的一个国家的一个国家和一个国家的一个国家和一个国家的一个国家的一个国家的一个国家和一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家和一个国家的一个国家和一个国家的一个国家的一个国家和一个国家的一个国家和一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一个国家的一}A恰好是颠倒的）。B\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\orange{B}B也可以是非常拉伸的抛物线的一部分。但是曲线D\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\green{\bold D}D有一个“S”形，所以它不可能是二次曲线。
知道二次曲线总是形成“U”形有助于我们做出更好的猜测。在下面的二次曲线图中，我们已经做了三个猜测：
不，这不行。只有一个“U”形可以穿过这三个点，而唯一的x\def\a{\red{a}\def\B{\blue{B}\def\C{\green{C}}x-看起来可以工作的值是x=2\def\a{\red{a}\def\B{blue B}\def\C{green{C}x=2 x=2：
正当只有向上的“U”形才能穿过这三个点，如下所示：
所以，图表可以帮助我们做出更好的猜测，但我们仍然只是在猜测。这也没有效率！相反，二次公式将为我们提供一种有效的方法来找到任何二次方程的所有根。
这确实满足P×Q=0\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}P\times Q=0 P×Q=0，但还有更多的解决方案！例如，P=5\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}P=5p=5和Q=0\def\A{\red{A}\def\blue{B}\def\C{\green{C}Q=0。你可以把所有可能的解决方案都写在一张大表格里，让它们形象化：
结果是在P=0\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{green{C}}P=0p=0列和整个Q=0\def\A{\red{A}\def\B{blue{B}\def\C{green{C}Q=0行上都是零。因此，只要其中一个值为零，另一个值可以是任何值。
你很快就会发现，这是一个二次方程！但它的解决方案是什么？
不，实际上就像上一个等式一样！我们可以让P=x− L\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\orange{P}=\orange{x-L}P=x− L和Q=x− R\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\pink{Q}=\pink{x-R}Q=x− R如果P=0\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\orange{P}=0 P=0，那么x− L=0\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\orange{x-L}=0 x− L=0。如果Q=0\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\pink{Q}=0 Q=0，x− R=0\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\pink{x-R}=0 x− R=0。
你可以稍微简化一下这些解决方案。重新安排一下，你会得到什么？
小心负号。以x为例− R=0\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}}x-\pink{R}=0 x− R=0，将R\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\pink{R}R添加到两侧。你应该得到x=R\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x=\pink{R}x=R。
方程（x− L）（x）− R=0\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\orange{（x-L）}\pink{（x-R）}=0（x）− L）（x）− R）=0实际上是一个二次曲线！你可能还记得如何“乘出”括号，比如：
a=xb=− lc=xd=− R\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\begin{align*}A&；=x\\b&；=-\橙色{L}\\c&；=x\\d&；=-\粉色{R}\\\结束{align*}a b c d = x=− L=x=− R
(十)− L）（x）− R）=x+x（− R）+（− L）x+（− L（− R）=x2+（− L− R）x+L R=x2− （L+R）x+L R\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}\begin{align*}（x-\orange{L}）（x-\pink{R}）&；=xx+x（-\pink{R}）+（\orange{L}）x+（\orange{L}）（\pink{R}）\&；=x^2+（\orange{L}-\pink{R}）x+\orange{L}\pink{R}\\\&；=x^2-（\orange{L}+\pink{R}）x+\orange{L}\pink{R}\end{align*}（x）− L）（x）− R） = xx+x（− R）+（− L）x+（− L（− R）=x2+（− L− R）x+L R=x2− （L+R）x+L-R
正当当相乘时，负数会抵消，我们可以考虑系数a− x\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}-x− 两个中间术语中的x。
不，比那简单！早些时候，您找到了（x）的解决方案− L）（x）− R=0\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}（x-\orange{L}）（x-\pink{R}）=0（x− L）（x）− R=0是x=L\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}x=\orange{L}x=L或x=R\def\A{\red{A}\def\B{blue{B}\def\C{\green{C}x=\pink{R}x=R。你发现了（x− L）（x）− R）\def\A{\red{A}}\def\B{\blue{B}}\def\C{\green{C}}（x-\orange{L}）（x-\pink{R}）（x− L）（x）− R）可以重新排列为x2− （L+R）x+L R\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}\def\C{\green{C}}x^2-（\orange{L}+\pink{R}）x+\orange{L}\pink{R}x2− （左+右）x+右。重新排列一个方程不会改变它的解，所以解仍然是一样的：x=L\def\A{\red{A}\def\B{\blue{B}\def\C{\green{C}}x=\orange{L}x=L或x=R\def\A{\red{A}\def\B{blue B{B}\C}\C{green{C}x=\R}。
x2− （L+R）x+L R=0 L 2− （L+R）L+L R=0 L 2− （L2+RL）+LR=0L2− L2− 3.R+L R+L R+L L R+L R+L R+L R+L R+R+R+R+R+L+R+R+L+R+L+L+R+R+L+R+L+R+L+L+L+L+L+R+0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0{{{B}}}.......................................................................................................................................+\pink{R}\orange{L}）+\orange{L}\pink{R}=0\\ orange{L}^2-\orange{L}^2-\pink{R}\orange{L}+\orange{L}\pink{R}=0\\0=0\end{align*}x2− （L+R）x+L R=0 L 2− （L+R）L+L R=0 L 2− （L2+RL）+LR=0L2− L2− RL+LR=0 0=0
a2+bx+C=0x2− （L+R）x+lr=0\def\A{red{A}}\def\B{blue{B}}\def\C{green{C}}\begin{align*}\red{A}x^2+\blue{B}x+\green{C}=0\\x^2-（\orange L{L}+\pink{R}）x+\orange L{pink{R}=0\end{A}− （L+R）x+L R=0
是的，这是一个二次方程！但是它的值是什么呢
......