Gödel初创公司的不完全性(2013)

每年都有几千家初创企业在硅谷孵化。他们中很少有人会成功，其余的会衰败或彻底失败。然而，似乎总有空间再容纳一家价值10亿美元的公司。最成功的初创公司除了看起来无缘无故之外，也是最不可预测的。似乎是什么力量创造了这些最初看起来像是除了创始人之外的每个人都是“坏主意”的巨大财富来源？

你可能会忍不住说“黑天鹅”，你是对的；然而，除了简单地接受非常罕见的随机事件之外，对于一个不断产生新机会的过程，还有更深层次的数学影响。了解这种影响力将有助于任何初创公司创始人或投资者提高自己的商业洞察力。为了更好地理解这些概念，我们将进行一次涉及非常基础的逻辑和数学的长途旅行。

我通常每年都会抽出时间去看看大约200家初创企业。推荐人来自其他投资者、我指导的初创公司创始人，或通过YCombinator&；500 Startups的大规模演示日。正如你可以想象的那样，这创造了大量的初创企业和创新想法可供研究。每一家创业公司都提出了一个终极问题：投入你的时间和金钱值得吗？还是两者都浪费了？没有足够的时间来深入研究任何一家初创公司，以便完全理解它。作出投资并不是一个容易或显而易见的决定。然而，多年来，我开始注意到所有初创公司共有的某些元模式，这些模式给出了一个诱人的预兆，预示着它们的成功或失败的可能性。一个行业或投资周期的具体情况可能会改变，但这些模式在每十年都保持不变。我认为它们是两大类模式：人类模式和数学模式。

人类的模式产生于我们的个人特征。一家初创公司能否克服与人类相关的挑战，取决于一个人或一个团队能在哪些方面取得成功或失败。结果何时将由个人努力的质量或数量来决定，这是一个很明显的迹象。你通常在硅谷初创公司的博客上看到的都是这样的人类模式。它将是数百个主题，涵盖使用哪种软件语言，如何挑选创始人，如何运营公司，如何构建产品，如何构建软件，什么是公司文化等。这些都是很好的内容，但它只解决了由人类特征驱动的模式，因此只是方程式的一半。

你很少听说的是“数学”模式。这些模式来自创业公司必须运营的现实的客观本质。市场动态，他们所处的行业生态系统，技术进步的主导趋势。一旦一家初创公司开始在现实世界中运营，绝大多数因素都将超出初创公司的直接控制甚至影响，同时对该初创公司的最终结果产生绝对主导的影响。除了现在传奇的黑天鹅1自2006年以来掀起了轩然大波之外，几乎没有关于初创公司形成和投资的数学基础的信息。通常，你得到的只是一句不可操作的声明，比如“90%的初创企业都会失败”，之后作者会立即回到人的因素上来，这更容易理解和分析。

为了帮助发展我们的数学直觉，我们将求助于传奇人物库尔特·戈德尔提供的最深刻的数学结果之一：第一不完全性定理。对大多数人来说，这似乎是关于形式系统的完备性和一致性的枯燥陈述。然而，在更深的层面上，在不完整的数学和创业中断之间有一个有趣的共同点。要了解初创企业是如何诞生、壮大还是失败，以及少数幸存者是如何成为遗留公司的，这一点至关重要。展示形式系统的不完全性数学与初创企业之间的这种深层联系将是本文的目的。

“(我)自己的工作不再有多大意义，我来研究所只是为了…。有幸和哥德尔一起走回家。“。

令人惊讶的是，哥德尔著名的定理在初创企业中几乎一无所知。考虑到所有对计算机科学、软件和初创公司有直接影响的数学知识，我很难提出比哥德尔的不完全性定理更强大的东西。

Y组合器是以Y组合器命名的，Y组合器是用于构造某些递归函数的最著名的定点组合器之一。然而，谁是第一个定义和使用递归函数的人呢？哥德尔。此外，不动点存在的证据是他工作中隐含的副作用。Y组合子是哥德尔证明的直系后代2。

考虑一下计算机科学的另一个基石，例如艾伦·图灵的停顿问题。他在普林斯顿大学工作时创造了这个定理，当时有关哥德尔近期结果的讨论主导了该研究所的数学辩论。图灵的证明是哥德尔工作的继续3。克莱恩、图灵和香农都站在侏儒大小的巨人哥德尔的肩膀上，当时他们正在追随他的开创性证明，发明现代计算机科学。我们将在本文后面更详细地回顾停机问题。

当你真正理解戈德尔实际证明的含义时，就像打开了一个充满奇妙洞察力的潘多拉盒子。这个定理的含义远远超出了逻辑和数学的范畴。最受追捧的问题的答案，比如：为什么一切都能变得更好？为什么有这么多初创企业是可能的，而且永远都是可能的？为什么我们建造的东西会随着时间的推移变得越来越复杂？为什么文明总是有提升的空间？

要回答这些问题，并看看所有这些东西是如何在数学上联系在一起的，你需要理解哥德尔的不完全性。

当然，哥德尔定理在数学界之外仍然相对鲜为人知是有原因的。几乎没有什么大问题。首先，戈德尔的证明是很难的。不是努力“学习新的计算机语言”，不是努力“做一个iPhone游戏”，真的很难。哥德尔并没有让理解他的定理的任务变得容易。他以内向著称，所以他更喜欢用他的证明的逻辑来为他说话。即使是数学教育在这里也没有多大帮助。例如，哥德尔提供了下面的预览，一个“草图证明”，他称之为“一种直觉”，让真正的证明遵循。

我们将定义一类自然数K如下：K={n∈IN|-可证明性(Rn(N))}n(其中可证明性(X)表示x是一个可证明性公式)。k是数n的集合，当你将n插入到它自己的公式Rn中时，得到的公式Rn(N)是可改进的。由于用于该定义的所有概念本身在PM中是可定义的，复合概念K也是可定义的，即存在一个类号S，使得公式S(N)表示n∈K。作为一个类号，S与特定的RQ相同，即对于特定的自然数Q，我们有S⇔RQ。现在我们将证明定理RQ(Q)在PM内是不可判定的。我们可以通过简单地插入以下定义来理解这一点：R Q(Q)⇔S(Q)⇔Q∈K⇔？(R Q(Q))，换句话说，R Q(Q)表示“我是可改进的”。

除非你是一位活跃的数学家，否则阅读并直观地理解他的证明几乎是不可能的。以防万一，如果你喜欢在这块令人惊叹的逻辑4磨刀石上磨尖你的数学牙齿，这里就再一次证明了这一点。

第二个，也是更大的问题是，理解证据不会对你有多大帮助。哥德尔的逻辑是如此陌生，如此奇怪，以至于即使理解形式演绎也不能帮助你理解这一现象的所有含义。哥德尔的证明就像一张带有“X标记地点”的地图，然而在这张地图上，把它与我们的现实联系起来的每一条边界都被撕掉了。你不知道那张地图指的是什么特定的区域。X在那里，宝藏当然在那里，但你实际上是如何使用它的呢？在具有讽刺意味的自我参照自我确认中，哥德尔的形式证明不能被正式理解。它需要一次直觉飞跃，才能解开它的秘密。在你实现这一飞跃之后，你对创业和创新的看法将会改变。这就是我们将努力开发的洞察力5。

哥德尔定理正在迅速被接受为对数学基础的根本贡献-可能是迄今为止发现的最基本的贡献。

任何…。能够表示初等算术的形式系统不可能既一致又完整。特别是，对于任何一致的、…。证明某些基本算术真理的形式系统，有一种算术陈述是正确的，但在理论上是不可证明的。

因为这里的大多数概念实际上都相当容易理解，所以让我们用我们的方法来解决这个问题。

正式的系统是很简单的事情。它们只是关于如何操作它们的公理和规则的集合。例如，让我们制定一些关于数字的公理：

每个号码都有一个后继号码，即一个号码。一个跟在零后面，两个跟在一个后面，以此类推。

如果我们继续写下这样的“不言而喻”的公理，我们就可以得出一组公理，称为皮亚诺公理。这些公理和几条操作规则将构成您在幼儿园学到的简单算术(如果不是更早的话)。

关于如何操纵公理以产生派生语句的公理和规则构成了正式系统。系统之间可能会有很大的不同。你可以只有几个关于数字的规则，然后就到此为止-然后你就只会得到基本的算术。或者，您可以继续添加规则和公理，只要它们不会使系统不一致。戈德尔的证明将适用于所有足够复杂的系统，包括幼儿园级的算术。你在现实世界和工作中遇到的大多数系统都会比算术复杂得多，因此属于哥德尔证明的范畴。

正式系统可以是一致的，也可以是不一致的。不一致的系统实际上毫无用处，因为在这样的系统中，任何事情都可以被证明。在现实世界中，您正在处理的大多数正式系统都是一致的，或者至少努力保持一致。一致性很重要，因为这意味着系统不能同时证明相互排斥的陈述，从而形成矛盾。例如，如果我的正式系统涉及天气预报，如果它同时证明“明天会下雨”和“明天不会下雨”，这就是系统不一致的迹象。6.可以构建出这样相互矛盾的预测形式系统，但很明显，实际预测明天会不会下雨对我们来说一点用处都没有。如果我们构建了一个一致的系统，那么证明“明天会下雨”也会证明“明天不会下雨”--这样的系统的所有推论都会相互一致。

例如，在你的创业公司中，你是如何做出付费营销活动的决定的？嗯，你可能没有什么公理(通常由你的首席财务官写在石碑上)和一些如何解读前一次活动数据的规则：如何进行A|B测试，如何根据这些数据做出推断，下一步该怎么做。我们生活的整个文明充满了努力(取得不同程度的成功)做到正式和一致的制度。投资基金使用复杂的金融交易系统，政府发布复杂的法规，人类试图将其周围的宇宙正规化的清单几乎是无穷无尽的：甚至可以想想圣经中著名的十条公理。你周围的一切都是演绎规则和“不言而喻”公理的集合，它们在很大程度上仍然是毋庸置疑的。

任何形式系统的前提是，通过使用系统的初始公理和它的演绎规则，你会得到新的真陈述。然后，您可以利用这些结果，再次对其使用规则和公理，从而得出更多的推论。显然，您的目标将是列出在给定系统中可以推导出的所有正确语句的列表。如果你想创建一个正式的系统，那就是一种新的商业模式，你需要结合算术公理来描述货币是如何运作的。进一步扩展您的业务模式，您将开始派生出额外的真实陈述，如“如果平均用户的生命周期价值高于平均用户获取成本，则用户获取活动将具有正套利”。

最后，我们当然希望我们的系统完整。这意味着对于系统中的每一条语句，你要么可以证明它，要么反驳它，然后保留所有真实语句的列表。这样，您就可以从给定的系统中学到所有可能学到的东西。如果你的商业计划包含一条公理“所有行动都应该增加终生利润”，那么你就可以尝试推导出所有关于如何赚更多钱的真实陈述。显然，我们想要得到一个完整的系统：如果有一些赚钱的方法，我们当然会想从我们的公理中推导出来，并了解它们！

“任何能够表达初等算术的形式系统都不可能既一致又完整。特别是，对于任何一致的形式系统，都有一种说法是正确的，但在理论上是不可证明的。

这意味着，无论我们多么努力地试图推导出一个给定理论的所有结果，总会有更多的真实陈述，更多我们在我们的正式系统中无法达到的结果。这些被称为Gödel陈述或G-陈述的陈述将在那里存在，完全真实和正确，在抽象中漂浮，但通过对我们给定的形式理论的演绎，完全可以改进。

现实世界太过凌乱和混乱，不能像纯数学形式系统的好的、干净的逻辑一样。然而，我们总是抱有乐观的希望，只要我们足够努力地工作，只要我们勤奋地解释所有的细节，如果我们做了需要做的事情：接受正确的教育，找到正确的合作伙伴，使用伟大的方法；在所有这些巨大的努力之后，我们肯定会找到下一个重大突破。我们希望有一种系统可以用来机械化我们在商业或生活中的成功。戈德尔证明这是完全错误的希望。没有一个系统是完美的：即使在最好的可想象的情况下，当你的行业可以被简化为纯粹的数学形式系统时(实际上这几乎是不可能的)，你仍然会被剥夺它的全部知识。当你充分认识到它们的全部程度时，这一结果的全部影响是令人震惊的。让我给你举一个简单的例子。

想象一下一个终极垄断者，他想要找到所有可能的方法从全球市场中榨取金钱和价值，并将其保留在他的商业帝国内。他就是服用类固醇的比尔·盖茨。他的经济学和商业的“正式体系”是什么？他想要什么都行。国会图书馆？好了。自公元前2000年以来的每一期“经济学人”，泥板版？用礼品包装送到他的办公室。他可以有正式的系统，只要他想要，只要他想表达，他小心翼翼地避免添加导致矛盾的公理。我们还将提供完整的Google-Plex或Gogolplex(随您选择！)。分析和分析所有这些数据的计算机，这将给他所有可能的真实陈述的清单，从那个系统8：所有的方式如何赚钱，创建新的有利可图的初创公司，所有的方式来创造价值。此外，他还投入了资金和人力，立即为这些初创企业配备工作人员，并使其成为运营企业。作为一个终极垄断者，这是一份相当酷的工作。

换句话说，我们的终极垄断者会不择手段地为自己抓住任何有前途的商业想法，并将他几乎无限的资源投入到这个机会中。当你想想现代的苹果、谷歌、Facebook和亚马逊时，这一描述与现实并不遥远。这些公司已经建造了令人惊叹的半正式9系统

然而，尽管有那么多正式的知识，创新的初创企业却一次又一次地从天而降。他们不断地让现任者措手不及，迫使他们支付数十亿美元来获得新的发现。无论是谷歌还是Facebook，任何人都会乐于首先抓住这些想法，为自己抓住新创新的所有好处，而不是花费数十亿美元收购一家颠覆性的初创公司。那他们为什么不能呢？阻止我们技术阴谋集团万亿美元资本实力的是一样的：哥德尔。

戈德尔已经证明，任何形式的“终极垄断者”仍然会失败。他的系统中有一些真实的陈述-换句话说，有新的想法和创业商业模式-这些永远不会在他的正式系统中得到证明。无论他将不断增加多少知识库，再增加多少资源或计算机到他的正式发现系统中，他仍然永远不会发现他的正式商业系统的每一条真实陈述(即每一种有利可图的模式)。终极垄断者最终总是松散的，因为他不能覆盖所有的报表，他不能使他的赚钱帝国完整。

我们越来越接近于回答这篇文章开始时提出的大问题。我们几乎已经准备好将数学洞察力应用于我们熟悉的创业、商业模式和创新世界。然而，省略数学细节将严重损害哥德尔证明令人惊叹的优雅。对于那些想要了解所涉及的数学知识的人，我创建了[特别部分]，其中包括一个轻量级的演练。在这一节中，我们还将介绍图灵停顿问题和康托对角线证明的基础知识，这将在后面对我们非常重要。请随意阅读哥德尔、图灵和康托：先读数学，或者继续我们的主要叙述。

在数学部分，我们刚刚回顾了哥德尔不完全性定理、著名的康托对角线证明和图灵停顿问题的技术细节。让我们为加入我们的读者快速回顾一下我们所学到的东西，而不需要阅读数学细节。

康托证明涉及无穷大的性质。它表明，即使在任何两个小实数之间，例如1.1和1.2之间，也有一个无穷大，以至于所有自然数(如1、2、3等)的无穷大也是如此密集。不足以全部清点。在实数的无穷大中，所谓的连续体的无穷远比所有可数自然数的无穷大更“强大”。

哥德尔告诉我们，无论我们构建多么漫长和复杂的形式系统，总会有正确但可改进的陈述。如果我们继续扩大我们的正式系统，使它们变得更大，那只会产生更多这样的“真实但无法证明”的哥德尔说法。

图灵告诉我们，有限的软件代码无法捕捉到无限的复杂性。软件本身不能被其他软件绑定或预测。“使用非常简单的软件，您可以创建非常复杂的行为，而查看这种复杂行为的结果的唯一方法就是让这样的软件运行，这可能需要。

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