数学问题中的奇特常数

迈克尔·卢戈(Michael Lugo)最近考虑了一个涉及随机分配泳道的问题，结果是：

如果我们计算的是大的！！n！！我们得到！！F(N)\sim 0.4323n！！，这与蒙特卡罗模拟…一致。常量！0.4323！！是$$\fras1{2(1-e^{-2})}。$$。

我喜欢这样的事情发生。电脑很擅长快速随机模拟，给你一些奇怪的数字，你根本不知道它的真正含义。但是数学技术可以揭开这个奇怪的数字的面纱，并知道它的真实身份。(“自始至终都是老曼哈斯金斯！”)。

几年前，数学堆栈交换(Math Stack Exchange)曾预计连续填满的箱子的数量和大小，虽然这并不完全是要求的，但我最终考虑到了这个问题：我们接受！！n！！然后把球随意扔进排成一排的！！n！！垃圾桶里。全空或全非空箱的最大连续序列称为“簇”。例如，这里有13个球，我将它们随机放入13个垃圾箱中：

在此示例中，有8个群集，大小为1、1、1、1、4、1、3、1。这是典型的吗？预期的群集大小是多少？

使用蒙特卡罗方法并找出时间是很容易的！！n！！较大时，平均群集大小约为！2.15013！！。你认识这个号码吗？我没有。

但是，分析计算并不难，并且会发现这大约是2.15013！实际答案是$$\fr1{2(e^{-1}-e^{-2})}$$，大约是！2.15013！！

(顺便说一句，我刚才试了一下逆符号计算器，但没有用。它也不在普劳夫的“杂项数学常量”中)。

(M·卢戈的问题和这个问题的答案中的表达式非常相似，这两个问题似乎确实相关，但从他的分析和我的分析来看，我看不出为什么答案应该有相似的形式。我需要更多地考虑这一点。)