向量空间的对偶性

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与$a_i$不同，实用的做法是将$\bv$的组件表示为$v^i$，即具有与对偶基的提升指数相对应的提升指数的相同符号的亮面：

实际上，这一约定与对偶性引起的对称性更相容，引入一形式的对偶基表示后，这一点会更加清楚。

证明：对于CV$中的任何$\bv\，$\be^i(\bv)$必须给出$v^i$，即$\bv$的$v^i$。设置$\bv=\be_j$，可以看到当$i=j$时，$\be^i(\bv)=v^i=1$，否则为零。

在几何上，\eqref{eq：dualbasis2}意味着一个基向量垂直于所有对偶基向量，除了它自己的对偶。

设$\Balpha$是$\Cv^\ast$中的一种形式，对应的对偶基为$\setveciup{\be}$。则类似于向量，$\Balpha$具有以下表示。

表示$\Balpha$在$\bv$上的作用，称为向量空间与其对偶之间的自然配对或对偶配对。要理解$\abrn{\cdot，\cdot}$并不表示$\cv$中的内积，即$\abr{\bv，\Balpha}$表示$\Balpha(\bv)$。

使用$\BE_I$是列向量而$\BE^I$是行向量的约定，\eqref{eq：dualbasis1}可以按以下方式重新排列。

示例：给定一个基数为$\be_1=[2，-0.5]\tra$，$\be_2=[1，1]\tra$的二维向量空间$\cv$，我们使用\eqref{eq：cultedualbasis1}进行计算

得到对偶基向量$BE^1=[0.4，-0.4]$和$BE^2=[0.2，0.8]$，结果如下图所示。

以曲线坐标嵌入$IR^2$中的体$\cb$，在$\bx$处的每个点$\cp$都有一个相关的二维向量空间，称为$\cb$在$\bx$处的切线空间，记为$\tang_\bx\cb$.。与坐标$\theta_i$对应的基$\be_i$不一定是正交的，由于曲线的缘故，它可以容纳相应的对偶$\be_i$，坐标在点的直接邻域上看起来是仿射的，因此在切线空间中也是仿射的。

对偶空间的引入允许我们将一种形式的$\Balpha$重新解释为驻留在对偶空间中的对象。事实上，典型对偶$\cv^{\ast\ast}=\cv$表示每个向量$\bv$都可以解释为空间$\cv^\ast$via上的泛函