数学爱好者：42号搭便车指南

每个人都喜欢未解之谜。例子包括1937年阿米莉亚·埃尔哈特(Amelia Earhart)在太平洋上失踪，以及1962年弗兰克·莫里斯(Frank Morris)和约翰·安格林(John Anglin)和克拉伦斯·安格林(Clarence Anglin)从加利福尼亚州恶魔岛大胆越狱。此外，即使这个谜团是基于一个笑话，我们的兴趣依然存在。以作家道格拉斯·亚当斯(Douglas Adams)1979年出版的科幻小说“银河系漫游指南”(The Pitchhiker‘s Guide to the Galaxy)为例。在书的最后，超级计算机“深度思维”揭示了“生命、宇宙和万物”这个“大问题”的答案是“四十二”。

深度思考需要750万年才能计算出最终问题的答案。负责得到这个答案的角色很失望，因为这个答案不是很有用。然而，正如计算机指出的那样，这个问题本身就是模棱两可的。要找到答案为42的查询的正确语句，计算机将不得不构建其自身的新版本。这也需要时间。新版本的计算机是地球。要弄清楚接下来会发生什么，你得读亚当斯的书。

作者选择的数字42已经成为极客文化的固定内容。这是同修之间互相开玩笑和眨眼的根源。例如，如果你问你的搜索引擎变体问题“什么是万能的答案？”它很可能会回答“42”。试试法语或德语。无论你使用谷歌，QWant，Wolfram Alpha(专门计算数学问题)还是聊天机器人网络应用Cleverbot，你都会得到同样的答案。

自从2013年法国创建了第一所这样的学校以来，“42网络”中的私人计算机培训机构激增，其名称显然是对亚当斯小说的暗示。如今，这家创始公司在其全球网络中拥有超过15个校区。数字42也以不同的形式出现在电影《蜘蛛侠：进入蜘蛛诗篇》(Spider-Man：Into the Spider-Verse)中。例如，可以在“42(数字)”的维基百科词条中找到对它的许多其他参考和典故。

数字42还出现在一连串奇怪的巧合中，其意义可能不值得我们费力去弄清楚。例如：

在古埃及神话中，在对灵魂的审判中，死者必须在42名法官面前宣布他们没有犯下42宗罪中的任何一宗。

42.195公里的马拉松距离与古希腊信使菲迪皮季斯在公元前490年为宣布战胜波斯人而在马拉松和雅典之间旅行的传说相对应。(当时公里还没有定义，这只会让连接更加惊人。)。

古代西藏有42位统治者。公元前127年左右在位的尼亚特里·曾波(Nyatri Tsenpo)是第一个。兰达玛在公元836年至公元842年(即9世纪第42年)统治，是最后一个。

“古腾堡圣经”是欧洲印刷的第一本书，每栏有42行文字，也被称为“四十二行圣经”。

3月6日，“经济学人”在纪念“银河系漫游指南”广播节目42周年之际发表的一篇博文称，“任何事情都很少有42周年纪念。”该节目就是在这部小说之前发布的“银河系漫游指南”(The Pitchhiker‘s Guide of the Galaxy)。

一个显而易见的问题是，在亚当斯的书中使用42是否对作者有任何特殊的意义，这一问题确实已经被问到了。他发布在在线讨论组alt.fan.douglas-adams上的回答很简洁：“这是个玩笑。它必须是一个数字，一个普通的、很小的数字，而我选择了那个数字。二进制表示法、以十三为基数、藏族僧侣都是胡说八道。我坐在办公桌前，凝视着花园，想着‘42英镑就够了。’我把它打出来了。故事结束了。“。

在二进制中，42被写成101010，这很简单，顺便说一句，这促使一些粉丝在2010年10月10日(10/10/10)举办派对。在亚当斯的回答中提到13垒需要一个更间接的解释。在一个例子中，这个系列建议42是问题的答案，“如果你把6乘以9，你会得到什么？”这个想法似乎很荒谬，因为6x9=54。但是在基数13中，用“42”表示的数字等于(4x13)+2=54。

除了计算机科学家为了好玩而刻意引入的42的典故，以及当你在历史或世界上四处走动时不可避免地会遇到它之外，你可能仍然会想，从严格的数学角度来看，这个数字是否有什么特别之处。

数字42有一系列有趣的数学特性。以下是其中一些：

这个数字是2的前三个奇数幂之和，即21+23+25=42。它是序列a(N)中的一个元素，序列a(N)是2的n个奇数次幂的n个奇数次方的和，对于nn>0。该序列对应于数学家尼尔·斯隆(Neil Sloane)创建的在线整数序列百科全书(OEIS)中的条目A020988。在基数2中，可以通过重复10n次(1010...10)来指定第n个元素。该序列的公式为a(N)=(2/3)(4n-1)。随着n的增加，数字的密度趋于零，这意味着属于该列表的数字(包括42个)非常罕见。

数字42是6的前两个非零整数幂之和-即61+62=42。序列b(N)是6的幂和，对应于OEIS中的条目A105281。它由公式b(0)=0，b(N)=6b(n-1)+6定义，这些数的密度在无穷远处也趋于零。

42是加泰罗尼亚人的数字。这些数字极其罕见，远远超过质数：前者中只有14个低于10亿。瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)以另一个名字最先提到了加泰罗尼亚数，他想知道通过将顶点与线段连接起来，一个n边凸多边形可以用多少种不同的方法切割成三角形。序列的开头(OEIS中的A000108)是1，1，2，5，14，42,132...。该序列的第n个元素由公式c(N)=(2n)！/(n！(n+1)！)给出。和前面的两个序列一样，数字的密度在无穷大时为零。

加泰罗尼亚数字是以法国-比利时数学家欧仁·查尔斯·卡塔兰(Eugène Charles Catalan，1814-1894)的名字命名的，他发现c(N)是根据通常的书写规则排列n对括号的方法的数量：括号在打开之前永远不会关闭，只有当随后打开的所有括号本身都关闭时，才能关闭它。

例如，c(3)=5，因为三对括号的可能排列方式是：

(())；()；(())()；(()())。

42也是一个“实际”数字，这意味着1到42之间的任何整数都是其不同因子的子集之和。第一个实际数字是1、2、4、6、8、12、16、18、20、24、28、30、32、36、40、42、48、54、56、60、64、66和72(OEIS中的序列A005153)。没有简单的已知公式提供该序列的第n个元素。

所有这一切都很有趣，但说42在数学上真的有什么特殊之处是错误的。例如，数字41和43也是许多序列的元素。你可以在维基百科上浏览各种数字的属性。

数学家和心理学家尼古拉斯·高维特、计算自然科学家赫克托·泽尼尔和我从分析OEIS中的序列开始，研究了一个数字特别有趣或不有趣的问题。除了与Kolmogorov复杂性(通过其最小描述的长度来定义一个数的复杂性)的理论联系之外，我们已经证明，斯隆百科全书中包含的数字指向一种共享的数学文化，因此，OEIS既基于纯粹的数学客观性，也基于人的喜好。

计算机科学家和数学家认识到数字42的吸引力，但一直认为这是一个简单的游戏，可以用另一个数字玩得一样好。尽管如此，最近的一条新闻还是引起了他们的注意。当它被应用到“三个立方体之和”的问题时，42比100以下的所有其他数字都更麻烦。

问题如下：什么整数n可以写成三个整数立方体的和(n=a3+b3+c3)？对于这样的整数，如何求a、b和c呢？作为一个实际问题，进行这种计算的困难在于，对于给定的n，要考虑的三元组的空间包含负整数。因此，这个三元组空间是无限的，不同于平方和的计算。对于那个特定的问题，任何解的绝对值都小于给定n的平方根。此外，对于平方和，我们非常清楚什么是可能的，什么是不可能的。

对于立方体的总和，有些解可能会出人意料地大，例如2007年发现的156个解：

注意，对于n的某些整数值，方程n=a3+b3+c3没有解。对于任何整数m(例如，4、5、13、14、22、23)，可表示为9m+4或9m+5的所有整数n都是这种情况。演示这一断言很简单：我们使用“模9”(Mod 9)计算，这相当于假设9=0，然后只处理0到8或−4到4之间的数字。当我们这样做时，我们会看到：

0 3=0(模数9)；1 3=1(模数9)；2 3=8=-1(模数9)；3 3=27=0(模数9)；4 3=64=1(模数9)；53=(-4)3=-64=-1(模数9)；63=(-3)3=0(模数9)；73=(-2)3=1(模数9)；8 3=(-1)3=-1(模数9)。

换句话说，以9为模的整数的立方是-1(=8)、0或1。将这些数字中的任意三个数字相加得出：

0=0+0+0=0+1+(-1)；1=1+0+0=1+1+(-1)；2=1+1+0；3=1+1+1；6=-3=(-1)+(-1)+(-1)；7=-2=(-1)+(-1)+0；8=-1=(-1)+0+0=1+(-1)+(-1)。

你得不到4或5之和(=-4)。这一限制意味着三个立方体的和绝不是形式为9m+4或9m+5的数字。因此，我们说n=9m+4和n=9m+5是禁止值。

为了说明方程n=a3+b3+c3的解有多难，让我们看看n=1和n=2会发生什么。

9 3+(-6)3+(-8)3=729+(-216)+(-512)=1。

这一计算并不是唯一的其他解决方案。1936年，德国数学家库尔特·马勒(Kurt Mahler)提出了无穷多个这样的概念。对于任意整数p：

数学家A·S·韦尔布鲁索夫(A.S.Werebrusov)于1908年发现了n=2的无穷解集。对于任意整数p：

通过将这些方程的每一项乘以一个整数的立方(R3)，我们推导出，对于任何整数的立方和两倍的立方，也有无穷多个解。

以16为例，它是2的立方体的两倍。对于p=1，我们得到：

请注意，对于n=3，截至2019年8月，仅知道两个解决方案：

1 3+1 3+1 3=3；4 3+43+(-5)3=3。

随之而来的一个问题是：对于每个非禁止值，是否至少有一个解决方案？

为了回答这个问题，数学家们从非禁止值1，2，3，6，7，8，9，10，11，12，15，16开始。(OEIS中的A060464)，并逐一检查。如果所有这些检验值都能找到解，则可以合理地推测，对于任何不是n=9m+4或n=9m+5形式的整数n，方程n=a3+b3+c3都有解。

到目前为止所进行的研究，取决于所使用的计算机或计算机网络的能力，已经产生了越来越多的结果。这项工作将我们带回了著名而耐人寻味的第42号。

2009年，使用哈佛大学的Noam Elkies在[[OR：由美国数学家Noam Elkies在2000年提出的方法]中提出的方法，德国数学家Andreas-Stephan Elsenhans和Jörg Jahnel探索了绝对值小于10 14的所有a，b，c整数三元组，以找到n在1到1,000之间的解。报告他们的发现的论文得出结论，对于1000以下数字是否存在解决方案的问题，只有33、42、74、114、165、390、579、627、633、732、795、906、921和975的问题仍然悬而未决。对于小于100的整数，只剩下三个谜团：33、42和74。

在2016年的预印论文中，现供职于荷兰特温特大学的桑德·休斯曼(Sander Huisman)继续努力，找到了74个问题的解决方案：

2019年，英国布里斯托尔大学的安德鲁·布克(Andrew Booker)解决了33人的案件：

从那时起，道格拉斯·亚当斯的数字是最后一个小于100的正整数，其表示为三个整数立方体的和是未知的。如果没有解决方案，这一结论将为42的数学意义提供一个真正令人信服的理由：这将是第一个看起来可能有解决方案但没有找到的数字。计算机试图破解这个问题，但一直未能破解。

答案出现在2020年的预印本中，这是由麻省理工学院的布克和安德鲁·萨瑟兰协调的巨大计算努力的结果。参与慈善引擎个人计算机网络的计算机，计算起来相当于100多万个小时，显示：

最近还破获了165起、795起和906起案件。1,000以下的整数只有114、390、579、627、633、732、921、975待解。

所有不是9m+4或9m+5的整数n都有解的猜想似乎得到了证实。1992年，牛津大学的罗杰·希思-布朗提出了一个更强有力的猜想，即有无限多种方法可以将所有可能的n表示为三个立方体的和。这项工作远未结束。

这个困难看起来是如此令人望而生畏，以至于问题“n是三个立方体的和吗？”可能无法决定。换句话说，任何算法，无论多么聪明，都不可能处理所有可能的情况。例如，1936年，艾伦·图灵(Alan Turing)证明，没有一种算法可以解决每一个可能的计算机程序的停顿问题。但在这里，我们处于一个易于描述的纯数学领域。如果我们能证明这种不可决定性，那将是一件新鲜事。