数学是什么？
这一切都始于一位名叫格雷西·坎宁安(Gracie Cunningham)的高中生上传的一段无伤大雅的TikTok视频。在对着镜头化妆时，这名少年质疑数学是否“真实”。她补充说：“我知道这是真的，因为我们都是在学校里学到的……。但这个概念是谁想出来的？“。她若有所思地说，毕达哥拉斯“甚至没有水管--他说，‘让我来操心y=mx+b’”--他指的是描述二维平面上一条直线的方程式。她想知道这一切是从哪里来的。“我得到了加法，”她说，“但是你是怎么想出代数这个概念的呢？”你要它做什么？“。
有人将这段视频转发到推特上，很快就在推特上疯传。许多评论都很不友好：一个人说这是他们见过的“最愚蠢的视频”；其他人则认为这是一个失败的教育系统的迹象。与此同时，其他人则为坎宁安辩护，称她的问题实际上相当深刻。
@gracie.ham这个视频在我的脑海里很有意义，但就像我们为什么要创造这个东西一样。
♬原声-格雷西。
来自康奈尔大学和威斯康星大学的数学家也加入了讨论，英国达勒姆大学的哲学家菲利普·戈夫也加入了进来。数学家尤金妮亚·程(Eugenia Cheng)目前是芝加哥艺术学院的驻院科学家，他写了一份长达两页的回复，称坎宁安“以非常深入的方式”提出了关于数学本质的深刻问题。
坎宁安在不知不觉中重新点燃了科学哲学中一场非常古老且悬而未决的辩论。数学到底是什么？它是发明的，还是被发现的？数学家研究的东西--数字、代数方程、几何、定理等等--是真实的吗？
一些学者强烈地感觉到，数学真理“就在那里”，等待着被发现--这就是所谓的柏拉图主义。它的名字来自古希腊思想家柏拉图，他设想数学真理存在于自己的世界中-不是物理世界，而是一个不变的完美的非物理领域；一个存在于空间和时间之外的领域。英国著名数学物理学家罗杰·彭罗斯是一位坚定的柏拉图主义者。在“皇帝的新思维”中，他写道，“这些数学概念似乎有一些深刻的现实，远远超出了任何特定数学家的脑海中的深思熟虑。”相反，似乎人类的思想被引导向某种外在的真理--一种有其自身现实的真理……“。
许多数学家似乎支持这一观点。几个世纪以来，他们发现的事情没有最高质数；2的平方根是无理数；当用小数表示时，数字π永远存在-似乎是永恒的真理，与发现它们的头脑无关。如果有一天我们遇到来自另一个星系的智能外星人，他们不会和我们有相同的语言或文化，但是，柏拉图主义者会争辩说，他们很可能会做出同样的数学发现。
最近从多伦多大学退休的科学哲学家詹姆斯·罗伯特·布朗(James Robert Brown)表示：“我认为，理解数学的唯一方法是相信存在客观的数学事实，这些事实是数学家发现的。”“在职数学家绝大多数是柏拉图主义者。他们并不总是自称柏拉图主义者，但如果你问他们相关的问题，他们给你的答案总是柏拉图式的。“。
其他学者--尤其是那些从事其他科学分支工作的学者--对柏拉图主义持怀疑态度。科学家往往是经验主义者；他们想象宇宙是由我们可以触摸和品尝的东西组成的，这些东西我们可以通过观察和实验来了解。存在于“时空之外”的东西的想法让经验主义者感到紧张：这听起来很尴尬，就像宗教信徒谈论上帝的方式一样，很久以前，上帝就被驱逐出了受人尊敬的科学话语。
正如数学家布莱恩·戴维斯(Brian Davies)所说，柏拉图主义“与神秘宗教的共同点多于与现代科学的共同点。”令人担心的是，如果数学家给柏拉图一英寸，他就会拿走一英里。如果数学陈述的真实性仅仅通过思考就能得到证实，那么为什么伦理问题，甚至宗教问题就不能呢？为什么要纠结于经验主义呢？
纽约市立大学(City University Of New York)哲学家马西莫·皮格柳奇(Massimo Pigliucci)最初被柏拉图主义吸引，但后来开始认为它有问题。他问道，如果一些东西没有物理存在，那么它可能有什么样的存在呢？“如果一个人在数学上‘走柏拉图式’，”皮格柳奇写道，经验主义“就会被抛诸脑后”。(如果毕达哥拉斯定理的证明存在于空间和时间之外，为什么不存在“黄金法则”，甚至耶稣基督的神性呢？)。
柏拉图主义者必须面对更多的挑战：如果数学对象存在于空间和时间之外，我们怎么能了解它们呢？布朗没有答案，但他建议我们“用心灵的眼睛”来理解数学陈述的真实性-也许，就像伽利略和爱因斯坦这样的科学家在实际实验能够解决问题之前，通过“思维实验”直觉物理真理的方式。考虑一下伽利略设想的一个著名的思维实验，用来确定一个重物是否比一个较轻的物体下落得更快。只要想一想，伽利略就能推断出，重物体和轻物体必须以相同的速度下落。诀窍是想象这两个物体系在一起：重的会拉着轻的，让轻的掉得更快吗？还是较轻的起到“刹车”的作用，使较重的减速？伽利略认为，唯一有意义的解决方案是，无论物体的重量如何，物体的下落速度都是相同的。以类似的方式，数学家可以证明三角形的角度加起来等于180度，或者没有最大的素数-而且他们不需要物理上的三角形或鹅卵石来计算来证明这一点，只需要一个灵活的大脑就可以了。
同时，布朗指出，我们不应该对抽象的想法感到太震惊，因为我们习惯于在其他研究领域使用它们。布朗说：“我非常确信存在抽象的实体，它们只是不是物理的。”“我认为你需要抽象的实体才能理解一大堆东西--不仅是数学，还有语言学、伦理学--可能是各种各样的东西。”
柏拉图主义有多种选择。一种流行的观点是，数学仅仅是一套规则，建立在一系列初始假设之上--数学家称之为公理。一旦公理就位，大量的逻辑推论随之而来，尽管其中许多可能非常难以找到。在这种观点下，数学似乎更像是一项发明，而不是一项发现；至少，它看起来更像是一项以人类为中心的努力。这种观点的一个极端版本会将数学简化为类似国际象棋的游戏：我们写下国际象棋的规则，然后从这些规则中得出各种策略和结果，但我们不会指望那些仙女座的人会觉得国际象棋特别有意义。
但这种观点也有其自身的问题。如果数学只是我们从头脑中想象出来的东西，为什么它要与我们在自然界中观察到的东西如此“契合”呢？为什么核物理中的连锁反应，或者生物学中的种群增长，应该遵循指数曲线呢？为什么行星的轨道呈椭圆形？为什么斐波纳契序列出现在向日葵、蜗牛、飓风和螺旋星系中？简而言之，为什么数学在描述物理世界方面证明是如此令人震惊的有用呢？理论物理学家尤金·维格纳(Eugene Wigner)在1960年的一篇著名文章“自然科学中数学的不合理有效性”中强调了这个问题。Wigner总结说
然而，一些现代思想家认为他们有解决维格纳困境的办法。他们认为，虽然数学可以被视为一系列源自一小套公理的推论，但这些公理并不是出于一时兴起而选择的。相反，他们之所以被选中，正是因为他们似乎确实与物质世界有关。正如皮格柳奇所说：“(对维格纳的问题)我能提供的最好答案是，这种‘不合理的有效性’实际上是非常合理的，因为数学实际上与现实世界息息相关，而且从一开始就是如此。”
法国艾克斯-马赛大学(Aix-Marseille University)的理论物理学家卡洛·罗维利(Carlo Rovelli)举了欧几里德几何的例子-我们许多人在高中时学到的平面空间几何。(如果学生知道等边三角形有三个角，每个角60度，或者直角三角形的两条较短边的平方之和等于斜边的平方--即毕达哥拉斯定理--他们就是在学习欧几里得几何。)。一位柏拉图主义者可能会争辩说，欧几里德几何学的发现“感觉”是普适的--但罗弗利说，事实并非如此。他说：“只是因为我们碰巧住在一个非常平坦的地方，所以我们才产生了欧几里得几何的想法，认为这是每个人都应该做的‘自然的事情’。”“如果地球稍小一点，让我们看到地球的曲率，我们就永远不会发展出欧几里得几何学。记住‘几何’的意思是‘测量地球’，而地球是圆的。相反，我们会发展球面几何学。“。
罗维利更进一步，质疑自然数的普适性：1，2，3，4…。对于我们大多数人，当然对柏拉图主义者来说，自然数似乎是自然的。如果我们见到那些聪明的外星人，他们会确切地知道我们说2+2=4是什么意思(一旦这句话被翻译成他们的语言)。罗维利说，不要那么快。他说，计数“只存在于有石头、树、人的地方--个别的、数不清的东西。”“为什么这要比流体数学更基础呢？”罗弗利说，如果智慧生物被发现生活在木星大气层的云层中，它们可能根本没有数数或自然数的直觉。想必我们可以教他们关于自然数的知识，就像我们可以教他们国际象棋规则一样，但是如果罗维利是对的，这表明这个数学分支并不像柏拉图主义者想象的那样普遍。
和Pigliucci一样，Rovelli相信数学之所以“有效”，是因为我们为它的实用性而精心设计的。他说：“这就像是在问为什么锤子在钉钉子的时候效果这么好。”“这是因为我们就是为了这个目的而制造的。”
罗弗利说，事实上，维格纳关于数学对科学非常有用的说法经不起推敲。他认为，数学家的许多发现与科学家几乎没有任何关系。他说：“有大量的数学对数学家来说是极其美丽的，但对科学来说却是完全无用的。”“还有很多科学问题--比如湍流--每个人都想找到一些有用的数学方法，但我们还没有找到。”
英国约克大学(University Of York)的哲学家玛丽·冷(Mary Leng)持有相关观点。她把自己描述成一个“小说家”--她认为数学对象是有用的虚构作品，类似于故事或小说中的人物。“从某种意义上说，他们是我们创造的生物，就像夏洛克·福尔摩斯一样。”
但数学家的工作和小说家的工作之间有一个关键的区别：数学植根于几何和测量等概念，这些概念与物理世界密切相关。的确，今天的数学家发现的一些东西是极其深奥的，但归根结底，数学和科学是密切相关的追求，冷说。“因为(数学)是作为一种帮助科学的工具而发明的，所以它实际上在科学中有用就不那么令人惊讶了。”
考虑到这些关于数学本质的问题在大约2300年的时间里一直是激烈辩论的主题，它们不太可能很快消失。因此，毫不奇怪，像坎宁安这样的高中生在思考毕达哥拉斯定理、三角形几何以及描述直线和曲线的方程式时，可能也会停下来思考这些问题。她在视频中提出的问题一点也不愚蠢，但相当精明：数学家和哲学家几千年来一直在问同样的不可思议的问题。
