数系的无限宇宙

有理数是最熟悉的数字：1、-5、1/2，以及可以写成正整数或负整数比率的所有其他值。但他们仍然很难合作。

问题是它们里面有洞。如果放大有理数序列，可能会接近一个本身不是有理数的数。这短路了很多基本的数学工具，就像大多数微积分一样。

数学家通常通过将有理数排成一行，并用无理数填补空白来解决这个问题，从而创建一个完整的数字系统，我们称之为实数。

但是，还有其他方式来组织有理逻辑和填补空白：p-ady型数字。它们是可供选择的数字系统的无限集合，每个系统都与唯一的质数相关联：2-adics、3-adics、5-adics等等。

P-ADIC可能看起来非常陌生。例如，在3-adics中，82比81更接近1。但这种奇怪很大程度上是肤浅的：在结构层面上，p-adics遵循数学家希望在行为良好的数字系统中遵循的所有规则。

在一个多世纪前发展起来的p-ady数已经成为研究有关几千年前有理数的问题的重要背景。

P进制数基于模算术，这是一种对循环本身进行计数的方法，就像时钟一样。正如24小时时钟上的1300等于下午1点一样，数学家说13“模12”等于1。

要了解p-ady数系统是如何从模算术中出现的，首先要对所有以特定素数为模的整数进行分类。例如，对以3为模的整数进行分类时，会将它们分类到三个桶或房间中。

你也可以对3的高次幂的整数进行分类：模9(3 2)或模27(3 3)。

数学家对以3为模的幂的整数进行排序，以检测其素因式分解的特征：等于0模3的整数在同一房间，并且在其素因式分解中至少有一个3；等于0模9的整数至少有两个；等于0模27的整数至少有三个。

现在想象一下模3、9和27的整数像一座塔一样堆叠在一起。塔的每一层都是对下面一层的精确的三层覆盖。这种模式将永远持续下去，从而创建了以3为模的更高幂的整数的优雅排列。

每个p进整数是通过沿着塔上的无限路径定义的。鸟瞰这座塔，可以看到所有p进整数的全貌。

21世纪数学中最大的进步之一是一种被称为“完美拟态空间”的物体，它体现了这一观点。它是由波恩大学的彼得·肖尔茨开发的，他在2018年获得了菲尔兹奖，部分原因是这项工作。这只是数学家如何利用这些无限层级的塔楼的一个例子。

约翰·霍普金斯大学的大卫·萨维特说：“你不考虑塔楼的各个楼层，而是一次性考虑整座塔。”这是现代数论、朗兰兹计划和算术几何中随处可见的基本见解。

数学家根据p的每个幂在数字的“基数p”展开式中出现的频率来写p进数字。例如，在3-adics中是这样写11的：

P-ady数的大小由p在其素因式分解中的盛行度决定。PS越多的数字越小。例如，在3-adics中，486是“小”的，因为它的素因式分解中有许多3(486=2x3x3)。

考虑大小的另一种方式是考虑哪些数字接近0。在p-adics中，当整数在塔楼的较高层共用一个房间时，他们之间的距离会更近。数字0和486共用一个房间直到第五层，而数字0和6只在第一层共用一个房间-表明0比6更接近486(因此486小于6)。

P级塔通过在地下扩展塔来容纳分数。分子中p次方较大的数字较小，分母中p次方较大的数字较大。

算术也有不同的感觉。以和486+486=972为例。在实数中，972比486大得多。但在3-adics中，972的大小与486相同，因为和(972)和被和(486)在素因式分解中都有相同数量的3。

P-adics的形状与实数线不同：它们形成了一个分形，由p-adic塔顶的无限个嵌套房间组成。但是这个分形有它自己的缺口。数学家通过形成p进有理数的“补全”来填充它们-这一过程类似于将无理数值加到数字线上。至少在这个意义上，p-ady数和实数的基本原理是相似的。

剑桥大学和杜克大学的杰西卡·芬岑说：“它们都是完成体，所以它们实际上有很多共同之处。”

P-ady数系统的无穷族为数学家提供了探索有理数问题的广泛环境。

例如，数学家想知道像3x3+4y3+5z3=0这样的多项式方程何时有有理解。这通常是一个很难回答的问题。但是要找到p元的解就相对容易了。

“事情想要在P-ADICS上变得更好。他们想要有解决方案，“华盛顿大学的比安卡·维雷(Bianca Viray)说。

数学家用来回答这个问题的一个工具是局部-全局原理，或可追溯到20世纪20年代的哈斯原理。提出如果一个多项式在实数中有解，并且在所有p-ady数中都有解，那么该多项式在有理数中也有解。局部-整体原理对于某些类型的多项式是成立的，而对另一些类型的多项式则不成立。

局部-整体原理背后的前提似乎很奇怪：为了证明有理数中解的存在，数学家们在无穷多的其他数字系统-实数和所有p-adic中寻找解。

像这样工作的需要突显了有理数中的空洞造成的问题的程度：你需要穿越宇宙才能绕过它们。同时，它表明，在一个由无限多个数字系统组成的宇宙中，将我们自己限制在恰好离家最近的那个数字系统几乎是很奇怪的。

“我们都在地球上，我们与雷亚尔合作，但如果你去(任何地方)其他地方，你就会与p-adics合作，”Viray解释说。“雷亚尔才是异常值。”