分析投票系统
我们身边总是会遇到某种形式的投票。我们给优步司机打分，他们给我们打分。我们在Reddit上对帖子和巨魔进行投票和否决。我们给电影和餐馆打星。我们投票决定谁会被踢出我们最喜欢的真人秀节目。我们投票选举总统。
所有这些投票系统看起来都有些不同，但有一件事绝对是它们之间的共同点--我们会想办法抱怨它们。投票系统的设计方式可能会使选举变得微不足道，也可能会使选举变得非常复杂。事实上，有时候，选举的胜利者可能是由投票制度的规则决定的，而不是由选民的意图决定的(选团有人吗？)。在这篇文章中，我试图探索不同投票系统的核心，并想知道是否有一个完美的投票系统。
在这里，我将用选举这个词来定义一个需要投票的事件或目标。选举本质上不一定是政治性的。
注和致谢：这篇博文是受Matthew Lane的书Power-Up中关于视频游戏中投票系统的章节的影响的。
这是最简单的投票形式。美国的大多数政治选举都是通过这种投票方式进行的。事情很简单--每个选民都给他们最喜欢的候选人投一票。得票最多的候选人获胜。
让我们来看一个我们将在这篇文章中继续使用的例子。我们邀请100人投票选出他们最喜欢的冰淇淋口味。候选的有香草、巧克力和草莓。以下是结果：
香草赢了！现在，如果你稍微盯着数字看，你会发现宣布香草在这次口味选举中获胜有一些不利之处。
一个明显的问题是，更多的选票投给了一种不是获胜口味的口味。你也可以争辩说，任何口味都不应该获胜，因为他们都没有达到多数。
在这一点上，草莓扮演着剧透的角色--就像美国大选中的第三方候选人可以被视为剧透一样。也许我们应该举行第二轮选举，只考虑香草和巧克力。也许更多的人更喜欢巧克力而不是香草，因为草莓不在考虑之列。(美国乔治亚州也有类似的规定。在2020年佐治亚州的参议院席位选举中，没有一位候选人获得多数席位。因此，决选将在2021年1月举行，前两名候选人将当选)。
多数投票制的本质是，它不能涵盖所有选民的偏好。如果有人投票给草莓，这并不能告诉我们他们对香草或巧克力的感觉。
这一制度并不能真正决定人民的意愿，除非……。只有两位候选人。除非打成平局，否则其中一名候选人肯定会获得多数席位。因此，如果这真的是一个两党制，那么这个体制的一些缺陷就不再重要了。
由于以多元为基础的系统不能全面反映选民的偏好，我们或许应该向选民询问更多信息。如果我们要求选民对所有候选人进行排名，而不是投票给他们最喜欢的候选人，会怎么样？
让我们来看看我们一直在处理的例子。我们让100人对候选口味进行排名。以下是结果：
所有45名投票给香草的人都把草莓作为第二选择。所有15个投票给草莓的人都把巧克力作为他们的第二选择。在40名投票给巧克力的人中，30人更喜欢草莓而不是香草，10人更喜欢香草。那么，哪种口味赢了呢？有多种方式来解释这些数据。让我们来看看几个👇。
在这个系统中，对于n名候选人，每一张第一名的选票都会得到n分。第二名得到n-1分，以此类推。得分最高的候选人获胜。
让我们来计算我们例子中的点数。香草获得45个第一名，10个第二名和45个第三名。所以香草的得分是45n+10(n-1)+45(n-2)。这里，n是3，香草的得分是200。以下是最终统计结果：
草莓赢了！草莓在多数制投票系统中得票率最低，在博尔达排名系统中得分最高。太荒谬了，不是吗？嗯，也许吧，但也可能不会。草莓确实获得了最少的第三名选票。75%的人把草莓作为他们的第二选择。也许草莓确实值得赢！
让我们来看看另一种解读排名投票数据的模型。在即时决选中，第一名得票最少的候选人被淘汰，其选票被分配给第二名候选人。然后重复这一过程，直到我们只剩下一名候选人。
有些人认为这种迭代消除模型有点令人困惑，因此不切实际。但它正在得到广泛采用，包括在政治选举中(例如旧金山和奥克兰的城市选举)。它也被用来决定奥斯卡最佳影片奖的获奖者。
草莓被淘汰了。由于所有草莓选民都更喜欢巧克力而不是香草，所以巧克力获得了草莓的15票。巧克力现在有55票，占多数。巧克力赢了！
到目前为止，我们已经讨论了三个系统，在我们的示例中，同一选举有三个不同的获胜者。您可能会主观地认为这些系统中的一个可能更适合您心目中的用例，或者您可能会像我一开始所做的那样认为：它完全没有意义！
在决策理论中，有一个概念叫做无关性选择的独立性(IIA)，它规定选民在x和y两个选择之间的偏好不应取决于任何其他选择。
这似乎是一个简单而好的生活规则，我们的选举制度也应该遵守这些规则。遗憾的是，我们到目前为止看到的所有系统都不遵守这一规则。
让我们来看看多数票制--从排名中我们知道，所有草莓选民都更喜欢巧克力而不是香草。如果没有草莓的选择，巧克力将以55票获胜。但在草莓出席的情况下，香草以45票获胜。
对于博尔达系统来说，巧克力是搅局者。有了巧克力，草莓就赢了。没有巧克力，香草以55比45获胜。
在即时决选中，当香草存在时，巧克力获胜，而如果香草不存在，草莓则以60-40获胜。
在决策理论中，这里有一些在选举或任何投票系统中都有的好处。
无关紧要的替代方案的独立性：我们已经讨论过，但到目前为止未能解释这一点。
非独裁：产出不应该基于一个人，应该考虑到多个选民的意愿。
帕累托效率(一致)：应该有一个一致的概念-如果每个选民都喜欢候选人A而不是候选人B，候选人A应该获胜。
所有的规则都是好的，你不这么认为吗？让我们创造终极投票系统吧！但肯尼斯·阿罗(Kenneth Arrow)来了，让我们的希望破灭。
阿罗的不可能性定理指出，在所有偏好被排序的情况下，不可能在不违反其中一条规则的情况下制定一种社会秩序。
换句话说，任何满足一致意见和无关选择的独立的民主，都必须是独裁的！*插入戏剧性的音效*。
既然每个系统都是有缺陷的，那么这篇文章就到此为止了吗？不幸的是，我和你们中的许多人一样，注意到了阿罗不可能定理中的这一条款，它为我们提供了一种逃脱重力井的方法。
该定理假设我们正在处理的是一个排名选择投票系统。让我们不要给我们的候选人排名。💡。
在这里，我想提醒你们，我们正在努力研究一般的投票制度，而不仅仅是政治选举。
我们已经在软件中实现了无数次不基于排名的系统。想想Netflix，Yelp，Reddit，Tinder。正如你可能已经猜到的那样，关键是评级，而不是排名(Tinder是一种更具体的评级-批准投票，我稍后会讨论这一点)。基于评分的投票系统通常被称为分数投票。
得分投票背后的想法是，你给每个候选人在一个或多个类别中打分。此分数与其他考生获得的分数无关。想想跳水和体操在奥运会上的表现吧。裁判根据状态、动作、落地对每个运动员进行评分。总分最高者获胜。
但是，这个系统是否更好呢？这是主观的，但我们知道，它让我们在数学上避免了不可能，但又符合独立、一致和非独裁的规则。
有一种更简单的表格或记分投票-批准投票。可以把它看作分数投票的二进制版本。每个人都可以给候选人打0分或1分。换句话说，你可以支持或不支持任何数量的候选人。
这类似于人们对Tinder等约会应用的投票方式。他们通过向右滑动给潜在客户打1分，通过向左滑动给潜在客户打0分。
计分投票和批准投票的一个关键优势是，投票给你最喜欢的候选人从来不会有什么坏处。这看似显而易见且微不足道，但投票系统并不总是能满足这一要求。例如，在政治选举中，人们不投票给第三方候选人是很常见的，即使第三方候选人可能是选民的第一选择；因为你知道你的候选人不太可能获胜，所以把票投给最有可能的两位候选人中的一位。
让我们看看排名投票如何改变我们冰激凌口味的例子中的选举。如果45名投票给香草的人中有20人谋划策略，投票给草莓而不是他们最喜欢的香草(他们最喜欢的候选人)，他们可能会导致巧克力失败。
得票率和支持率投票也不能幸免于制定战略，但它们也不会成为明显情况的牺牲品，在这种情况下，投票给你最喜欢的候选人可能会对该候选人不利。
到目前为止，我们已经讨论了五种不同的投票制度，肯定会有一种最好的投票制度。在现实中，情况往往会退回到古老的比喻--这要视情况而定。一些环境不想让选民的情况复杂化，因此不推荐基于分数的系统。在很多情况下，审批制可以取代多数制，因为它的简单性质。
但给一个投票系统打分，就意味着衡量一个打分系统。你如何衡量投票制度的好处呢？这样做的一个模型叫做贝叶斯遗憾。
贝叶斯遗憾指数衡量的是投票制度带来的预期不可避免的人类不快。不受欢迎的候选人当选得越多，贝叶斯遗憾的程度就越高。
这个值是根据一系列因素来计算的：选民人数、候选人人数、选民制定战略的数量等等。通过这一点，它计算了两个特征：社会从选举结果中获得多少效用，以及社会可能从每个候选人那里获得的最大效用。这些值的不同让贝叶斯感到遗憾。虽然我明白这里的概念，但我不知道计算这些价值的复杂细节。
数学家沃伦·D·史密斯(Warren D.Smith)研究了不同的投票模型，模拟了各种选举，并估计了贝叶斯遗憾。其中很多都可以在他的网站rangevoting.org上找到。
每条线代表选举模拟中贝叶斯遗憾值的范围。值越低(离左栏越近)，后悔就越少。
无论策略如何，多数投票的表现都很差(模拟了各种策略的值范围)。
这两种排名选择系统(博尔达和即时决选)最终都会得到广泛的遗憾值，这取决于战略制定的程度。
即使有了战略，得分和赞成票提供的遗憾价值范围也要小得多。
赞成投票制度的遗憾价值远低于多元制度，但在设计上也同样简单。
没有一种投票制度是十全十美的，但投票制度的设计对选举的获胜者有着巨大的影响。我们最常见的投票制度--多数票有一系列严重的缺陷。它可能会制造剧透，对选民来说最缺乏表现力，在数学上很糟糕，预示着更高的悔恨价值。
我不是这个话题的专家，但这就是我所学到的，发现很有趣，并发表在博客上的东西。
