一些数学问题似乎是不可能的。那可能是一件好事

关于我作为老师的事情，我可能会说很多这样的问题。我看着学生们试图连续排列直角。如果无法解决问题，请尝试交替选择合适的角度。再次失败，他们将它们随机插入到多边形中。他们涂鸦，擦除和争论。富有成效的斗争的声音是老师耳边的音乐。

然后他们变得可疑并开始提出问题。 “你说四个直角。你真的是三个意思吗？” “您确定要说凸吗？” “四个直角基本上会形成一个矩形。我们如何在八边形中再得到四个边？”我专心地听着，点头，承认他们的见解。

最后，有人问他们一直在tip脚的问题，我一直在等待的问题：“等等，这有可能吗？”

这个问题可以改变数学思维方式。那些狭narrow地考虑特定条件的人现在必须广泛地考虑那些条件如何相互配合。系统内部人员现在必须退后一步，检查系统本身。在数学史上，这个问题一遍又一遍地被问到了，这些问题的研究者涉及范围从平方圆到绕过柯尼斯堡（Königsberg）市。这个问题可以帮助我们塑造什么是数学以及如何理解它。

例如，找到具有某些特性的八边形与表明不可能存在这样的八边形是非常不同的数学任务。在使用不同的八边形时，我们可能会偶然发现一个具有四个直角的八角形。

但是，运气并不能证明这种八边形不存在。它不仅需要掌握多边形的知识，还需要掌握数学本身的知识。为了考虑不可能，我们需要了解，仅仅断言某物存在并不意味着做到这一点。数学的定义，性质和定理都生活在相互联系所产生的张力中。为了想象我们的四个八角形的八边形，我们研究了这些相互关联的规则。

但是要意识到我们的八边形是不可能的，我们需要退后一步，放眼大局。具有四个直角的八边形可能会违反哪些数学和几何原理？在这里，多边形角度和定理是一个很好的起点。

n边多边形的内角之和由以下公式给出：

这是因为每个n边多边形都可以切成（n − 2）个三角形，每个三角形的总内角为180º。

对于八边形，这意味着内角的总和为（8-2）×180º= 6×180º=1080º。现在，如果这些角度中的四个是正确的，每个角度为90°，则占角度总和的4×90°= 360°，从而使1080°-360°= 720°可以在八边形的其余四个角度之间进行划分。

但是凸多边形的内角必须小于180º，因此这是不可能的。具有四个直角的凸八边形不存在。

以这种方式证明不可能，需要退后一步，看看在张力中如何存在不同的数学规则（如多边形角度求和公式和凸多边形的定义）。而且由于不可能的证明依赖于跨规则的广泛思考，因此构造证明的方法通常不止一种。

让我们看一下我们先前关于四个直角构成一个矩形的评论。

如果一个八边形有四个直角，那么绕着这些角走会带给我们一个完整的圆：好像我们已经完全绕过一个矩形走了。这种洞察力使我们得出一条规则，该规则为我们提供了另一种不可能的证明。众所周知，凸多边形的外角总和始终为360º。由于直角的外角也是直角，所以我们的四个直角将占据八边形的外角度量的整个360º。剩下的四个角度都没有留下任何东西，再次证明我们的八边形是不可能的。

证明某事是不可能的，是数学的一项有力行动。它将我们的观点从规则遵循者的观点转变为规则执行者的观点。为了执行规则，您必须首先了解它们。您不仅需要知道如何应用它们，还需要知道何时不应用它们。而且，您还需要注意规则可能相互冲突的情况。我们的八边形探索揭示了多边形，凸度，直角和角度和之间的相互作用。它强调了S =（n-2）×180º不仅是一个公式：它是竞争环境中的一个条件。

不可能的证明可以帮助我们更好地理解数学的所有领域。在学校里，概率课程通常从掷出很多假想硬币开始。我邀请学生制作一个不公平的硬币-一种偏向正面或反面的硬币-具有以下属性：当硬币翻转两次时，两次翻转的结果更有可能不同。换句话说，您获得正面和反面的可能性要大于获得正面和反面或背面和反面的可能性。

经过一番修补和一些生产挫折之后，学生得出了一个有趣的假设：不同的结果永远不会比相同的结果大。一些代数阐明了这一点，并暗示了潜在的对称性。

假设硬币偏向正面。我们称之为翻转头$ latex \ frac {1} {2} $ + k的概率，其中0 0保证正向比尾部更有可能这样的事实，这有概率$ latex \ frac {1} {2} $ – k，因为两个概率之和必须为1。

如果我们两次掷硬币，则获得两个正面或两个反面的概率为

在这里，我们添加了获得两个头的概率（左侧）和获得两个头的概率（右侧）。使用代数，我们可以简化两次翻转都得到相同结果的可能性：

$ latex \ left（\ frac {1} {2} + k \ right）^ {2} + \ left（\ frac {1} {2} -k \ right）^ {2} $ = $ latex \ frac { 1} {4} $ + k +k²+ $ latex \ frac {1} {4} $ – k +k²= $ latex \ frac {1} {2} $ + 2k²。

由于k> 0，我们知道$ latex \ frac {1} {2} $ + 2k²> $ latex \ frac {1} {2} $，这意味着翻转的结果很有可能是相同。实际上，我们看到即使k = 0（当代币公平时），相同结果的概率也恰好是$ latex \ frac {1} {2} $，使得不同翻转的概率也为$ latex \ frac {1} {2} $。相同的结果永远不会比不同的结果少。

与八边形问题一样，我们看到了数学上的竞争紧张局面：改变获得硬币一侧的可能性会改变获得另一侧的可能性，而这种相互联系决定了两次翻转结果的可能性。我们通过试图做不可能的事情来揭露那些紧张局势。

我们可以在数学的各个领域揭示这些压力。尝试查找六个总计为342的连续整数，并且一些毅力会更好地理解奇偶校验。 （连续整数在偶数和奇数之间交替的事实会影响它们的总和。）搜索具有三个非实数根的整数系数的三次多项式将使您了解复共轭的重要性，复共轭对的复数产品和总和总是真实的。而且，如果您尝试在一个圆上刻上一个非正方形的菱形，那么您将发现循环四边形的一个重要特性而走开了-顶点位于圆上的四边形的对角必须总计为180度。

面对不可能，邀请我们探索数学世界的边界。不可能本身本身已经是一种概括，因此继续概括是很自然的：一个八边形不能有四个直角，但是十边形呢？ n> 4边的凸多边形怎么样？这些问题超越了我们数学世界的边界，加深了我们对它们的理解。

如果我们进一步努力，那么不可能的事情甚至会激发新的数学世界的创造。为了证明对圆进行平方运算（这个问题至少已有2000年的历史了），我们需要现代的超越数理论，该理论不能作为整数多项式的根。为了解决柯尼斯堡（Königsberg）问题的桥梁，欧拉（Euler）将岛和桥梁变成了顶点和边缘，从而使图论和网络论的丰富领域及其许多应用成为现实。取-1的平方根导致了一个全新的算术系统。逻辑学家库尔特·哥德尔（KurtGödel）证明不可能证明所有正确的事物都是真实的时，永远改变了数学领域。

因此，下次您遇到数学问题时，请问自己：“这可能吗？”与不可能抗争可以使您更好地了解实际可能发生的情况。您甚至可能会在此过程中创建一些新数学。

1.找到三角形的边长为46、85和38的区域。

2.令f（x）＝ 2×3 + bx2 + cx + d。查找整数b，c和d，以使f $ latex \ left（\ frac {1} {4} \ right）$ = 0。

3.找到一个完美的正方形，其所有数字都在集合{2，3，7，8}中。

这个三角形不存在。它的边长不能满足三角形不等式定理，该定理指出任何两个边的总和必须大于第三个边的总和。如果我们从长度为85的段的相对两端的三角形的两个顶点开始，然后围绕它们构建半径分别为38和46的圆，则可以从几何上看出这一点。这些圆不相交，因此无法定位三角形的第三个顶点。

使用Heron公式之类的东西来计算该非三角形的面积很有趣。有趣的问题将随之而来！

单击以获取答案2：有多种方法可以确定该多项式的可能性。例如，这些条件违反了有理根定理，即有理多项式的任何有理根必须是常数项的系数与前导系数的系数之比。

单击以获取答案3：关于完美正方形的一个奇怪事实向我们表明，此任务是不可能的。理想正方形的单位数字只能是0、1、4、5、6或9。这可以通过简单地对每个可能的单位数字进行平方并观察可能的结果来显示。由于没有完美的平方可以以2、3、7或8结尾，因此仅那些数字就不存在完美的平方。