Euler的FizzBuzz（2020年）

FizzBuzz是技术筛选或访谈中的分类常见的编码问题。 它是这样的： 编写一个函数来列出1到100的整数，但对于3个，写“fizz”，以及每个5倍，写入“buzz”。 对于3和5的倍数，它应该写“fizzbuzz”; 对于每个其他数字，它应该打印不变的数字。 可以编写一个函数，它根本没有任何条件逻辑，但它使用MATH将整数分成4种可能的类别：通常的解决方案作为感兴趣的读者的练习留下。 “嘶嘶声”如果$ n \ Equiv 0 \ PMOD 3 $和N是COPRIME到5 “嗡嗡声”如果$ n \ Equiv 0 \ PMOD 5 $和N是COPRIME到3 “fizzbuzz”如果$ n \ Equif 0 \ PMOD 3 $和$ N \ Equiv 0 \ PMOD 5 $ [（lambda n：{1：n，6：＆＃34; fizz＆＃34;，10：＆＃34; buzz＆＃34 ;, 0：＆＃34; fizzbuzz＆＃34;} [n ** 4％15 ]）（n + 1）在范围内（100）]

正如预期的那样，这些中的每一个都将1到100的整数列表与“嘶嘶”，“嗡嗡”或“fizzbuzz”替换为正确的斑点。

但为什么？恒定值0,6,10和1来自哪里？为什么$ n ^ 4 \ mod 15 $返回倍数为3但不是5,10的倍数为5但不是3,0的倍数为5和3的倍数，否则为1？最重要的是，这对我们可能会选择的每一美元都有真实吗？

$$ n ^ 4 \ mod {15} = \ begin {is} 0，＆amp; \案文{如果$ n $可被3和5} \ newline6，＆amp是可分开的; \ text {如果$ n $可被3和coprime可被划分为5} \ newline10，＆amp; \案文{如果$ n $可被5和coprime可分解为3} \ newline1，＆amp; \ Text {如果$ n $ coprime到3和5} \ of {is} $$

第一种情况是微不足道的;如果n有3和5作为因素，那么将n升高到任何电源并返回结果$ \ mod 15 $将始终为0，因为与3和5都有任何整数，因为3和5的因素也是15 $的倍数（3 * 5）$。

对于每个常数c＆gt; 0只要C是COPRIME到5。（如果C不是第5条，我们都有第一个归还0.）

开始，假设$ c = 1 $。这给了$ 3 ^ 4 \ mod 15 $，或81美元\ mod 15 $，这将返回6：15 * 5 = 75美元，剩下的剩余部分为81。

假设c是一个整数＆gt; 1.将指数应用于每个因素并使用身份$（ab）=（a + a（b - 1））$：

\ begin {对齐} 3 ^ 4c ^ 4＆amp; \ mod 15 \ newline81c ^ 4＆amp; \ mod 15 \ newline（81 + 81（c ^ 4 - 1））＆amp; \ mod 15 \结束{aligned}

考虑表达式$ C ^ 4 $的瞬间。我们从Euler的一批定理euler的一批定理中知道，$ a ^ {φ（n）} \ Equif 1（\ mod n）$ why $ a $的$ a $ of $ n $和$φ$是euler的overent函数; $ n $的全部函数返回小于$ n $的整数数量为$ n $。每次素数$ P $，$φ（p）$等于$ p - 1 $。 ⊕图leonhard euler，因为c是coprime到5，$ c ^ 4 \ mod 5 $等于1;如果$ C ^ 4/5 $的剩余部分为1，那么必须是$ C ^ 4 - 1 $均匀分裂的情况;也就是说，无论C是什么，如果它是COPRIME到5，那么$（c ^ 4 - 1）$ 5为一个因素。另一个因素并不重要，所以让我们重写$（c ^ 4 - 1）$ 5×$ $。

\ begin {对齐}（81 + 81（5倍））＆amp; \ mod 15 \ newline（81 \ mod 15 + 81（5x）\ mod 15）＆amp; \ mod 15 \ newline（6 + 81（5x）\ mod 15）＆amp; \ mod 15 \ newline6 \ mod 15 \ neg {aligh}

我们可以在（2）中重写这一点，因为模块化表达式的属性是$（a + b）\ mod n =（a \ mod n + b \ mod n）\ mod n $。

在线（3）中，表达式81（5倍）$均为3和5作为因素，因此$ 81（5倍）\ mod 15 = 0 $，这给了6 \ mod 15 $，这是6。

所以对于任何C的COPRIME到5和＆gt; 1，$ 3c ^ 4 \ mod 15 $将返回6。

相同的过程发现，$ 5c ^ 4 \ mod 15 $总是返回10;对于c = 1，我们有625美元\ mod 15 $，即10美元，因为$ c＆gt; 1 $（共同为3），我们可以写

Euler的总理定理告诉我们，如果C是COPRIME到3，那么$ C ^ 2 \ Equif 1 \ mod 3 $;但我们有$ c ^ 4 $。但是，$ c ^ 4 $是$ c ^ 2c ^ 2 $，自$ ab \ mod n =（（a \ mod n）（b \ mod n））\ mod n $，$ c ^ 4 \ mod 3 $也是1。

再次，如果$ c ^ 4 \等式1（\ mod 3）$ that $（c ^ 4 - 1）$均匀地划分为3，并作为一个因素。这再次将第二个术语减少到0，留下625美元\ mod 15 $，再次是10。

这将离开我们有一些数字C的情况，这是一个与3和5的共同的c。如果c是1，则我们有1美元\ mod 15 $，即1。

如果c＆gt; 1，我们可以再次将此写入$（1 +（c ^ 4 - 1））\ mod 15 $。自从我们知道，如果C是COPRIME到3和5，并且$ C ^ 4 \ Equif 1（\ Mod 3）$和$ C ^ 4 \ Equif 1（\ Mod 5）$，然后$（C ^ 4 - 1）$均为3和5作为因素。这么做，

\ begin {对齐}（1 +（c ^ 4 - 1））＆amp; \ mod 15 \ newline（1 \ mod 15 +（c ^ 4 - 1）\ mod 15）＆amp; \ mod 15 \ newline（1 + 0）＆amp; \ mod 15 \ newline1＆amp; \ mod 15 \ newline1 \ end {aligned}

所以$ n ^ 4 \ mod 15 $将始终返回0，如果3和5是n，6如果3是一个因素，但第5个，如果5是一个因子，而不是3，如果n是foprime，则为3两个和5，以及像 - ＆gt;（n）{{1 =＆gt; n，6 =＆gt; ＆＃34; fizz＆＃34;，10 =＆gt; ＆＃34; Buzz＆＃34 ;, 0 =＆gt; ＆＃34; fizzbuzz＆＃34;} [n ** 4％15]}将始终返回每一个$ n $ up的正确fizzbuzz，直到$ n ^ 4 $ of offlowed计算机使用的整数类型..

可以为任何类似的问题创建类似的功能，我将呼叫FIZZBUZZ-CATERACTION问题FIZZBUZZ-CA类问题：例如，为2，“BAR”为3，“BAZ”的倍数的倍数打印“foo”如图5所示，每个单词的连接数为2,3或5个作为因素。作为因素所选择的数字不需要是素数，但如果其中一个具有另一个因素，则某些组将不存在。例如，如果我们选择修改FizzBu​​zz，这样的倍数为2返回“FIST”，并且4次返回“BUZZ”（而不是传统的3和5），我们将看到2个倍数的“FIZE”，“ fizzbuzz“对于2和4的任何倍数，但我们永远不会单独看到”嗡嗡声“，因为4的倍数为4，这是一个副本的倍数。如下所示的一般解决方案并不像我暗示的那样普遍：那里很多数字对哪些是不起作用的;因此，必须更具体地选择这些因素。它将适用于不同的素数，但对于复合数字并不好。我要感谢这篇非常明确的帖子的作者，详细介绍了为什么通用公式不适用于复合数字。

其中$φ$是euler的全部函数，而lcm $ oder是最不常见的多个。

概括的是，对于任何一组$ k $因素$ n_1，n_2，.. n_k $ of我们想要一个类似的类似fizzbuzz函数，我们可以使用公式：

对于类似的类似返回“foo”的倍数，为11的倍数返回为11的倍数，查找：

$φ（7）$ 6. $φ（11）$ 10，$ 6和10的$ 6和10将是30.所以等式将是：

[（lambda n：{1：n，7 ** 30％77：＆＃34; foo＆＃34;，11 ** 30％77：＆＃34;酒吧＆＃34 ;, 0：＆＃34; foobar＆＃ 34;} [n ** 30％77]）（n + 1）范围（100）]

[1,2,3,4,5,6，＆＃39; foo＆＃39 ;,8,9,10，＆＃39;酒吧＆＃39;，12,13，＆＃39; foo＆＃39;， 15,16,17,18,19,20，＆＃39; foo＆＃39 ;,＆＃39;酒吧和＃39 ;,23,24,25,26,27，＆＃39; foo＆＃39 ;,29 ，30,31,32，＆＃39;酒吧＆＃39 ;,34，＆＃39; foo＆＃39 ;,36,37,38,39,40,41，＆＃39; foo＆＃39;，43， ＆＃39;酒吧＆＃39;，45,46,47,48，＆＃39; foo＆＃39 ;,50,51,52,53,54，＆＃39;酒吧＆＃39 ;,＆＃39; foo＆＃39; foo＆ ＃39 ;,57,58,59,60,61,62，＆＃39; foo＆＃39 ;,64,65，＆＃39;酒吧＆＃39 ;,67,68,69，＆＃39; foo＆＃ 39;，71,72,73,74,75,76，＆＃39; foobar＆＃39 ;,78,79,80,81,82,83，＆＃39; foo＆＃39 ;,85,86,87 ，＆＃39;酒吧和＃39 ;,89,90，＆＃39; foo＆＃39 ;,92,93,94,95,96,97，＆＃39; foo＆＃39 ;,＆＃39; bar＆＃ 39; 100]

$$ a ^ {lcm（φ（n_1），φ（n_2），..φ（n_k））} \ Equiv \ begin {is} 0 \ pmod {\ prod_ {i = 1} ^ k n_i}，＆amp; \ text {如果$ n $以每一种$ n_1，n_2，.. n_k $} \ newler_1，r_2，.r_k \ pmod {\ prod_ {i = 1} ^ k n_i}，＆amp; \ text {在$ n_1，n_2，n_2，n_k $} \ newline1 \ pmod {\ prom {i = 1} ^ k n_i}，＆amp; \ text {如果$ n $是每一个$ n_1，n_2，.. n_k $} \结束{is} $$

...如果数字$ n_1，n_2，则n_k $是不同的初步。 同样，感谢这篇文章的作者如此清楚地说明这一点。 作者没有断言，除了作为候选人选择的任意整数的FIZZBUZZ-CA类问题的解决方案，没有任何实际应用。