数学美的两种形态

数学界的一个由来已久的做法是将这个领域一分为二。有一种传统的“应用与纯粹”论点，它反映了其他学科的实验-理论分歧-向特定目的推进知识与为其本身而做之间的紧张关系。或者我们可以将数学一分为二，就像我们的大脑分裂一样，用代数的“左半球”按逻辑顺序思考，用几何的“右半球”用更直观的方法思考。但这个领域也根据一个更微妙的区别来细分：一个人对数学美的两种口味的偏好。

对于非专家来说，一开始就很难认为数学是美的。当然，美丽在旁观者的眼中，但当艺术品隐藏在黑暗中，被难以穿透的符号和行话所笼罩时，也很难看清。试图欣赏数学而不了解它的内部工作原理，就像是读贝多芬第五交响曲的描述，而不是听它。

然而，数学家们毫不犹豫地认真地将他们的方程式和证明描述为美丽的。这种美感已经被证明是非常普遍的，存在于不同的文化和时代：巴比伦的数学家和现代学生可以在研究平面几何中完美的直线排列或求解二次方程时找到同样的乐趣。

粗略地说，数学之美可以是两种形式中的一种，一般的或特殊的。我甚至可以说，数学家本身也有这两种口味--至少，他们倾向于偏向两极中的一种。

第一种变体是美的一种空灵形式，反映在形式结构和图案中。这是一种对数学世界自身安排的不可阻挡的秩序的惊叹。想想看，自然数排成无限列是多么完美。或者考虑增加维度的欧几里得空间序列：直线、平面、空间等，或者形式逻辑本身的严密性和精确性。这些结构令人难以置信地强大和有用，从某种角度来看，确实可以说是美丽的。

但对于那些站在分歧另一边的人-似乎包括大多数人，当然也包括大多数非数学家-很难真正对n维向量空间的概念或实线上的连续函数感到兴奋。欣赏这些想法就是欣赏一种抽象的形式，而这种美感往往让人感觉冰冷而正式。它是冰雪皇后的美丽，最好是从安全的距离欣赏，而不是近距离欣赏。

数学美的第二种形式更具关联性。它涉及到规则的例外，即不属于任何更大类别的对象。这些是17世纪和18世纪充斥着自然历史橱柜的迷人化石和奇怪矿物的奇特之处、一次性的、数学上的化身。这种美有一种非常不同的感觉：它是异国情调的、古雅的、亲密的--当然，也是相当主观的。

以十二面体为例，它是许多数学趣味柜子里最受欢迎的物体。它是由12个五边形组成的规则立体，也是五个完全对称的立体之一。它的吸引力曾经在我看来是“复杂的，但不是太复杂”。这个形状作为一种深奥的象征有着悠久的历史，这可以追溯到古希腊人，当时柏拉图提出了五个物体(现在被称为柏拉图实体)和物理宇宙之间的联系。十二面体象征着所有的天体--恒星和行星，它们的形状和运动都很完美。从那时起，这种数学形式就象征着外星人，并成为炼金术士和占星家喜爱的象征。从现代数学的角度来看，它仍然被认为是例外的，它是为数不多的几个完全独立的对称物体之一，不是任何更大模式的一部分。例如，很容易将立方体或四面体概括为任意维度的相似对象，但没有十二面体的高维类似物。

另一个数学上的错位，对任何内阁来说都是有利可图的财产，简单地说就是怪物。它是最大的特殊构件，所有的对称群都可以从它上面构造出来，这是一个数学上的怪物，只能在一个不低于196883维的空间中可视化。根据你的品味，怪物群体要么是所有数学中最漂亮的，要么是最丑的。

多年来，这两种美都迷住了数学家，并带来了许多进展。抽象显然是一个强大的工具。它允许一个人一次处理一个家庭的所有成员，而且它把问题放在更广泛的角度。追随冰雪女王的数学家通常不喜欢具体的应用或具体的案例-抽象代数的最高教士之一亚历山大·格罗森迪克(Alexander Grothendieck)曾以57为素数的例子而闻名。(事实并非如此。)。对数学弃儿的迷恋也是一种富有成效的策略。这样的物体通常生活在多个想法的交叉点上，可以作为完全不同世界之间的接入点。这种风格的爱好者不喜欢“抽象的胡言乱语”，而是珍视具体案例的特殊性，无论是缺点还是一切。

但现实世界与理想化的数学图景大相径庭。大多数科学都与描述真实世界的宇宙联系在一起--但这只是无穷无尽的数学可能性中的一种。据报道，正如Jean-Pierre Serre对他的数学家同事Raul Bott所打趣的那样，“当其他科学在寻找上帝为这个宇宙选择的规则时，我们数学家在寻找即使是上帝也必须遵守的规则。”

面对这个事关生存的问题--宇宙到底遵循什么规律？--对大多数科学家来说，自然而然地会被橱柜里特殊物品的相关魅力所吸引。但科学告诉我们，抽象而朴素的数学美往往提供了一种更安全的长期选择。

这方面的一个著名演示涉及天文学家约翰尼斯·开普勒早期工作中柏拉图式固体的出现。他提出了一个太阳系模型，该模型基于五种固体的特定构型来计算行星轨道之间的距离。这是一个美好的想法，但注定要失败。开普勒本人后来拒绝了这一模型，因为他得出结论，行星的轨道并不是形成单一的完美圆形，而是有着丑陋的椭圆外观，可以采取一系列形状中的一种。这似乎是一种明确的倒退。他将这一发现比作留在奥吉安科学马厩里的“装满粪便的马车”。

但是，当开普勒最初因为偏爱特殊物体而误入歧途时，艾萨克·牛顿(Isaac Newton)会继续根据他的万有引力理论解释行星的椭圆轨道。事实上，他展示了天空中的所有运动都是圆、椭圆、双曲线和抛物线的版本。之美在于牛顿的抽象定律，而不是具体的解。

这是物理学家和科学家们已经学过很多次的一课。在19世纪，科学家们从随意收集的古董柜转向对自然界进行更系统的研究。生物学家开始收集一组有机体的所有标本，而不仅仅是最美丽的蝴蝶或鸟类，并发现了进化的一般理论。化学家们对所有元素进行了分类，超越了简单的银和金的闪耀，并在这个过程中揭示了元素周期表的模式。物理学家随后揭示了隐藏在元素原子中的基本粒子的对称性。

每一次，他们都发现宇宙之美在于物理现象背后的抽象结构。乍一看，这些结构可能会让人感到困惑和难以理解，但从长远来看，往往会被证明更强大、更有意义。而且，的确，更漂亮了。