数学家识别形状使方式的阈值

很长一段时间，数学家认为尖锐的折叠是一次具有两个特征的唯一方法：弄皱的形状，长度保存。

“如果你允许角落发生，那么问题更容易，”普林斯顿大学特里斯坦·克里斯顿

但在1954年，约翰纳什确定了一个非常不同类型的等距嵌入，管理相同的伎俩。它使用了螺旋曲折而不是尖锐的折痕和角落。

为了获得纳什想法的直觉，用球体的光滑表面重新开始。该表面由许多曲线组成。把每一个人带到一个弹簧形螺旋中。毕竟曲线如此重新重整，可以压缩球体。然而，这样的过程似乎违反了等距嵌入的规则 - 毕竟，两点之间的曲线路径总是长于直的一个。

但是，值得注意的是，纳什表明，即使您在曲折的曲线上重新伪造曲线，也有一种严格的方式保持长度。首先，均匀地缩小球体，如放气气球。然后为每条曲线增加越来越紧的螺旋。通过无限地添加许多这样的曲折，您最终可以将每条曲线恢复到其原始长度，即使原始球体已被弄皱。

纳什的工作呼吁进一步探索。从技术上讲，他的结果暗示，只有在四个空间尺寸存在时才才能撞击球体。但在1955年，尼科拉斯·努利人延长了纳什的工作，以便它应用于标准，三维球体。从那里，数学家想了解确切的一点，如果你扭曲了球体的曲线，你可以让它崩溃。

折叠和扭曲的形状以一致方式彼此不同。要了解如何，你需要知道数学家是什么意思，当他们说某些东西“平滑”时意味着什么。

平滑度的经典例子是正弦波的上升和下降的形状，数学中最常见的曲线之一。传达这种平滑度的数学方式是说您可以在每个点计算波的“导数”。衍生物在一点处测量曲线的斜率，这意味着它倾向于或下降的程度。

实际上，您可以做的更多是计算正弦波的衍生物。您还可以计算衍生物的导数或“第二”衍生物，其捕获斜率的变化率。该数量使得可以确定曲线的曲率 - 曲线是凸形还是凹入某一点，以及在多大程度上。

并且没有理由停止那里。您还可以计算导数（“第三”衍生物）的导数（“第三”衍生物）等。这种无限的衍生物塔是在精确的数学意义上完全平滑的正弦波。但是当你折叠正弦波时，衍生塔崩溃了。沿着折痕，曲线的斜率没有明确定义，这意味着甚至不可能计算甚至是第一衍生物。

在纳什之前，数学家认为失去第一个衍生物是在保持长度的同时撞击球体的必要结果。换句话说，他们认为皱巴巴的皱折和平滑是不相容的。

使用他的方法，可以在没有折叠任何曲线的情况下弄皱球体。所需的所有纳什都是顺利的曲折。然而，他的嵌入所需的微小扭曲的无情使得曲率的第二衍生物概念是缺乏损失的，就像折叠破坏斜坡的第一个衍生观念一样。无论曲线是凹形还是凸的，它就永远不会清除任何纳什表面。添加的每个扭曲使得越来越多的波纹和凹槽，并且无限的凹槽表面变得粗糙。

“如果你的表面上是一名滑雪者，那么到处都是，你会感到颠簸，”里昂大学的Vincent Borrelli说，他们在2012年与合作者合作，创建了纳什嵌入的第一个准确的可视化。

新工作解释了即使在其结构让方面也可以保持衍生物的精确程度。

数学家具有精确的符号，用于描述可以在曲线上计算的衍生物的数量。

折叠形状的嵌入被称为C 0. C代表连续性，上标零是指嵌入式表面上的曲线没有衍生物，甚至不是第一。还有分数上标的嵌入，如C 0.1 / 2，仍然折叠曲线，但急剧急剧下降。然后有纳什的C 1嵌入物，只能通过施加光滑的曲线来挤压曲线，从而保持第一衍生物。

在纳什工作之前，数学家主要涉及某种标准光滑，C 2及以上的等距嵌入。这些C 2嵌入物可能扭曲或弯曲曲线，但只能轻轻地扭转曲线。 1916年，有影响力的Mathematician赫尔曼·威尔曼猜测，您无法使用这种温和的弯曲改变球体的形状，而不会破坏距离。在20世纪40年代，数学家解决了Weyl问题，证明了C 2等距嵌入物不能弄皱球。

在20世纪60年代，Yurii Borisov发现C 1,1 / 13嵌入仍然可以弄皱球体，而C 1,2 / 3嵌入嵌入不可能。因此，在纳什的C 1嵌入和轻轻弯曲C 2嵌入之间的某处，皱折即可。但几十年后，鲍里奥多夫的工作后，数学家并没有更接近找到一个确切的边界 - 如果一个甚至存在。

虽然数学家无法取得进展，但他们确实发现了纳什思想的其他应用程序。在20世纪70年代，Mikhael Gromov将它们重新制定为一个称为“凸集成”的一般工具，它允许数学家通过使用曲线子结构来构造解决许多问题的解决方案。在最后的一个例子中，最终与新工作相关，凸的集成使得可以思考与许多扭曲的子流制成的流动流体。

几十年后，2016年，GROMOV在球体的嵌入方面审查了对嵌入的增量进展，并猜测了实际上存在的门槛，在C 1,1 / 2中存在阈值。问题是，在该阈值，现有方法突破了。

为了取得进步，数学家需要一种新的方式来区分不同的平滑度的嵌入。 De Lellis和Inauen发现它具有灵感，从事一般不同现象：湍流。

所有接触的材料都有摩擦，我们认为摩擦是负责减缓事情的责任。但多年来，物理学家已经观察到湍流流动的显着特性：即使内部摩擦或粘度不存在，它们也很慢。

1949年，Lars Onsager提出了解释。他劝导摩擦耗散与湍流的极端粗糙度（或缺乏平滑）有关：当流动变得足够粗糙时，它开始排气本身。

2018年Philip Isett探索了Onsager的猜想，带Buckmaster，De Lellis，LászlóSzékelyhidi和Vlad Vicol有助于单独的工作。它们使用凸集成来构造粗糙的流量作为C 0粗糙，最多C 0.1 / 3（如此，比C 1基本上粗糙）。这些流动违反了一个称为动能保护的正式规则，并纯粹地通过他们的粗糙度放缓。

“能量被发送到无限的小尺度，有限时间的零长度尺度，然后消失，”克拉姆斯特说。

从1994年开始的早期工作已经确定了比C 0,1 / 3更平滑的摩擦流量（具有更大的上标）确实得到了能量。在一起，两种结果将湍流，能量消散流动和无湍流，节能的尖锐阈值固定在尖锐的阈值下。

Onsager Work还提供了一种原则的证据，即可以通过凸集成透露尖锐的阈值。键似乎是找到持有在阈值一侧并失败的正确规则。 de lellis和Inauen注意到了。

“我们认为，也许你有另外的法律，就像[动力学能量法]一样，”Inuen说。 “高于特定阈值的等距嵌入物满足它，并且低于它们可能违反它的阈值。”

他们最终调查的规则与表面上的曲线加速的价值有关。要了解它，想象一下，首先，在嵌入之前沿球形滑冰。他们会感到一种加速（或减速），因为它们摇摆到山上的转弯和海岸。他们的轨迹形成曲线。

现在想象一下它嵌入的溜冰者赛车沿着相同的形状。对于足够的平滑等距嵌入，不会以任何方式将球体弄皱或变形，溜冰者应该感受到嵌入式曲线的相同力。在认识到这一点后，De Lellis和Inauen然后需要证明它：嵌入比C 1,1 / 2节省加速更顺畅。

2018年，他们将此视角应用于特定形状，称为极性帽，这是球体的截止顶部。他们研究了盖帽的嵌入物，使固定盖的盖子固定在适当位置。由于盖子的底部是固定的，因此围绕其行进的曲线可以仅在例如改变上方的帽的形状时改变加速度，例如，通过向内或向外弯曲。他们证明，嵌入比C 1,1 / 2 - 即使是纳什嵌入 - 也不会改变加速，因此不要扣上帽子。

另一方面，它们使用凸集成来构造盖帽的嵌入而不是C 1,1 / 2。这些纳什嵌入弯曲曲线如此之大，因为它们失去了加速的概念，这是第二阶段数量。但是，基地周围的曲线加速仍然是明智的，因为它固定到位。他们表明，低于阈值的嵌入可以改变该曲线的加速度，这意味着它们还会扣上盖帽（因为如果盖帽不会扣，加速保持恒定;如果加速度并不恒定，则表示帽子必须具有扣）。

两年后，Inauen和Cao延长了先前纸张，并证明了Gromov的预测值C 1,1 / 2的预测值确实是施加到任何形状或“歧管”的阈值，具有固定边界。在它之上，形状不会扣，下面他们这样做。 “我们概括了结果，”曹说。

Cao和Inauen论文的一个关键限制在于它需要将形状嵌入八维空间，而不是三维空间Gremov记住。凭借额外的尺寸，数学家获得了更多的空间来添加曲折，这使得问题变得更加容易。

虽然结果没有完全回答Gromov的猜想，但它们尚获得最好的洞察力，尚未进入平滑度和皱折之间的关系。 “他们给你一个我们真正看到这种二分法的第一个例子，”德莱斯说。

从这里，数学家有很多路径要遵循。 对于一个，他们想在三个方面解决猜想。 与此同时，他们想更好地了解凸集成的力量。 今年秋季，高级研究所将开始举办关于该主题的全年计划。 它将带来各种领域的研究人员，目标是更好地了解纳什发明的想法。 随着Gromov指出他的2016年纸张，纳什的曲折形状不仅仅是几何形状的一部分。 正如现在已经清楚的那样，他们铺平了一个完全“新土地”的数学的道路，在许多地方出现了尖锐的门槛。