同型型理论
跳转到导航跳跃以搜索数学逻辑和计算机科学，同型型理论（Hott / hɒt /）是指直觉类型理论的各种发展，基于类型的解释为直觉的对象（摘要）同型理论适用。
除了其他工作方面，包括统一和高度分类模型的典型理论;使用类型理论作为抽象同型理论和更高类别理论的逻辑（或内部语言）;在一个理论基础内的数学发展（包括先前现有的数学和新数学，同种异性类型做出可能）;并在计算机验证助理中的每一个的形式化。
作为同型型理论的工作之间存在大的重叠，并且作为独一无二的基础项目。虽然两者都是精确划定的，但这些术语有时互换使用，但使用的选择也有时对应于观点和重点的差异。 [1]因此，本文可能不代表各自平等的所有研究人员的观点。当场在快速通量时，这种可变性是不可避免的。
同时认为，与其身份类型的密集类型理论中的类型的想法可以被视为Galoids是数学民间传说。它首先在1998年的Martin Hofmann和Thomas Streicher称为＆＃34的1998年纸上精确地精确地精确地制定了＆＃34;类型理论的Gensoid解释＆＃34;其中，他们表明隐藏型理论在Galoids类别中具有模型。 [2]这是第一个真正的＆＃34;同位素＆＃34;类型理论模型，虽然仅＆＃34; 1维＆＃34; （传统模型中的集合类别是同型0维的）。
他们的论文还预示着几种以后的同型类型理论的发展。例如，他们指出，Galoid模型满足了他们称之为的规则和＃34; Universe Explessional＆＃34;，除了在十年后提出的vladimir Voevodsky vladimir voevodsky的1种类型公理的限制。 （然而，由于＆＃34的相干概念，1型类型的公理非常简单。并思考在使用高维拉索的模型中，对于这样的类别，一个人将拥有＆＃34;等价是平等＆＃34 ;;这是Benedikt Ahrens，Krzysztof Kapulkin和Michael Shulman的验证。 [3]
史蒂夫舞蹈和他的学生Michael Warren使用Quillen模型类别构建了第一个高等维模式。这些结果首先在公开发布会上发布议会2006年[4]，沃伦举行了＆＃34;象征型理论的同型型号＆＃34;，其中也担任了他的论文招股章程（论文委员会目前正在进行，尼古拉冈比诺和亚历克斯·辛普森）。 varren＆＃39;论文招股章程摘要摘要。 [5]
在2006年乌普萨拉大学的身份类型的后续研讨会上[6]谈判型理论理论与分解系统之间的关系：Richard Garner之间的关系，＆＃34;类型理论的分子系统＆＃34; [7 ]和迈克尔沃伦，＆＃34;模型类别和集镇身份类型＆＃34;史蒂夫舞蹈，＆＃34谈判中讨论了相关的想法;高级类别的类型理论＆＃34;和托马斯斯特里奇，＆＃34;身份类型与弱omega-genoids：一些想法，一些问题＆＃34 ;。在同一届会议上，Benno Van Den Berg举行了＆＃34;类型为弱omega类别＆＃34;在那里他概述了后来成为带有理查德加纳的联合论文的主题的想法。
所有早期模型的所有早期结构都必须处理依赖类型理论的典型模型的相干问题，并且开发了各种解决方案。其中一个是在2009年由Voevodsky提供的，另一个由van den Berg and Garner在2010年。 [8] voevodsky＆＃39;建筑的一般解决方案最终由Lumsdaine和Warren在2014年给出。[9]
在2007年的PSSL86 [10] AWODEDY给出了一个标题为＆＃34;同型型理论＆＃34; （这是该术语的第一次公开使用，它被Adodey [11]）。令人作用的和沃伦总结了他们的结果在论文＆＃34;同型理论模型的身份类型＆＃34;，在2007年的Arxiv预印刷服务器上发布在Arxiv预印刷服务器上[12]并于2009年发布;在沃伦＆＃39;论文＆＃34中出现了更详细的版本;同型理论的同型理论＆＃34的同型理论方面;在2008。
大约在同一时间，Vladimir Voevodsky在寻找语言的语言中独立调查类型理论，以进行实际形式化数学。 2006年9月，他发布到邮件列表＆＃34类型;同型Lambda微积分的一个非常简短的注意事项，其中勾勒出与依赖的产品，ums和宇宙以及这个模型的类型理论的概要汉字型理论在简体集中。它开始说＆＃34;同型λ-微积分是一个假设的（此刻）型系统＆＃34;与＆＃34结束;目前我上面所说的那一刻在猜想的水平。甚至同型类别中TS模型的定义也是非琐碎的＆＃34;参考2009年未解决的复杂相干问题。本说明包括＆＃34的句法定义;平等类型＆＃34;据称，据称是通过路径空间在模型中解释，但没有考虑每个Martin-löf＆＃39; s身份类型的规则。它还通过同型尺寸来分层宇宙，除了大小之外，稍后大多被丢弃的想法。
在句法方面，Benno Van den Berg于2006年猜测，内容类型理论的类型的身份类型的塔应具有ω-类别的结构，并且实际上是ω-genoid，在＆＃34中;球状，代数＆＃34;迈克尔巴坦的感觉。稍后通过van den berg和garner在纸张中独立证明;类型是弱omega-galoids＆＃34; （2008年发布），[14]以及Peter Lumsdaine在纸上＆＃34;弱Ω类从密集类型理论＆＃34; （发布2009年），作为他2010年博士学位的一部分。论文＆＃34;类型理论的高性能和＃34; [15]
Voevodsky于2006年初推出了单价振动的概念。然而，[16]然而，由于在空上下文中，Martin-Löf类型理论的所有介绍的依据依赖于空中背景，可能仅包含反射性，Voevodsky直到2009年，这些身份类型可以与单价宇宙组合使用。特别是，只有通过向现有的Martin-löf类型理论添加公理，可以简单地引入单价的想法仅在2009年出现。
同样在2009年，Voevodsky在KAN综合体中制定了更多的类型理论模型的细节，观察到了通用KAN振动的存在来解决类型理论的分类模型的相干问题。他还经过了解A. K. Bousfield的想法，即这种普遍的纤维是单价的：纤维之间的成对同型等效产值的相关纤维相当于基座的路径空间纤维。
为了制定单价，因为Axiom Voevodsky找到了一种定义＆＃34的方法;等量＆＃34;句法，具有代表声明和＃34; f的类型的重要属性是等价物和＃34;是（在函数扩展性的假设下）（-1）议案（即，如果居住在一起）。这使他能够给出一个单一的单一的单一，概括Hofmann和Streicher＆＃39; s＆＃34;宇宙的扩展性＆＃34;尺寸更高。他还能够使用这些等价性的定义和可收纳性，开始开发大量的＆＃34;综合同类理论＆＃34;在证明助理COQ;这形成了文库的基础，后来称为＃34;基础＆＃34;并最终＆＃34; unimath＆＃34; [17]
统一各种线程于2010年2月开始，在卡内基梅隆大学的非正式会议上，Voevodsky向坎西尔斯和他的COQ代码展示了他的型号，包括糟糕的，沃伦，卢姆德和罗伯特·哈珀，丹吉达，迈克尔·舒尔曼，和别的。本次会议制作了证据（由沃伦，卢比，Licata和Shulman）的轮廓，即每个同谐同位性的等价性是一种等价性（在Voevodsky＆＃39; s的良好的相干感），基于改善等效性伴随的等效性理论的想法等价性。之后很快，Voevodsky证明了单价公理意味着函数的扩展性。
下一个关键赛事是2011年3月的Oberwolfach数学研究所的迷你研讨会，由Steve Awodey，Richard Garner，Permartin-löf和Vladimir Voevodsky，标题为＆＃34;建设性型理论的同谐诠释＆＃34 ;。 [18]作为这次研讨会的CoQ教程的一部分，Andrej Bauer是一个小型CoQ图书馆[19]，基于Voevodsky＆＃39;他们的想法（但实际上没有使用他的任何代码）;这最终成为了第一个版本的＆＃34; hott＆＃34的内核; COQ图书馆[20]（后者的第一次提交[21]由Michael Shulman Notes＆＃34;基于Andrej Bauer的开发，以及来自Vladimir Voevodsky＆＃39; S文件＆＃34的许多想法;） 。由于Lumsdaine，Shulman，Bauer和Warren，oberwolfach会议中最重要的事情之一是更高的归纳类型的基本思想。参与者还制定了一个重要的开放性问题的列表，例如单价公理是否满足Canonicity（仍然是开放的，尽管有些特殊情况已经积极解决[22] [23]），但单价公理是否具有非标准模型（因为肯定地回答通过Shulman），以及如何定义（半）单纯类型（仍然在MLTT中打开，尽管它可以在Voevodsky＆＃39; S同型系统（HTS）中完成，具有两个平等类型的类型理论）。
在Oberwolfach研讨会之后不久，同型理论理论网站和博客[24]成立，主题开始在该名称下普及。可以从博客历史中获得此时期间一些重要进展的想法。 [25]
短语＆＃34;单价基金会＆＃34;所有人都同意与同型典型理论密切相关，但不是每个人都以同样的方式使用它。它最初用于vladimir voevodsky，参考他对数学的基础系统的愿景，其中基于满足单价公理的类型理论，并在计算机验证助理中正式化。 [26]
作为voevodsky＆＃39;在与在同型研究人员的社区集成的工作中，＆＃34;单价基金会＆＃34;有时与＆＃34互换使用;同型型理论＆＃34; [27]以及其他时间只参考其作为基础系统的用途（例如，例如，模型分类语义或计算成语的研究）。例如，例如，IAS特殊年份的主题是正式给予＆＃34;单价基金会和＃34;虽然除了基础之外，还有很多工作都集中在语义和骚乱中。参与者在IAS计划中制作的书籍标题为＆＃34;同型型理论：数学的单价基础＆＃34 ;;虽然这可以参考使用，但由于这本书仅讨论了MOT作为数学基础。 [27]
2012 - 13年高级学习研究所的研究人员举行＆＃34;数学和＃34的单价基础的特殊年份。 [29]特别年份汇集了拓扑，计算机科学，类别理论和数学逻辑的研究人员。该计划由Steve Awodey，Thierry Co，vladimir Voevodsky组织。
在作为参与者之一的计划彼得阿基尔期间，启动了一个工作组，该工作组调查了如何非正式地进行类型理论，而是严格地，这种风格类似于普通数学家进行设置理论。经过初步实验后，明确表示这不仅是可能但高度有益的，而且一本书（所谓的热门书）[27] [27] [30]可以，应该写。该项目的许多其他参与者随后加入了技术支持，写作，证明阅读和提供了想法的努力。对于数学文本来说异常，它是在Github上的协同开发的，在GitHub上开发，在创造性的公共许可证下发布，允许人们攻击自己的本书版本，并且都是可免费的打印和下载的购买版本。 [31] [32] [33]
更一般地说，特殊年是整个主题发展的催化剂;热门的书只有一个，尽管最可见，结果。
ACM Computing评论将这本书列为2013年在类别＆＃34中的显着发布;计算的数学＆＃34; [34]
依赖类型x：a⊢b（x）{\ displaystyle x：a \ \ vdash \ b（x）\}
α：i d i d a（a，b）（p，q）{\ displaystyle \ alpha：\ mathrm {id} _ {\ mathrm {id} _ {a}（a，b）}（p，q） }
hott使用修改版的＆＃34;作为类型＆＃34的命题;对类型理论的解释，根据哪种类型也可以代表主题和术语，然后可以代表证据。然而，在HOTT中，不同于标准＆＃34;命题为类型＆＃34;，＆＃39扮演特殊角色;仅仅是命题＆＃39;这粗略地说，这些类型是最多一个术语的类型，最高达到命题平等。这些更像是传统的逻辑主张，而不是一般类型，因为它们是无关的。
同型型理论的基本概念是道路。在HOTT中，A = B {\ DisplayStyle a = b}类型是从点a {\ displaystyle a}到点b {\ displaystyle b}的所有路径的类型。 （因此，一个指出点A {\ DisplayStyle A}等于点B {\ DisplayStyle B}与点B {\ DISPLAYSTYLE B}的点相同的方法。）对于任何点A {\ DisplayStyle a}，存在一个类型A = A {\ DisplayStyle a = a}的路径，对应于相等的反折叠属性。可以反转A = B {\ DisplayStyle A = B}的类型的路径，形成b = {\ displaystyle b = a}的类型的路径，对应于相等的对称性。 a = b {\ displaystyle a = b}的两条路径。 b = c {\ displaystyle b = c}可以连接，形成a = c {\ displaystyle a = c}的路径;这对应于平等的传递性质。
最重要的是，给定路径p：a = b {\ displaystyle p：a = b}，以及某些属性p（a）{\ displaystyle p（a）}的证明，证明可以是＆＃34;运输＆＃ 34;沿路径p {\ displaystyle p}来产生属性p（b）{\ displaystyle p（b）}的证明。 （等效地说，p类型（a）{\ displaystyle p（a）}的对象可以变成p（b）{\ displaystyle p（b）}的对象。）这对应于平等的替换属性。在这里，Hott和古典数学之间的一个重要区别。在古典数学中，一旦建立了两个值A {\ DisplayStyle A}和B {\ DisplayStyle B}，A {\ DisplayStyle a}和b {\ DisplayStyle B}可以随后互换使用，而不考虑它们之间的任何区别。然而，在同型类型理论中，可以存在多个不同的路径a = b {\ displaystyle a = b}，并且沿两个不同的路径传输对象将产生两个不同的结果。因此，在同型型理论中，在应用替代属性时，有必要说明正在使用哪个路径。
一般来说，A＆＃34;命题＆＃34;可以有多个不同的证据。 （例如，当被认为是一个命题时，所有自然数的类型都有每个自然数作为证明。）即使一个命题只有一个证明A {\ DisplayStyle a}，路径的空间a = a {\ DisplayStyle a = a}可能以某种方式不普通。 A＆＃34;仅仅是命题＆＃34;是空的任何类型，或仅包含具有琐碎路径空间的一个点。
请注意，人们为i d a（a，b）{\ displaystyle id_ {a}（a，b）}写），从而留下a的类型a {\ displaystyle a}，请写点a = b {\ displaystyle a = b}， b {\ displaystyle a，b}隐式。请勿将其与I D A混淆：A→A {\ DisplayStyle ID_ {A}：a \ to a}，表示{\ displaystyle a}上的标识函数。
属于某些Universe U {\ DisplayStyle U}的两个类型A {\ DisplayStyle A}和B {\ DisplayStyle B}被定义为等同于它们之间的等效。等价是一个函数
which has both a left inverse and a right inverse, in the sense that for suitably chosen g {\displaystyle g} and h {\displaystyle h} , the following types are both inhabited:
i d b→b（f∘g，i d b），{\ displaystyle id_ {b \ lightarrow b}（f \ circ g，id_ {b}），}
I D A→A（H∘F，I D A）。 {\ displaystyle id_ {a \ lightarrow a}（h \ circ f，Id_ {a}）。}
f∘g = b→b i d b，{\ displaystyle f \ circ g = _ {b \ lightarrow b} id_ {b}，}
H∘F= A→I D A。 {\ displaystyle h \ circ f = _ {a \ lightarrow a} id_ {a}。}
这表达了＆＃34的一般概念; f {\ displaystyle f}使用平等类型具有左右逆和右转＆＃34;注意，上面的可逆条件是函数类型的平等类型A→A {\ DisplayStyle a \ lightarrow a}和b→b {\ displaystyle b \ lightarrow b}。一个人通常假设函数的扩展性公理，这确保了这些等同于使用域和Codomain A {\ DisplayStyle A}和B {\ DisplayStyle B}的相等的可逆性可处于可逆性的类型：
Πy：b。 I D B（（f≠g）（y），id b（y）），{\ displaystyle \ pi _ {y：b}。\ id_ {b}（（f \ circ g）（y），id_ {经过）），}
πx：a。 I D A（（h∘f）（x），i d a（x））。 {\ displaystyle \ pi _ {x：a}。\ id_ {a}（（h \ circ f）（x），id_ {a}（x））。}
即所有x：a {\ displaystyle x：a}和y：b {\ displaystyle y：b}，
具有如上所述的定义函数，可以显示有一个规范方式转向等效的路径。在其他单词中，类型的函数
（a = b）→（a≃b），{\ displaystyle（a = b）\ to（a \ simeq b），}
表达相等的类型A，B {\ DisplayStyle A，B}，特别是等同于等同于。 （a = b）≃（a≃b）{\ displaystyle（a = b）\ simeq（a \ simeq b）} ＆＃34;换句话说，身份等同于等价。 特别是，人们可以这么说＆＃39;等同类型是相同的＆＃39;。＆＃34; [27]：4 HOTT A. ......
