数学家解决了几十年的分类问题

“[他们的策略显示]在将复杂问题转化为更简单的问题方面具有难以置信的聪明才智，”马里兰大学的 Chris Laskowski 补充道，他与 Shelah 合作了大约 12 篇论文（尽管不是这一篇）。 “许多人尝试过但没有成功。能解决这个问题真是太好了。”由于 Friedman 和 Stanley 提出的问题涉及一类无限可数结构，因此有助于理解数学家如何处理这些看似笨拙的数量。首先，结构集合“可数”意味着什么？自然数 (0, 1, 2, 3 ...) 是无限的，但仍被认为是可数的，原因与它们有时被称为计数数的原因相同。如果您按顺序调出这些数字，它们几乎会自行计算。 （当然，您会在一段时间内了解它。）自然数集合中的元素数或其“基数”被标记为 aleph-0。数学家认为任何与自然数的无限集大小相同的集合也是可数的。相反，实数——包括自然数以及有理数和无理数——也是无限的，但它们被归类为不可数。主要原因是它们太多了：我们从 1800 年代后期就知道，0 和 1 之间塞满的实数比所有自然数加起来还要多。这是另一种说法，并非所有无穷大都生而平等。有些比其他的要大。实数集比自然数具有更大的基数，因为它们更多。任何可数的集合要么是有限的，要么如果是无限的，则基数为 aleph-0。那么数学家可以用这些想法做什么呢？ Friedman-Stanley 的论文以及 Paolini 和 Shelah 的新工作重点关注结构之间的等价关系——称为同构。例如，让我们考虑两个无限但可数的数字组：... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ... ... -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6 ...第一组由整数组成；第二个仅由偶数组成。这两个群彼此同构，因为除其他外，它们具有相同数量的元素，也就是说它们的无穷大是相同的。并且一个组中的每个元素都对应于——或者，正如数学家所说，“映射到”——另一组中的一个元素。此外，用于从一组映射到另一组的函数还必须保留组操作和属性（例如加法结合律）。像这样的同构群并不相同，因为它们没有相同的元素，但它们确实具有平行结构：一组中的每个元素都与另一组中的单个元素直接相关。函数可以将第一个结构转换为第二个结构，如上例所示，只需将第一个结构的每个元素乘以 2。同构结构具有 Paolini 所说的“相同形状”，如果不是完全相同的内容。

“说两个结构是同构的意味着它们本质上是相同的，”Laskowski 说。 “你可以有一个红色的或一个蓝色的，但在内心深处，它们是一样的。”在他们 1989 年的论文中，弗里德曼和斯坦利主要想知道一件事：给定一个可数结构族——它们是无限组的数字（如上面提到的整数）还是图（可以通过以下方式连接的无限种类的顶点）边）——找出该族中的对象是否彼此同构有多难？弗里德曼和斯坦利举出的一个案例涉及一系列图，每个图都有无限（尽管可数）的顶点数。对于要标记为同构的两个可数图，一个图中的顶点与另一个图中的顶点之间必须再次存在一对一的对应关系。如果一个图中的两个顶点由一条边连接，则另一个图中相应的顶点也必须由一条边连接。弗里德曼和斯坦利表明，回答两个可数图是否同构的问题是极其复杂的——尽可能地困难。这使所有可数图的族都成为“Borel 完备的”。 （两人在 1989 年的论文中创造了这个术语，因为他们依赖于数学家 Armand Borel 设计的所谓的 Borel 函数。）Friedman 和 Stanley 然后想知道：还有哪些类别的可数对象是 Borel 完备的？拉斯科夫斯基说，这个简单的问题“是描述性集合论的核心主题之一。”从那以后的几年里，弗里德曼、斯坦利和其他人已经确定了几类满足 Borel 完备性标准的数学对象，包括树——一种简化的图——和线性阶数，一组数字（自然或实数），字面上是顺序排列，就像数轴上的数字一样。但在 1989 年的论文中考虑的许多不同情况中，只有一个——关于上述无扭转阿贝尔群——拒绝通过同构进行分类。为了一次一个地描述这个令人生畏的术语，TFAB 组从根本上说是一组数字。每个 TFAB 由遵循某些群规则的实数的可数子集组成，例如在加减下封闭（因此对于该群中的任何数字 p 和 q，p + q 和 p - q 也出现在群中）。它还遵守交换律（意味着 p + q = q + p），这是阿贝尔群的标志。最后，术语无扭转意味着如果 g 是群中的非零元素，则 g + g 永远不能等于零，g + g + g 也不能，g + g + g + g 也不能，依此类推。

Shelah 说，30 年来，数学家一直想知道：“如果我们有两个 [可数] 无扭阿贝尔群，我们问它们是否同构，这是一个简单的问题，一个中间问题还是最难的问题？” Kechris 说，在 Friedman-Stanley 论文中提出的所有问题中，这个问题解决的时间最长。 “所以说它最具挑战性是合理的。”在它产生效果之前需要一种新的方法。他们通过使用经典数学家的技巧做到了这一点：将顽固的问题简化为更易于管理的问题。如果他们能够证明 TFAB 与另一个已知的 Borel 完备结构族（例如可数图族）一样复杂，那么将证明 TFAB 也是如此。 “如果你想知道一个人是否是世界上最高的人，有什么聪明的方法呢？”保利尼问道。 “与其和地球上的每个人都核对，不如去找被认为最高的人，看看谁更高。” Shelah 解释说，在决定使用可数图作为衡量标准后，他们面临着关键的下一步：创建一个函数（特别是一种 Borel 函数），它可以“将一个图转换成一个无扭阿贝尔群”。他们的函数需要接受一个图作为它的输入并产生一个 TFAB 作为它的输出，在这个过程中将信息从图传递到组。更具体地说，函数 f 必须满足以下关系： 两个可数图 G 和 H 彼此同构当且仅当 f(G) 和 f(H) 是可数的 TFAB，它们也彼此同构.这项任务并不容易，因为他们没有可用的“技术”来连接如此不同的数学对象。他们不得不为这个问题发明它。 “整个游戏归结为构建这个功能，”Laskowski 说。 “这就像比较苹果和橙子。图和组没有相同的词汇。因此，在这种情况下，您所做的就是创建通信。”再说一次，他们真的是在比较无限组的苹果和无限组的橙子。幸运的是，Shelah 说，他们找到了一种简化事情的方法。 “你可以[使用]一个通用的图而不是处理所有的图”——一个非常庞大的图，它的子图，其中包含的较小的图，包括所有可能的可数图。

Laskowski 说，这是一个令人印象深刻的策略。 “我不会直接尝试解决这个问题，这会涉及大量的图和组，我只会选择这个一个母可数图，每个可数图都出现在它的保护伞下。”通过这种方式，Paolini 和 Shelah 能够构建必要的函数，从而证明图和 TFAB 处于一种平等的地位。 “我们找到了一种将无扭阿贝尔群与图相关联的方法，以便保留同构，”保利尼说。并且由于数学家已经知道可数图族是 Borel 完备的——也就是说，在同构方面是最复杂的——这意味着可数 TFAB 族也必须是 Borel 完备的。他们终于有了答案。这个结果会导致更​​普遍的事情吗？ “这还有待观察，”Kechris 说，“但很有可能。”事实上，Paolini 和 Shelah 已经在考虑扩大他们的结果。 Shelah 说，在解决了可数 TFAB 的情况后，他们现在正在调查更大的不可数 TFAB 集，它们“可能有不同的答案”。有理由认为他们可能会发现。 “Shelah 有一个理论，”Laskowski 说，“当你将某些问题推到更高的基数时，某些问题会变得更容易”——更高的无穷级——因为当数字变得非常大时，重要数字之间的距离会增加，比如质数和整数的平方。结果，Shelah 告诉 Laskowski，“空气变得更清晰”，这可能使数学家更容易看清事物。与此同时，他们关于可数 TFAB 的论文已经具有一些直接的实际意义。 “我们现在知道你的能力受到限制，”Shelah 说。例如，您永远不会发现该族群的区别属性（称为不变量）会自动告诉您两个 TFAB 是否同构。这是可数 TFAB 集合是 Borel 完备这一事实的直接结果。

“我们证明根本没有简单的方法来确定 [同构]，”Paolini 说。 “没有回旋的余地。尽可能地困难。”这是有用的知识，因为寻找不变量是数学家的主要关注点。 “这有点像说人们不应该花很多时间来尝试发明永动机，”Shelah 说，“鉴于我们现在知道这样的机器无法制造。”展望未来，数学家可能会发现其他类别的无限可数结构，例如图和 TFAB，它们在确定同构时最为复杂。同样，保利尼说，“可以想象，我们可以在地球上找到其他像亚马逊一样复杂的丛林。”但当然，在这个类比中，没有比这更复杂的了。仅仅知道这个事实，并且知道 TFAB 尽可能复杂，就可以简化或不复杂化情况——对于分类学家和描述性集合理论家来说都是如此。